17.2勾股定理的逆定理 教案 2024-2025学年人教版八年级数学下册

人教版初中数学　八年级下册 17.2　勾股定理的逆定理（第1课时） 教学目标 　　1．了解原命题、逆命题等概念，并会写一个命题的逆命题． 2．会判断一个命题的逆命题的真假，知道定理与逆定理的关系． 3．了解勾股定理的逆定理的证明方法，知道勾股定理的逆定理的条件与结论与勾股定理的条件与结论的关系． 教学重点 　　勾股定理的逆定理． 教学难点 　　勾股定理的逆定理的证明． 教学过程 新课导入 【问题】命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 这个命题的条件和结论分别是什么？ 【师生活动】教师引导，学生独立思考，然后找学生代表回答． 【答案】条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c． 结论：a2＋b2＝c2． 【师生活动】教师追问：如果将条件和结论反过来，这个命题还成立吗？ 【设计意图】通过这个问题，引导出勾股定理的逆定理的内容，为下面学习勾股定理的逆定理及原命题和逆命题的概念做铺垫． 新知探究 一、探究学习 【问题】据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角． 这种方法对吗？ 【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答． 【答案】三边分别为3，4，5， 满足关系：32＋42＝52， 则该三角形是直角三角形． 【设计意图】通过古埃及人画直角的方法，说明将勾股定理的条件和题设反过来所得的的命题在一般情况下也是正确的． 【问题】画一画：下列各组数中的两数的平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）． ①2.5，6，6.5； ②6，8，10； ③4，7.5，8.5． 量一量：用量角器量一量，它们是什么三角形？ 【师生活动】教师引导，学生画图测量，小组讨论，然后找学生代表回答． 【答案】直角三角形． 【师生活动】教师追问：由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？小组讨论，然后找学生代表回答． 【新知】如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 【设计意图】通过画图测量，猜测勾股定理的逆命题的正确性． 【问题】命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 这两个命题有什么不同？ 【师生活动】教师引导，小组讨论，学生分小组讨论，并派代表发言，教师总结． 【答案】命题1与命题2的题设、结论正好相反． 【新知】命题1与命题2的题设、结论正好相反．我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 【问题】说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【师生活动】教师引导，学生独立思考，然后找学生回答． 【答案】解：（1）内错角相等，两直线平行，成立； （2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立； （3）对应角相等的两个三角形全等，不成立； （4）角平分线上的点到角两边的距离相等，成立． 【新知】一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立． 【设计意图】通过几个例子，说明原命题的正确性与其逆命题的正确性并不全都一致． 【思考】命题2正确吗？如何证明呢？ 【师生活动】教师分析，学生思考． 【分析】画一个两条直角边分别为a，b的直角三角形，如果△ABC与这个直角三角形全等，那么△ABC就是直角三角形． 【答案】证明：画一个△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a，C′A′＝b． ∵∠C′＝90°，∴A′B′2＝a2＋b2＝c2． ∴A′B′＝c． 在△ABC和△A′B′C′中， BC＝a＝B′C′，CA＝b＝C′A′，AB＝c＝A′B′． ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． ∴∠C＝∠C′＝90°． 即△ABC是直角三角形． 【新知】这样我们证明了命题2是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．即：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形． 二、典例精讲 【例1】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝15，b＝8，c＝17； （2）a＝13，b＝14，c＝15． 【分析】只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 【答案】解：（1）∵152＋82＝225＋64＝289，172＝289， ∴152＋82＝172． ∴以15，8，17为边长的三角形是直角三角形． （2）∵132＋142＝169＋196＝365，152＝225， ∴132＋142≠152． ∴这个三角形不是直角三角形． 【新知】像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 【设计意图】检验学生对根据三角形的三边长判断直角三角形的能力，同时引出勾股数的概念． 　　【例2】在△ABC中，abc＝91512，试判断△ABC是否是直角三角形？ 　　【答案】解：依题意知b是最长边， 设a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)， ∵a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，b2＝(15k)2＝225k2， ∴a2＋c2＝b2，即△ABC是直角三角形． 　　【提醒】本题易错点：没有弄清楚哪条边是最长边的情况下就盲目地运用勾股定理的逆定理，从而导致错误． 　　【设计意图】通过此题，让学生知道这类题的易错点． 课堂小结 板书设计 一、勾股定理的逆定理 二、互逆命题：原命题、逆命题 三、勾股数 课后任务 　　完成教材第34页习题17.2第2题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$