广东省深圳市南山区育才教育集团2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷

育才教育集团2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1．一元二次方程的解是　　 A． B．， C．， D． 2．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为　　 A．8 B．12 C．0.4 D．0.6 3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是　　 A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 5．下列命题中，为真命题的是　　 A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形 6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 7．如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是　　． A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 8．如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，则的长为　　 A．8 B． C． D． 二、填空题（每题3分，共15分） 9．已知，那么等于　　． 10．一个不透明的口袋中有1个黄色球和2个红色球，这些球除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是 　　． 11．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 　　． 12．如图，由点，，，确定的的面积为18，则的值为　 　． 13．如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于，若，则的长度为 　　． 三．解答题（共61分） 14．（8分）解下列方程： （1）； （2）． 15．（8分）某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识比较强，为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 80 80 乙组 83 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　； （2）已知该校九年级有500人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？ （3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 16．（7分）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是、、． （1）画出关于轴成轴对称的△； （2）在第一象限内，画出△ 以点为位似中心并扩大到原来的3倍的△； （3）写出点、 的坐标． 17．（8分）深圳市南山区公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2024年7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售50个，9月份销售72个，7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元个，商家经过调查统计，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 18．（8分）如图，已知中，是边上一点，过点分别作交于点，作交于点，连接． （1）下列条件：①是边的中点；②是的角平分线；③点与点关于直线对称． 请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程． （2）若四边形是菱形，且，，求的长． 19．（10分）【阅读理解】若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定，，为该“快乐方程”的“快乐数“．例如“快乐方程” ，的两根均为整数，其“快乐数” ，，，若有另一个“快乐方程” 的“快乐数” ，，，且满足，，，，，则称，，与，，互为“开心数”． （1）“快乐方程” 的“快乐数”为 　　； （2）若关于的一元二次方程为整数，且是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出m，的值___________． 20．（12分）【综合与实践】在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：将边沿翻折到的位置； 第3步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明过程如下：连接， 正方形沿折叠， ，①　　， 又， ， ． 由题意可知是的中点，设（个单位），，则， 在中，可列方程：②　　，（方程不要求化简） 解得：③　　，即是边的三等分点． “破浪”小组是这样操作的： 第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①：　　　　　　　　，②：　　　　　　　　，③：　　　　　　　　； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，，是上的一个三等分点且DE＜BE，连接AE，作点关于的对称点为，连接并延长与菱形的边交于点，请依照上述描述在图3中将图补全，并直接写出的长___________． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．一元二次方程的解是　　 A． B．， C．， D． 【解答】解：， ， 解得，， 故选：． 2．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为　　 A．8 B．12 C．0.4 D．0.6 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故选：． 3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故不符合题意； 故选：． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且． 故选：． 5．下列命题中，为真命题的是　　 A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形 【解答】解：、由四个角相等的四边形是矩形得知此命题是假命题，所以此选项错，不合题意误； 、由对角线互相垂直相等的四边形是正方形可知此命题是假命题，所以此选项错误，不合题意； 、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以原命题为假命题，所以此选项错误，不合题意； 、一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形是真命题，所以此选项正确． 故选：． 6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：月份售价为23万元，月均下降率是，5月份售价为16万元， ． 故选：． 7．如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是　　． A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【解答】解： 如图，，，， ， ， ， 而， ， ， ，即， ， 即旗杆的高度为． 故选：D． 8．如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，则的长为　　 A．8 B． C． D． 【解答】解：如图，过点作于点， 四边形为矩形， ， ，，是的中点， ， ， 根据折叠的性质可得，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 故选：． 二．填空题（共5小题） 9．已知，那么等于　　． 【解答】解：，那么， 故答案为：． 10．一个不透明的口袋中有1个黄色球和2个红色球，这些球除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是 　　． 【解答】解：黄色球用数字1表示，两个红色球分别用2和3表示，列表得： 1 2 3 1 2 3 由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两球都是红色的结果有4个， 所以两次摸出的球都是红球的概率是， 故答案为：． 11．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 　　． 【解答】解：点为的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 12．如图，由点，，，确定的的面积为18，则的值为　3或12　． 【解答】解：当时， 如图，作轴于点， ，，， ，，，， ， 解得：，； 故答案为：3或12 13．如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于，若，则的长度为 　　． 【解答】解：作于， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， ， ，， ， ，即， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 14．解下列方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）； ， ， 或， 所以，； （2）， ， 或， 所以，． 15．某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识比较强，为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 80 80 乙组 83 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：　83　，　　，　　； （2）已知该校九年级有500人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？ （3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【解答】解：（1）． 将乙组学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，排在第5和第6位的成绩分别为8（0分）和9（0分）， ． 由图2可知，乙组的众数为70， ． 故答案为：83；85；70． （2）（人． 估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为200人． （3）由图1和图2可知，甲组满分人数为1人，记为，乙组满分人数为2人，分别记为，， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：，，，，共4种， 抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 16．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是、、． （1）画出关于轴成轴对称的△； （2）在第一象限内，画出△ 以点为位似中心并扩大到原来的3倍的△； （3）写出点、 的坐标． 【解答】解：（1）如图，△即为所求作； （2）如图，△即为所求作； （3）点，点． 17．深圳市南山区公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2024年7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售50个，9月份销售72个，7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元个，商家经过调查统计，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔每个售价为元， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 因尽可能让顾客得到实惠， ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 18．如图，已知中，是边上一点，过点分别作交于点，作交于点，连接． （1）下列条件： ①是边的中点； ②是的角平分线； ③点与点关于直线对称． 请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程． （2）若四边形是菱形，且，，求的长． 【解答】解：（1）选择条件②： 是的角平分线， ， ，， 四边形是平行四边形，， ， ， 平行四边形是菱形； 选择条件③， ，， 四边形是平行四边形， 点与点关于直线对称， ， 平行四边形是菱形； （2）四边形是菱形，， ， ， ， ， ，， 即， ． 19．阅读材料：若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式△一定为完全平方数．现规定，，为该“快乐方程”的“快乐数“．例如“快乐方程” ，的两根均为整数，其“快乐数” ，，，若有另一个“快乐方程” 的“快乐数” ，，，且满足，，，，，则称，，与，，互为“开心数”． （1）“快乐方程” 的“快乐数”为 　　； （2）若关于的一元二次方程为整数，且是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出m，的值___________． 【解答】解：（1）方程：的“快乐数，，； 故答案为：； （2）程，△， ，即：， 或36， ，（舍去）， 方程变为：， 则，，， 故其“快乐数”数是； （3）， △， 设△， 则， 或2或或， 或4或或， 解得或， 方程变为：或； ， △， ，，， 当时，， 解得：或（不合题意）， 当时，， 解得． 故，或，． 20．【综合与实践】在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：将边沿翻折到的位置； 第3步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明过程如下：连接， 正方形沿折叠， ，①　　， 又， ， ． 由题意可知是的中点，设（个单位），，则， 在中，可列方程：②　　，（方程不要求化简） 解得：③　　，即是边的三等分点． “破浪”小组是这样操作的： 第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①：　　　　　　　　，②：　　　　　　　　，③：　　　　　　　　； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，，是上的一个三等分点且DE＜BE，连接AE，作点关于的对称点为，连接并延长与菱形的边交于点，请依照上述描述在图3中将图补全，并直接写出的长___________． 【解答】【过程思考】解：（1）结合①下面两个三角形全等，可以得到该空为，此时可根据推断出两个三角形全等； 根据在直角三角形中三边满足勾股定理，即，则； 将化简可得， 移项合并同类项得：， 解得，即， 故答案为：①，②，③2； （2）点是边的三等分点，证明如下： 由第1步的操作可知，分别是，的中点， 是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 即， 点是边的三等分点； 【拓展提升】解：连接交于点，如图， ，， 四边形为菱形， ， ， 分两种情况：①当 时，如图，连接，，与交点， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则，即， 在中，， 即， 解得： （合，， ， ， ， ． ， ． ②当时，连接，， 由对称性可知，，，，， 过点作 于点，如图， ，， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ， ，， 在中，， 即， 解得： （舍，， ， 即， 综上， 的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$