一元一次方程解法拓展（含绝对值一元一次方程、含参一元一次方程）讲义2024-2025学年人教版数学七年级上册

一元一次方程解法拓展 一、解含绝对值的一元一次方程 【知识笔记】 1. 绝对值的代数意义: 正数的绝对值是其本身, 负数的绝对值是其相反数, 0 的绝对值是 0 . 2. 绝对值的几何意义: 表示这个数的点离原点的距离, 因此任何数的绝对值都是非负数. 经典例题 1. 阅读理解: 我们已经知道,2 的绝对值是 的绝对值也是 2 ; 于是得到当 时, , 我们可以利用这个结论解含有绝对值的一元一次方程. 例如: 解方程 . 首先可以得到两个一元次方程 或者 ,进而求出方程的解 . 根据以上材料解答下列问题: 已知 ,求 的值 巩固练习 1-1. _____. 巩固练习 1-2. 解下列方程: 巩固练习 1-3.解方程: . 巩固练习 1-4. 解关于 的方程 . 经典例题 2. 分析下列方程,当 取不同值的时候,方程的解的情况: (1) . (2) . 巩固练习 2-1.若关于 的方程 有两个解, 只有一个解, 无解,则 关系是( ). A. B. C. D. B. 巩固练习 2-2 当 取什么范围时,关于 的方程 总有解?( ) A. B. C. D. 二、.含参方程: 的分类讨论 【知识笔记】 方程 的解要分类讨论: ①当 时,方程的解是 ; ②当 且 时,方程的解是任意数; ③当 且 时,方程无解. 考点 1 . 解含参方程 经典例题 1. 解关于 方程: . 巩固练习 1. 解关于 的方程: 经典例题 2. 已知关于 的方程 . 当此方程有唯一的解时, 的取值范围是_____. 当此方程无解时, 的取值范围是 当次方程有无数多解时, 的取值范围是_____. 巩固练习 2-1. 已知关于 的方程 有唯一解,则 应满足的条件是( ) A. 为任意数 B. C. D. 均不确定 巩固练习 2-2.如果关于 的方程 无解,那么 的取值是 巩固练习 2-3. 已知关于 的方程 无解,则 是( ) A. 正数 B. 非负数 C. 负数 D. 非正数 巩固练习 5.关于 的方程 ,当 _____时,该方程有无数个解. 考点 2 .恒成立问题 经典例题 3. 若 为定值,关于 的一元一次方程 ,无论 为何值时,它的解总是 ,求 _____. 巩固练习 3-1.方程 中,不论 取什么值, 都等于 1,求 _____. 巩固练习 3-2.如果 为定值,且关于 的方程 ,无论 为何值时,它的解总是 ,那么 三、含参方程:解的关系求解 【知识笔记】 利用解的关系求参数的操作步骤: (1)明确两个方程的解的数量关系(包括和差倍分及相反数等); (2)分别解出两个方程; (3)使两个方程的解满足要求的数量关系, 形成新方程; (4) 求解新方程. 考点 1 .直接求参数 经典例题 1. 方程 的解是 ,则 的值是( ) A. 1 B. -1 C. -3 D. 3 巩固练习 1.方程的 解是 ,则 的值是( ) A. 12 B. -14 C. 18 D. 22 考点 2: 解相同 经典例题 2.若方程 与方程 的解相同,则 的值为_____. 巩固练习 2-1. 若关于 的方程 与 的解相同,则 的值为( ) A. -10 B. 10 C. -5 D. 5 巩固练习 2-2. 如果方程 与方程 的解相同,则 的值为( ) A. -8 B. -4 C. 4 D. 8 巩固练习 2-3.方程 与方程 的解相同,则 的值为 考点 3: 解的和为定值 经典例题 3. 已知关于 的方程 与 解互为相反数,则 巩固练习 5. 若关于 的方程 与关于 的方程 的解互为相反数,求 的值. 巩固练习 6. 已知关于 的方程 的解与 的解的和为 6,则 _____. 考点 4: 解互为倒数 经典例题 4. 已知关于 的方程 的解与方程 的解互为倒数,求 的值. 巩固练习 7. 若关于 的方程 的解与关于 的方程 的解互为倒数,则 的值为 考点 5 .两个方程含参 经典例题 5. 当 为何值时,关于 的方程 的解比关于 的方程 的解大2. 巩固练习 8. 当 时,关于 的方程 的解是 的解的 2 倍. 四、含参方程:整数解求参 【知识笔记】 整数解问题解题步骤: (1)带着参数求方程的解; (2)若分子为常数则找出分子的所有因数, 注意包含正负; (3)若分子含参则通过分离常数法使分子为常数, 再找出分子的所有因数; (4)根据题干对参数或解的要求, 选择满足要求的参数; 考点 1: 解为整数 经典例题 1.若 为整数,关于 的一元一次方程 的解为整数,求 的值以及方程的解. 巩固练习 1-1. 已知 为正整数,且关于 的一元一次方程 的解为整数,则满足条件的所有 的值之和为( ) A. 36 B. 10 C. 8 D. 4 巩固练习 1-2. 若关于 的方程 的解是整数,则整数 的取值个数是( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 巩固练习 1-3. 已知 为整数,关于 的一元一次方程 的解也为整数,则所有满足条件的数 的和为( ) A. 0 B. 24 C. 36 D. 48 考点 2: 解为正整数或负整数 经典例题 2. 若关于 的一元一次方程 的解是正整数,则符合条件的所有整数 的和为( ) A. 0 B. 4 C. 12 D. 20 巩固练习 2-1. 当 取什么整数时,关于 的方程 的解是正整数? 巩固练习 2-2.关于 的方程 有负整数解,则所有符合条件的整数 的和为( ) A. 5 B. 4 C. 1 D. -1 考点 3: 解需分离常数 经典例题 3. 已知关于 的一元一次方程 有整数解,那么满足条件的所有整数 _____. 巩固练习 6. 已知关于 的一元一次方程 有整数解,那么满足条件的所有整数 _____. 巩固练习 7. 已知关于 方程 的解是非正整数,则符合条件的所有整数 的和是( ) A. -4 B. -3 C. 2 D. 3 巩固练习 8. 已知关于 方程 的解是非正整数,则符合条件的所有整数 的和是( ) A. -4 B. -3 C. 2 D. 3 1 学科网（北京）股份有限公司 $$