第17章 勾股定理 章末复习 教案 2024-2025学年人教版八年级数学下册

人教版初中数学　八年级下册 章末复习 教学目标 　　1．掌握勾股定理及其逆定理，理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系． 　　2．能熟练地应用勾股定理及其逆定理解决实际问题． 　　3．通过对具体问题的解决，体会并理解分类讨论、数形结合等数学思想． 教学重点 　　掌握勾股定理及其逆定理，能利用它们解决问题． 教学难点 　　熟练地应用勾股定理及其逆定理解决实际问题． 教学过程 复习导入 　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！ 　　1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ 　　2．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 　　3．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你作判断的依据是什么？ 　　4．证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？ 　　5．一个命题成立，它的逆命题未必成立．请举例说明． 　　【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力． 要点复习 考点一　有关勾股定理的计算 　　【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°． 　　（1）若AB＝15，BC＝12，求AC的长； 　　（2）若∠A＝30°，BC＝1，求AB和AC的长； 　　（3）若AC＝10，AB比BC长2，求BC，AB的长． 　　【师生活动】学生独立思考作答，请三名学生代表板演，教师讲评． 　　【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴AC＝＝＝9． 　　（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1， 　　∴AB＝2BC＝2． 　　∴AC＝＝＝． 　　（3）设BC＝x，则AB＝x＋2． 　　由勾股定理，得102＋x2＝(x＋2)2， 　　解得x＝24． 　　∴x＋2＝26，即BC＝24，AB＝26． 　　【归纳】命题形式“千变万化”，套用三种模式找条件： 　　（1）已知两边，求第三边：可直接应用勾股定理求解． 　　（2）已知一边和一个特殊角，求另两边：利用特殊直角三角形的性质先求出一条边，再用勾股定理求出另一条边． 　　（3）已知一边和另两边的关系，求另两边：设未知数，根据勾股定理列方程求解． 　　【设计意图】例1主要考查学生对运用勾股定理求直角三角形的边长这一知识点的掌握情况．通过学生练习和教师讲解，加深学生对勾股定理的理解． 　　【例2】如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长． 　　【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师讲评． 　　【答案】解：如图，作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′． 　　∵AD′⊥AD，AD′＝AD，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°， 　　∴∠DAD′＝∠BAC＝90°，∠ADD′＝∠AD′D＝45°，AB＝AC． 　　∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD＝∠CAD′， 　　∠CDD′＝∠ADC＋∠ADD′＝90°． 　　在△BAD与△CAD′中， 　　∴△BAD≌△CAD′（SAS）． 　　∴BD＝CD′． 　　在Rt△ADD′中，DD′＝＝＝4． 　　在Rt△CDD′中，CD′＝＝． 　　故BD＝CD′＝． 　　【归纳】线段计算找垂直，构造垂直两方法． 　　计算线段长度多用勾股定理，因此解题的关键是把所求线段放入直角三角形中．我们通常用下面两种方法构造垂直关系：一是直接作高；二是通过相等的线段把所求线段转化到同一个直角三角形中． 　　【设计意图】通过例2，让学生学会构造直角三角形，并运用勾股定理求线段的长． 　　【跟踪训练1】如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝75°，BC＝，求AB的长． 　　【答案】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，则∠CDB＝∠ADB＝90°． 　　∵∠C＝45°，∠CDB＝90°， 　　∴∠CBD＝∠C＝45°． 　　∴BD＝CD． 　　又∵∠ABC＝75°，∠ADB＝90°， 　　∴∠ABD＝30°． 　　∴AB＝2AD． 　　在Rt△BCD中，由＋＝，得＝．解得BD＝． 　　在Rt△ABD中，由＋＝，得＋＝，解得AD＝1． 　　∴AB＝2． 考点二　勾股定理的验证与图形面积 　　【例3】如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△AED，连接BE，延长DE，BC相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形． 　　（1）判断△ABE的形状，并说明理由； 　　（2）用含b的代数式表示四边形ABFE的面积； 　　（3）利用右侧的图形说明：a2＋b2＝c2． 　　【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师讲评． 　　【答案】解：（1）△ABE是等腰直角三角形．理由： 　　∵Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△AED， 　　∴Rt△ABC≌Rt△AED． 　　∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，∠BAE＝90°． 　　∴△ABE是等腰直角三角形． 　　（2）∵Rt△ABC≌Rt△AED． 　　∴S△ABC＝S△AED． 　　∵S四边形ABFE＝S△ABC＋S四边形ACFE，S正方形ACFD＝S△AED＋S四边形ACFE， 　　∴S四边形ABFE＝S正方形ACFD＝b2． 　　（3）∵S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，S△BAE＝c2，S△BFE＝(b＋a)(b－a)， 　　∴b2＝c2＋(b＋a)(b－a)． 　　整理，得2b2＝c2＋b2－a2． 　　∴a2＋b2＝c2． 　　【归纳】用面积法验证勾股定理的正确性，通常的方法是割补几何图形，把一个图形分成几个图形的面积和，通过恒等变形得到勾股定理． 　　【设计意图】通过例3，考查学生能否根据图形验证勾股定理，加深学生对勾股定理的理解． 　　【例4】如图，分别以直角三角形三边a，b，c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有________个． 　　【师生活动】学生独立思考完成作答，教师讲评． 　　【答案】4 　　【解析】（1）图①中，根据等边三角形的面积的求法，得S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2． 　　∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3． 　　（2）图②中，根据圆的面积的求法，得S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2． 　　∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3． 　　（3）图③中，根据等腰直角三角形的面积的求法，得S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2． 　　∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3． 　　（4）图④中，根据正方形的面积的求法，得S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2． 　　∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3． 　　【归纳】利用勾股定理也可以解决与面积有关的问题．解题的关键是先把图形的面积转化为直角三角形边长的平方，再利用勾股定理所得的三边之间的数量关系得出几何图形面积之间的关系． 　　【设计意图】通过例4，考查学生能否应用勾股定理解决与面积有关的问题，让学生体会转化思想和数形结合思想． 考点三　勾股定理的逆定理 　　【例5】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝20，D为AB上一点，且CD＝16，BD＝12，求AC的长． 　　【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错，教师进行指导． 　　【答案】解：在△BDC中，∵＋＝＋＝＝， 　　∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°． 　　∴ADC＝90°． 　　在Rt△ADC中，设AD＝x，则AC＝AB＝12＋x． 　　根据勾股定理，得＋＝， 　　解得x＝． 　　∴AC＝． 　　【归纳】由三边判定直角三角形的三步法： 　　（1）确定——确定三角形的最大边长； 　　（2）计算——算出最大边长的平方及其他两边长的平方和； 　　（3）判断——根据计算后的数量关系判断三角形的形状． 　　【设计意图】通过例5，检测学生对勾股定理的逆定理的掌握情况，通过实践，让学生能熟练地运用勾股定理的逆定理判定直角三角形． 　　【跟踪训练2】如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，＋＝，试判断△ABC的形状，并说明理由． 　　【答案】解：△ABC是等腰直角三角形．理由如下： 　　∵△ACE≌△BCD， 　　∴AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD． 　　∵＋＝， 　　∴＋＝． 　　∴∠EAD＝90°． 　　∴∠EAC＋∠DAC＝90°． 　　∴∠DAC＋∠B＝90°． 　　∴∠ACB＝180°－90°＝90°． 　　∵AC＝BC， 　　∴△ABC是等腰直角三角形． 考点四　利用勾股定理解决最短路径问题 　　【例6】如图是一个长方体的货柜，已知它的高为3 m，底面是边长为2 m的正方形．现在点A处有一只壁虎，想沿长方体表面到达点C处，则壁虎爬行的最短路程是多少？ 　　【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师根据学生的作答情况补充讲解． 　　【分析】首先将长方体展开成平面图形，连接AC，根据两点之间线段最短来解答，然后利用勾股定理求出线段的长度． 　　【答案】解：（1）如图，将长方体的右表面翻折至前表面，使A，C两点共面，连接AC，则线段AC的长度即为此种情况的最短路程． 　　∴AC＝＝＝5（m）． 　　（2）如图，将长方体的后表面翻折至上表面，使A，C两点共面，连接AC，则线段AC的长度即为此种情况的最短路程． 　　∴AC＝＝＝（m）． 　　∵＞5，∴壁虎爬行的最短路程是5 m． 　　【归纳】解立体图形中最短路径问题的四步骤： 　　第1步：展开，即将立体图形展开为平面图形；（注意：①只需展开包含相关点的面；②可能存在多种展开法．） 　　第2步：定点，即确定相关点的位置； 　　第3步：连线，即连接相关点，构造直角三角形； 　　第4步：计算，即根据勾股定理求解． 　　【设计意图】通过解答本题，让学生学会利用勾股定理解决最短路径问题的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力． 考点五　勾股定理及其逆定理的实际应用 　　【例7】如图，在公路AB旁有一座山，现有一处C需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破时不能进入点C周围半径250 m的范围内．问：在进行爆破时公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？ 　　【师生活动】学生独立思考，尝试解答，教师进行指导． 　　【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D． 　　∵BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB＝90°， 　　根据勾股定理，得AB＝＝500（m）． 　　由三角形的面积公式，可知S＝AB·CD＝BC·AC． 　　∴CD＝240 m． 　　∵240＜250， 　　∴点C到AB的距离小于250 m． 　　∴在进行爆破时，公路AB段需要暂时封锁． 　　【归纳】利用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，首先将实际问题转化为数学问题．需要画图时，要从实际问题中抽象出正确的几何图形，然后将已知条件和结论集中在同一个直角三角形中解决问题． 　　【设计意图】通过分析具体问题，让学生巩固利用勾股定理解决实际问题的基本思路，进一步体会转化思想和数形结合思想． 　　【跟踪训练3】一个钢板的形状如图所示，工人师傅测得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13．你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 　　【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师讲评． 　　【答案】解：∵32＋42＝52，即＋＝， 　　∴∠B＝90°． 　　同理，∠ACD＝90°． 　　∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×5×12＝6＋30＝36． 　　故这块钢板的面积是36． 课堂小结 板书设计 　　一、有关勾股定理的计算 　　二、勾股定理的验证与图形面积 　　三、勾股定理的逆定理 　　四、利用勾股定理解决最短路径问题 　　五、勾股定理及其逆定理的实际应用 课后任务 　　完成教材第38页复习题17第1～7题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$