精品解析：宁夏中卫市沙坡头区2024-2025学年九年级上学期期中数学模拟试卷（二）

宁夏中卫市沙坡头区2024-2025学年九年级 第一学期期中数学模拟试卷（二） 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 4. 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≥ B. m＜ C. m＞且m≠1 D. m≥且m≠1 5. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将两条宽度相同的纸条相交成30°角叠放，重合部分构成四边形，已知，则原纸条的宽度为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 无法确定 7. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，且．点E为上一点，连接，射线．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点G．若，则点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 若，则代数式的值是___________． 10. 数是数和数比例中项，若，，则数的值为____ 11. 菱形有一个内角为，较长对角线长为，则它的面积为__________． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 如图，在△ABC中，E是BC上一点，EC＝2BE，点F是AC的中点，若，则 的值为________· 14. 在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球实验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为_______． 15. 新定义：关于一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 16. 如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为_______________． 三、解答题（本题共6题，每题6分，共36分） 17. 解下列方程 （1）（利用配方法） （2）（利用公式法） 18. 中卫三中为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 19. 如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果，，，求菱形的边长． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一个根是，求值； （2）若方程有两个实数根，求的取值范围． 21. 如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，求的长． 22. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 23. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地年种植“阳光玫瑰”亩，到年“阳光玫瑰”的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利元，则售价应降低多少元? 24. 如图，在矩形中，，，延长到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点D运动，设点P运动的时间为t秒． （1）______； （2）连接，当四边形是菱形时，求t的值； （3）连接，设四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 25. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．     （1）当__________时，四边形是矩形； （2）当__________时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 26. 阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． （1）按照上述方法，将代数式变形为的形式； （2）若，用配方法求的最小值； （3）已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁夏中卫市沙坡头区2024-2025学年九年级 第一学期期中数学模拟试卷（二） 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程，进行计算即可解答． 【详解】解∶ ， ， ． 故选∶B． 2. 若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：∵，，，成比例线段， ∴可得：， 又∵，，， ∴， 解得：， ∴线段的长为． 故选：B 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键． 3. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键． 4. 已知关于x一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≥ B. m＜ C. m＞且m≠1 D. m≥且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，方程有实根，△≥0，综合以上两方面进行计算即可． 【详解】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根， ∴ ， 解得：m≥且m≠1． 故选D． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．注意不要忽略一元二次方程的系数不为0这一条件． 5. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 6. 如图，将两条宽度相同的纸条相交成30°角叠放，重合部分构成四边形，已知，则原纸条的宽度为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键． 先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，即重叠部分为菱形可得，然后由含角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于E，于F， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 7. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，且．点E为上一点，连接，射线．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点G．若，则点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，延长交射线于点Q，过点G作于点H，求出，可得结论． 【详解】解：延长交射线于点Q，过点G作于点H，如下图所示， ∵，四边形是矩形， ∴， ， ， ∴ ， ∴， ∴ ∴， ∴，由作图的步骤，可知平分， ∴ 又∵， ∴，设，则， ∴，即， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点G的坐标为， 故选: A 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 若，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先用y表示x，再代入分式求值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴=， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查分式求值，用y表示x，再代入求值，是解题的关键． 10. 数是数和数的比例中项，若，，则数的值为____ 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的性质，即可求出b的值． 此题考查了比例中项的定义，或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项． 【详解】解：∵数是数和数的比例中项， ∴ ∴， 故答案为：． 11. 菱形有一个内角为，较长的对角线长为，则它的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出菱形，根据菱形的对角线性质得，继而解出，由含30°角的直角三角形性质解得，在中，利用勾股定理解得，进一步得到，最后由菱形的面积公式解题即可． 【详解】解：如图， 菱形中，， ， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 解得， ， ， 菱形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．再利用整体代入法是本题的关键． 【详解】解：∵，是的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，E是BC上一点，EC＝2BE，点F是AC的中点，若，则 的值为________· 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式 是解题的关键． 利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则 然后利用，得到答案． 详解】解： ∵点F是的中点， 即， 故答案为：． 14. 在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球实验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】设袋中红球的个数为，根据摸到红球的频率，列出方程，解方程从而可以得到红球的个数． 【详解】解：设袋中红球个数为 依题意， 解得 经检验，是方程的解 ∴估计袋中红球的个数为个． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 15. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 16. 如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点D且平行于的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在边长为4的菱形中，， ∴，， 将沿射线的方向平移得到， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点D且平行于的定直线上， ∴作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 三、解答题（本题共6题，每题6分，共36分） 17. 解下列方程 （1）（利用配方法） （2）（利用公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤和求根公式是解题的关键． （1）先把移到方程的右边，然后配方求解即可； （2）先求出的值，再利用求根公式求解即可． 【小问1详解】 解： 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，． 18. 中卫三中为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400；②见解析；③54 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列树状图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）①由B组的人数除以所占百分比即可； ②求出A组、C组的人数，补全条形统计图即可； ③由乘以C组所占的比例即可； （2）列树状图解答． 【小问1详解】 ①此次调查一共随机抽取学生人数为：（名）， 故答案为：400； ②A组的人数：（名）， C组的人数：（名）， 补全条形统计图如下： ③， 故答案为：54； 【小问2详解】 列树状图如下： 共有12种等可能结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种， ∴恰好抽中甲、乙两人的概率． 19. 如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果，，，求菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行，得到四边形为平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得证； （2）证明为等腰三角形，推出，再利用所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理，即可求出的长，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查菱形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，以及勾股定理．熟练掌握角平分线加平行线，必有等腰三角形，是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一个根是，求的值； （2）若方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根的定义把代入中进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得：． 21. 如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到，，进而可得即可解题． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）正方形的边长为6． 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 23. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地年种植“阳光玫瑰”亩，到年“阳光玫瑰”的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利元，则售价应降低多少元? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为，根据该基地年及年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为， 依题意，得：， 解得：或（舍） 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 设售价应降低元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：或 要尽量减少库存， 答：售价应降低元． 24. 如图，在矩形中，，，延长到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点D运动，设点P运动的时间为t秒． （1）______； （2）连接，当四边形是菱形时，求t的值； （3）连接，设四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可； （2）根据菱形的性质可得答案； （3）分两种情形，当和时，分别计算梯形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，； 故答案为：5 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，此时， ； 当时，此时， ， 综上所述，S与t之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，梯形的面积公式，勾股定理，菱形的性质，函数解析式等知识，运用分类思想是解（3）的关键． 25. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．     （1）当__________时，四边形是矩形； （2）当__________时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在某一时刻，使得 【解析】 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； 【小问1详解】 解：如图， 过点作于点， 由矩形可知， ，， ，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，由运动可知， ， 则， 当， 四边形是矩形，得到， ， 解得， 即当时，四边形是矩形， 故答案：； 【小问2详解】 解：当四边形是菱形， ， ， 解得， 即当时，四边形菱形， 故答案为：； 【小问3详解】 解：不存在，理由如下： ， ， ， 若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，， 即方程有解， 方程整理得 ， 故方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．解决此题注意结合方程的思想解题． 26. 阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． （1）按照上述方法，将代数式变形为的形式； （2）若，用配方法求的最小值； （3）已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）的最小值是5 （3）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，整式的混合运算，非负性，等边三角形的判定和性质， （1）根据材料提示的配方法即可求解； （2）运用配方法及非负性即可求解； （3）运用分组配方法可得，根据非负性可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴ ， 所以，的最小值是； 【小问3详解】 解：是等边三角形： ， ， ， 是等边三角形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$