精品解析：河南省信阳市2024-2025学年 九年级上学期数学五校联考测试卷

河南省2025届九年级阶段评估（—）数学 ▶上册21.1~22.1◀ 注意事项：共三个大题，满分120分，作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在括号中） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．直接根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故本选项符合题意； B、整理后为是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、，是分式方程，故本选项不符合题意； D、，当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 方程的两根分别为（ ） A. ， B. C. D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法．移项，开方，进行计算即可得． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：A． 3. 关于x的二次函数的图象过原点，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，得到关于a的方程，解方程即可，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：将代入二次函数解析式，可得， 解得， 当时，，，不是二次函数，不合题意； 当时，，是二次函数，符合题意； 故a的值为1， 故选B． 4. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 6 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入，即可求出的值． 【详解】解：把代入得， ． 故选：D． 5. 将抛物向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个数学问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长阔各几何?译文：一个长方形的面积是864平方步，它的宽比长少12步，长宽各是多少步?设长为x步，则可列出正确的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决问题，关键是找相等关系； 设宽为步，长为步，列方程即可； 【详解】设宽为步， 长为步， 根据题意列方程， 故选：B． 7. 关于二次函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．将解析式化为顶点式，得出开口向下，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：关于二次函数， 则，开口向下，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误； 顶点坐标为，故选项C错误； 当时，y随x的增大而减小，故选项D正确； 故选：D． 8. 某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划组织x支球队参加，安排21场比赛，则x为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用比赛的总场数=参赛队伍数参赛队伍数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴x的值为7． 故选：B． 9. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及二次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．首先根据一元二次方程没有实数根确定k的取值范围，然后根据二次函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，且关于y轴对称， 四个选项中，只有选项C符合， 故选：C． 10. 若二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表 x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 点点在该函数图象上，当与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格数据判断出对称轴为直线x=2，再根据二次项系数小于0判断出函数图象开口向下，然后根据x的取值范围写出大小关系即可． 【详解】解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x=2， ∵a=-1＜0， ∴函数图象开口向下， ∵0＜x1＜1，2＜x2＜3， ∴y1＜y2． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出对称轴和开口方向是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个开口向上，对称轴为直线的二次函数：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口向上，即，对称轴为直线，即的二次函数解析式即可求解． 【详解】解：开口向上，并且对称轴为直线， ，即， 令，则， 故二次函数的解析式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， ． 故答案为：． 13. 老君山，原名景室山，位于古都洛阳栾川县城东南三千米处，距今已有两千多年人文历史．2023年元旦假期老君山共接纳游客约3.29万人次，预计2025年元旦假期接纳游客达5万人次，若从2023年至2025年元旦假期接纳游客人次的平均增长率相同，设平均增长率为，则根据题意，可列方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设平均增长率为，则2024年元旦假期接纳游客人数为，2025年元旦假期接纳游客人数为，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得． 故答案为：． 14. 定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，即可求解． 【详解】解：当时，， 可得抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，，解得，， 可得抛物线与x轴的交点坐标为，， 将抛物线向上平移6个单位长度，或者向左平移3个单位长度，或者向右平移2个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点， 的最小值为2，最大值为6． 故答案为：2，6． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）方程无解 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （）原方程化为，利用因式分解即可求解； （）利用公式法即可判断方程无解． 【小问1详解】 解： ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解： ，，， ∴， ∴方程无解． 17. 已知关于的方程． （1）当满足什么条件时，该方程是一元二次方程？ （2）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：对于方程， ∵， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义可知，求解即可获得答案； （2）根据题意，可得，即可证明结论． 【小问1详解】 解：若关于的方程是一元二次方程， 则有，解得， 即当时，该方程是一元二次方程； 【小问2详解】 略 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 m 0 3 … （1）求m的值； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）由表格中数据可知抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即； （2）根据表格中的数据描点、连线即可； （3）根据函数图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：∵当和时，；即， ∴抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0， ∴； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由函数图象得：当时，． 19. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法如下：“先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形（如图1），得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．” （1）这个方法运用的数学思想方法是（ ） A．数形结合 B．分类讨论 C．类比推理 D．方程思想 （2）小明按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，请利用该图形求出方程的正数解． 【答案】（1）A （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意这种方法是数字与图形结合的数学思想，由此即可解答； （2）根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积阴影部分的面积个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论． 【小问1详解】 解：根据题意：这个方法运用的数学思想方法是数形结合， 故选：A； 【小问2详解】 解：， 设， 则， 同理：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形， 得到大正方形的面积为， 则该方程的正数解为． 20. 某网店销售台灯，成本为每盏30元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为40元时，平均每月售出600盏；当每盏台灯的售价每下降1元时，每月多售出50盏． （1）若每盏台灯售价为38元，则每月可卖出________盏台灯； （2）该网店决定降价促销，迎接“十一”国庆黄金周，当每盏台灯的售价定为多少元时，利润为4800元？ 【答案】（1） （2）每盏台灯的售价定为36元时，利润为4800元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价每下降1元时，每月多售出50盏，列式计算即可； （2）设每盏台灯的售价为元，根据售价每下降元，其月销售量就增加盏即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解，根据题意找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意：（盏）； 【小问2详解】 解：设每盏台灯的售价为元，则销售量为盏， 根据题意：， 整理得：，即， 解得：或（舍去，不符合题意）， 答：每盏台灯的售价定为36元时，利润为4800元． 21. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上． （1）求出m的值； （2）已知该函数图象经过点，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算，交点的计算方法是解题的关键． （1）根据点的平移方式得到点B的坐标，由题意得到对称轴为，根据二次函数的对称轴，即可求解； （2）由（1）得，即可得到二次函数解析式为，将点代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数图象与轴交于点， 令，则 ∴， ∵点向右平移个单位长度得到点，点 恰好也在该函数的图象上， ∴， ∴该函数图象的对称轴为：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，即二次函数解析式为， 将点代入解析式，得：， 解得：． 22. 请阅读下列材料： 在求代数式的最小值时，三位同学分别提出了下面的解决方法： 甲同学：． ， 当时，有最小值，最小值为2． 乙同学：设， 是关于x的二次函数，对称轴是直线，当时，． ， 的最小值是2． 丙同学：设， ． 关于x的一元二次方程有实数根， ，解得， 的掫小值是2． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）（其中h，k是常数），则_______，________； （2）已知关于x的多项式的最大值为10，求m的值； （3）某商店经销一种双肩包，通过市场调查发现，这种双肩包每天的销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元）有如下关系：，当这种双肩包的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2） （3）当这种双肩包的销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，二次函数的应用． （1）利用配方法配方，即可得到的值； （2）利用配方法配方，根据，即可求解； （3）将二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， ； 【小问2详解】 解：， 关于的多项式的最大值为10， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， ,又， 当时，有最大利润，最大利润为， 答：当这种双肩包的销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为，抛物线经过O，A两点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线与线段的交点为D，连接，将沿直线折叠，点C的对应点为E，连接，求的长度． （3）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由点C的坐标求出菱形的边长，得到点A的坐标，利用待定系数法即可解答； （2）先求出点D的坐标，延长交y轴与点G，延长交x轴与点F，证明是等腰直角三角形，得到，由折叠的性质得：，推出，求出，，利用勾股定理即可求解； （3）设与抛物线对称轴交于点H，连接，求出直线的解析式为，根据抛物线的对称轴为，求出点，设，则，根据，，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 四边形是菱形， ， ， 抛物线经过O，A两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， 点的纵坐标为4， 令抛物线， 解得：或， 根据题意：， ， 由（1）知， 由折叠的性质得：， 延长交y轴与点G，延长交x轴与点F， 轴， 轴， 则， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质得：， ， 轴， ，即轴， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：设与抛物线对称轴交于点H，连接， 由（2）知， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：或， 或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与图形面积问题，折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025届九年级阶段评估（—）数学 ▶上册21.1~22.1◀ 注意事项：共三个大题，满分120分，作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在括号中） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的两根分别为（ ） A. ， B. C. D. 无实数根 3. 关于x的二次函数的图象过原点，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 4. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 6 C. 4 D. 5. 将抛物向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个数学问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长阔各几何?译文：一个长方形的面积是864平方步，它的宽比长少12步，长宽各是多少步?设长为x步，则可列出正确的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划组织x支球队参加，安排21场比赛，则x为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表 x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 点点在该函数图象上，当与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个开口向上，对称轴为直线的二次函数：________． 12. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 13. 老君山，原名景室山，位于古都洛阳栾川县城东南三千米处，距今已有两千多年人文历史．2023年元旦假期老君山共接纳游客约3.29万人次，预计2025年元旦假期接纳游客达5万人次，若从2023年至2025年元旦假期接纳游客人次的平均增长率相同，设平均增长率为，则根据题意，可列方程：______． 14. 定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是______． 15. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为______，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的方程． （1）当满足什么条件时，该方程是一元二次方程？ （2）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 m 0 3 … （1）求m的值； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）； （3）当时，直接写出y的取值范围． 19. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法如下：“先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形（如图1），得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．” （1）这个方法运用的数学思想方法是（ ） A．数形结合 B．分类讨论 C．类比推理 D．方程思想 （2）小明按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，请利用该图形求出方程的正数解． 20. 某网店销售台灯，成本为每盏30元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为40元时，平均每月售出600盏；当每盏台灯的售价每下降1元时，每月多售出50盏． （1）若每盏台灯售价为38元，则每月可卖出________盏台灯； （2）该网店决定降价促销，迎接“十一”国庆黄金周，当每盏台灯的售价定为多少元时，利润为4800元？ 21. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上． （1）求出m的值； （2）已知该函数图象经过点，求a的值． 22. 请阅读下列材料： 在求代数式的最小值时，三位同学分别提出了下面的解决方法： 甲同学：． ， 当时，有最小值，最小值为2． 乙同学：设， 是关于x的二次函数，对称轴是直线，当时，． ， 的最小值是2． 丙同学：设， ． 关于x的一元二次方程有实数根， ，解得， 的掫小值是2． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）（其中h，k是常数），则_______，________； （2）已知关于x的多项式的最大值为10，求m的值； （3）某商店经销一种双肩包，通过市场调查发现，这种双肩包每天的销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元）有如下关系：，当这种双肩包的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为，抛物线经过O，A两点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线与线段的交点为D，连接，将沿直线折叠，点C的对应点为E，连接，求的长度． （3）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $