第17章 勾股定理 章末复习 教案 2024-2025学年人教版八年级数学下册

章末复习

　　1．掌握勾股定理及其逆定理，理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．

　　2．能熟练地应用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

　　3．通过对具体问题的解决，体会并理解分类讨论、数形结合等数学思想．

　　掌握勾股定理及其逆定理，能利用它们解决问题．

　　熟练地应用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

      复习导入      

　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！

　　1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？

　　2．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？

　　3．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你作判断的依据是什么？

　　4．证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？

　　5．一个命题成立，它的逆命题未必成立．请举例说明．

　　【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．

       要点复习      

考点一　有关勾股定理的计算

　　【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°．

　　（1）若AB＝15，BC＝12，求AC的长；

　　（2）若∠A＝30°，BC＝1，求AB和AC的长；

　　（3）若AC＝10，AB比BC长2，求BC，AB的长．

　　【师生活动】学生独立思考作答，请三名学生代表板演，教师讲评．

　　【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，

　　∴AC＝＝＝9．

　　（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，

　　∴AB＝2BC＝2．

　　∴AC＝＝＝．

　　（3）设BC＝x，则AB＝x＋2．

　　由勾股定理，得102＋x2＝(x＋2)2，

　　解得x＝24．

　　∴x＋2＝26，即BC＝24，AB＝26．

　　【归纳】命题形式“千变万化”，套用三种模式找条件：

　　（1）已知两边，求第三边：可直接应用勾股定理求解．

　　（2）已知一边和一个特殊角，求另两边：利用特殊直角三角形的性质先求出一条边，再用勾股定理求出另一条边．

　　（3）已知一边和另两边的关系，求另两边：设未知数，根据勾股定理列方程求解．

　　【设计意图】例1主要考查学生对运用勾股定理求直角三角形的边长这一知识点的掌握情况．通过学生练习和教师讲解，加深学生对勾股定理的理解．

　　【例2】如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．

　　【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师讲评．

　　【答案】解：如图，作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′．

　　∵AD′⊥AD，AD′＝AD，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，

　　∴∠DAD′＝∠BAC＝90°，∠ADD′＝∠AD′D＝45°，AB＝AC．

　　∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD＝∠CAD′，

　　∠CDD′＝∠ADC＋∠ADD′＝90°．

　　在△BAD与△CAD′中，

　　∴△BAD≌△CAD′（SAS）．

　　∴BD＝CD′．

　　在Rt△ADD′中，DD′＝＝＝4．

　　在Rt△CDD′中，CD′＝＝．

　　故BD＝CD′＝．

　　【归纳】线段计算找垂直，构造垂直两方法．

　　计算线段长度多用勾股定理，因此解题的关键是把所求线段放入直角三角形中．我们通常用下面两种方法构造垂直关系：一是直接作高；二是通过相等的线段把所求线段转化到同一个直角三角形中．

　　【设计意图】通过例2，让学生学会构造直角三角形，并运用勾股定理求线段的长．

　　【跟踪训练1】如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝75°，BC＝，求AB的长．

　　【答案】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，则∠CDB＝∠ADB＝90°．