18.1.2平行四边形判定（第2课时） 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.1.2平行四边形判定（第2课时） 　　我们上节课所学的判定平行四边形的方法： 　　两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 　　两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 　　两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 　　对角线互相平分的四边形是平行四边形． 　　我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 问题 　　分析：根据平行四边形的性质，可知“如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等”．它的逆命题是“如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形”． 　　猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 　　你能证明这个猜想吗？ 思考 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　分析：条件中已有 AB∥CD，只需证明 AD∥BC，利用平行四边形的定义进行判定． 　　证明：连接 AC． 　　∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA． 　　又∵AB＝CD，AC＝CA， 　　∴△ABC≌△CDA（SAS）． ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　∴AD∥BC． 　　∴∠ACB＝∠CAD， 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　你还有其他证明方法吗？ 5 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　分析：条件中已有 AB＝CD，只需证明 AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定． 6 　　证明：连接 AC． 　　∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA． 　　又∵AB＝CD，AC＝CA， 　　∴△ABC≌△CDA（SAS）． 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　∴BC＝AD． 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 7 新知 　　通过证明，我们又得到平行四边形的一个判定定理： 　　符号语言： 　　∵AB∥CD，AB＝CD， 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． A B C D 思考 　　一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明． 　　如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，四边形 ABCD 是等腰梯形． 　　一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． A B C D 思考 　　一组对边相等，一组对角相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明． 　　如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，∠B＝∠D，四边形 ABCD 不是平行四边形． 　　一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． A B C D 问题 　　现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？ 边 角 对角线 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 　　例1　如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点．求证：四边形 AFCE 是平行四边形． A B C D F E 　　证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴ AD＝BC， AD∥BC，即 AE∥FC， 　　又∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， 　　∴AE＝ AD， FC＝ BC， 　　∴AE＝FC， 　　∴四边形 AFCE 是平行四边形． 　　例2　如图，在四边形 ABCD 中， AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点 F，AE＝CF， BF＝DE，求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D E F 　　分析：方法 1：通过证明 AB∥CD，AD∥BC 证得结论； 　　方法 2：通过证明 AB＝CD，AD＝CB 证得结论； 　　方法 3：通过证明∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD 证得结论； 　　方法 4：通过证明 AB＝CD，AB∥CD 证得结论； 　　方法 5：连接另一条对角线 AC，交 BD 于点 O，通过证明 AO＝OC，BO＝OD 证得结论． A B C D E F 　　请选择你认为简便的方法进行证明． O A B C D E F 　　证明：∵BF＝DE， 　　∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF． 　　∵AE⊥BD，CF⊥BD， 　　∴∠AEB＝∠CFD＝90°． 　　又∵AE＝CF， 　　∴△ABE≌△CDF． 　　∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF． 　　∴AB∥CD． 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 归纳 巧选平行四边形的证明思路 已知条件 证明思路 一组对边相等 ①另一组对边也相等 ②相等的边也平行 一组对边平行 ①另一组对边也平行 ②平行的边也相等 一组对角相等 另一组对角也相等 对角线相交 对角线互相平分 平行四边形的判定 选择适当的方法判定平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 $$