7.2.2复数的乘、除运算的课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2复数的乘、除运算 目标导学 1.掌握复数代数形式的乘除运算. 2.理解复数乘法的运算律及对加法的分配律，理解共轭复数的概念. 3 4 5 6 7 运算满足交换律、结合律、分配律(乘法) 复习:复数的加、减、乘运算 已知两个复数z1=a+biz2=c+di(a,b,c,d∈R)，则 8 一、复数的乘法运算 我们规定，复数的乘法法则如下 ： 设 z1=a+ bi，z2= c+ di (a, b, c, d∈R)是任意两个复数： 类似多项式展开 把 i2 换成－1，合并实部与虚部 注意： 1、两个复数的积是一个确定的复数； 2、当z1，z2 ∈R时，复数的积就是实数的积； 3、两个复数相乘，类似于两个多项式相乘， 只要在结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可。 (a, b, c, d∈R) 则 =（a+bi）·（c+di）=ac+adi+bci+bdi² =（ac-bd）+（ad+bc）i （a+bi）·（c+di） =（ac-bd）+（ad+bc）i 探索新知 复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗? 则z1·z2= (a+bi) ( c+d i ) = ac+ad i+abi +bdi2 = ac+ad i+cbi－bd =(ac－bd)+(ad +cb )i 而z2·z1= ( c+di ) (a+bi) = ca+cb i+adi +bdi2 = ca+cb i+adi－bd =(ac－bd)+(ad +cb )i 所以 z1·z2=z2·z1 (交换律) 同理易得：(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律) 讲授新课：一、复数的乘法运算 设z1 = a+bi, z2 = c+di, z3 = e+fi . (a、 b、c、d、 e、f∈R) 归纳总结 讲授新课：一、复数的乘法运算 1.复数的乘法法则 设 z1= a+ bi，z2= c+ di (a, b, c, d∈R) 注意： 1两个复数的积是一个确定的复数； 2当z1，z2 ∈R时，复数时的积就是这两个实数的积. 2.复数的乘法运算律 任取 z1 , z2 , z3∈C. 则：z1·z2 = z2·z1 (交换律) (z1·z2)·z3 = z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3) = z1·z2+z1·z3 (分配律) （a+bi）·（c+di） =（ac-bd）+（ad+bc）i 小试牛刀 1、(1＋i)(2－i)＝ (　　) A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i 跟踪练习 ：1 2 .已知a，b∈R，i是虚数单位， 若a－i 与 2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2= (　 　) A．5－4 i B．5＋4 i C．3－4 i D．3＋4 i D D 解析：原式 － － 解析：由题意：a=2，b=1 （a+bi）²=（2+i）² =2²+4i+i²=4+4i-1=3+4i 小试牛刀 典型例题p78：复数的乘法运算 【跟踪训练】 1.计算：(7-6i)(-3i) =_____. A. -18 -21i B. -21+18i C. -18 +21i D. -21-18i A 例3、计算下列各题： (1－2i)(3＋4i) (－2＋i) 点拨： 1复数的乘法运算类似于多项式乘法运算； 2注意结果要将实部、虚部分开；i2 换成－1 ． （a+bi）·（c+di） =（ac-bd）+（ad+bc）i 解：原式=（3+4i-6i-8i²）（-2+i） =（11-2i）（-2+i） =-22+11i+4i-2i²=-20+15i 解：原式=-21i+18i²=-21i-18 小试牛刀 典型例题p78：复数的乘法运算 例4、计算下列各题： (1)( 2－3i )( 2＋3i ): (2) (1＋i) 2. 点拨： 1、复数的乘法与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)。 2、多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用。 解：=2²-（3i）² =4-9i² =4+9 =13 解：=1²+2i+i² =1+2i-1 =2i 反思感悟 1、两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. 2、常用公式 ①完全平方公式：(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②平方差公式：(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). 一、复数的乘法运算 【解题策略】 1.两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等. 2.常用公式 (1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R); (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); (3)(1±i)2=±2i. 16 = （a,b,c,d∈R，且c+di≠0） 二：复数的除法法则 1. 复数的除法运算 【解题策略】 　复数除法运算法则的应用 (1)复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i). (2)对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高,计算过程就可以简化,达到快速、简捷、出错少的效果.比如下列结果,要记住: ① =-i;② =i;③ =-i;④a+bi=i (b-ai). 23 1.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减.(　　) 2.两个共轭复数的和与积都是实数.(　　) 1、判断对错 √ √ × √ 练习巩固 24 (1)（7-6i)(-3i） (2) (3+4i)(-2-3i) 2、计算 （1）-18+21i （2）6-17i 练习巩固 25 3、 练习巩固 26 1. 复数的乘法运算 2. 复数乘法的运算律 3. 复数的除法法则 复数的乘除运算 1. 复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项 式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可. 2.根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似. 与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,根与系数的关系仍适用,但判别式“Δ”不再适用. 1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则; 2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导; 3.数学运算：复数四则运算; 4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题. 方法总结 易错提醒 核心素养 核心知识 27 $$