第十五章分式—分式方程及其解法 讲义 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第十五章分式之分式方程及其解法人教版2024—2025学年八年级上册 【考点·方法·破译】 1．分式方程(组)的解法 解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解；或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解；或利用换元法将分式方程化为整式方程；’或利用倒数法使方程更简便. 2．分式方程增根 在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根). 【典型例题解析】 类型一、分式方程的解法 例1解下列方程 ： （1） （2） （3） （4） 【变式训练】 1.把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（　　） A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1 C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2 2．解方程：＝1﹣． 3．解分式方程：﹣1＝． 4.解下列分式方程：（1） （2） （3） （4） 5.（1）若是方程＋＝0的解，则 （2）若A＝，B＝＋1，当＝_______时，A＝B． （3）若是方程＋＝0的解，则－÷的值为. 类型二、分式方程中参数的取值范围 例2（1）若分式方程 产生增根，则 （2） 若关于的方程 无解，则 6.若关于x的方程产生增根，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．1或3 D．3 【变式训练】7.（1）分式方程－＝的增根是. （2）若分式方程－＝1有增根，则它的增根为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．1，－1 （3） 若关于x的方程＝1－无解.则的值为. （4）分式方程－＝无解，则的值为. 8.若关于x的方程﹣＝﹣1无解，则m的值是（　　） A．m＝ B．m＝3 C．m＝或1 D．m＝或3 思路点拨：分式方程无解有两种情况，（1）化成整式方程时无解（2）整式方程的解为增根 例3关于的分式方程＝－有解，求k的取值范围. 例4若关于的分式方程 的解为正数，则的取值范围是（  ） A. B. C. 且 D. 且 【变式训练】 9.若关于x的分式方程解为非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥4 B．m≤4且m≠3 C．m≥4且m≠﹣3 D．m≤4 10.已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5 B．m≤5且m≠3 C．m≥5 D．m≥5且m≠3 11.若关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 12.关于的方程＝1的解是正数，则的取值范围是( ) A．B． 且C．D．且 13.若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　． 14.当为何值时，关于的方程＝ － 的解是正数? 15.（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值． （2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围． 16.已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围． 17．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是x＝5，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值； （3）若分式方程无解，求a的值． 18．（1）已知关于x的分式方程． ①当a＝5时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 思路点拨：首先求出关于的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出的取值范围． 例4如果关于的分式方程有负分数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的积是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 9 思路点拨：先求出分式方程的解，再根据解不等式组求解得到的取值范围，再将代入分式方程的解中，满足条件即可 【变式训练】 19.关于的方程的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的整数有（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 20.从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的的值之和是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$