精品解析：广东省深圳市福田区2024-2025学年九年级上学期质量检测考试数学试题

2024-2025年深圳市福田区质量检测考初三数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 《清朝野史大观·清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶为最．”如图是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都相同 2. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 40个 B. 35个 C. 20个 D. 15个 3. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第二、四象限 C. 时，随的增大而增大 D. 时，随的增大而减小 4. 等腰三角形两边长是方程的两个根，那么这个三角形的周长（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 10或11 5. 如图，在中，、分别为、边上的中线，与相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数，且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 10. 化学实验操作考试前，小明从“配制质量分数为的溶液”、“的实验室制取与性质”、“水的电解”中随机抽取一个进行操作，他抽到“水的电解”的概率为______． 11. 已知关于的一元二次方程有解，求的取值范围________． 12. 如图，在中，，，，点是边上的一点（异于，两点），过点分别作，边的垂线，垂足分别为，，连接，则的最小值是 __． 13. 如图，点为正方形的边的中点，连接交对角线于点，连接交于点，如果，那么的长为______． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 解下列方程： （1） （2） 15. 在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 16. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 17. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）﹒把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，绘制了如图所示的两幅不完整统计图，根据图中信息解答问题： （1）本次调查的学生共有　 　人；扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为　 　；请将条形统计图补充完整； （2）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究． 素 材 一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据： ，， 素 材 二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面． 问题解决 任 务 一 计算角度 当等于时，______． 任 务 二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到）． 任 务 三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最大间距为多少（精确到）． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（精确到）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 20. 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年深圳市福田区质量检测考初三数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 《清朝野史大观·清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶为最．”如图是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键． 【详解】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 2. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 40个 B. 35个 C. 20个 D. 15个 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵摸到黄球的概率为0.3 ∴黄球的个数为 ∴白球可能有个 故选B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 3. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第二、四象限 C. 时，随的增大而增大 D. 时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵∴点(1,−1)在它的图象上，故本选项正确； B.k=−1<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确； C.k=−1<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确； D.k=−1<0，当x<0时，y随x的增大而增大，故本选项错误． 故选:D. 【点睛】考查反比例函数的图象与性质，反比例函数 当时，图象在第一、三象限.在每个象限，y随着x的增大而减小， 当时，图象在第二、四象限.在每个象限，y随着x的增大而增大. 4. 等腰三角形两边长是方程的两个根，那么这个三角形的周长（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 10或11 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，利用因式分解法求出方程的解得到x的值为3或4，分两种情况考虑：当3为腰，4为底边时，求出周长；当3为底，4为腰时，求出周长即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：， 当3为等腰三角形的腰时，4为底边，此时三角形三边分别为，能构成三角形，故周长为； 当4为等腰三角形的腰时，3为底边，此时三角形三边分别为，能构成三角形，故周长为，综上，这个三角形的周长为10或11． 故选：D． 5. 如图，在中，、分别为、边上的中线，与相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定等等，证明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，得到，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵分别为边上的中线， ∴是的中位线， ∴ ∴，， ∴， ∴，，， ∴四个选项中只有C选项不成立， 故选C． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数，且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选A． 7. 已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据加压后气体对气缸壁所产生的压强比加压前增加列方程即可． 【详解】解：根据题意得，即， 故选：A． 8. 如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质；先证明结合中点的含义可得，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了中心投影；利用中心投影，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ． ， ， ∴， ， ， ， 故答案为：6． 10. 化学实验操作考试前，小明从“配制质量分数为的溶液”、“的实验室制取与性质”、“水的电解”中随机抽取一个进行操作，他抽到“水的电解”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．直接运用概率公式解答即可． 【详解】解：∵共有3个实验，分别是“配置质量分数为的溶液”、“的实验室制取与性质”、“水的电解”，每一个都有等机会被抽到， ∴他抽到“水的电解”的概率为：． 故答案为：． 11. 已知关于的一元二次方程有解，求的取值范围________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知k-1≠0，根据方程有解可知△0，再根据 有意义可知k0，求出公共解集即可. 【详解】解：∵一元二次方程有解， ∴k-1≠0，△=k-4(k-1)20， 解不等式得：k ，且k≠1， ∵有意义， ∴k0， 综上所述：且， 故答案为且 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义、判别式与根的关系及二次根式的意义是解题关键． 12. 如图，在中，，，，点是边上的一点（异于，两点），过点分别作，边的垂线，垂足分别为，，连接，则的最小值是 __． 【答案】 【解析】 【分析】先证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和面积法求出的最小值，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小， 此时的最小值， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 13. 如图，点为正方形的边的中点，连接交对角线于点，连接交于点，如果，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理．先证明，得到与的数量关系，进而求得，设正方形的边长为，再根据勾股定理列出的方程求得结果便可． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 点是的中点， ， ， 正方形关于对称， ， ， ， 设，则， ， ， 即， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据所给方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）利用求根公式法解方程即可； （2）先移项再进行因式分解即可解方程． 【小问1详解】 ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 15. 在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为 （2）下调后每辆汽车的售价为21万元 【解析】 【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； （2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得： 解得：， ∵尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 16. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． ()根据两个角对应相等即可证明； () 根据得到，由，对应线段成比例可得，再结合() ，对应边成比例即可求出的长度； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 答：的长度为． 17. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）﹒把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，绘制了如图所示的两幅不完整统计图，根据图中信息解答问题： （1）本次调查的学生共有　 　人；扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为　 　；请将条形统计图补充完整； （2）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）40，108°， 补全图形： （2） 【解析】 【分析】（1）由B档人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以C档人数所占比例，最后用总人数减去B、C、D人数和即可求出A档人数，从而补全图形； （2）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可． 【详解】（1）本次调查的学生共有16÷40%＝40（人）， 扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为360°× A档人数为40-（16+12+4）＝8（人）， 故答案为：40、108°； （2）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下， ∵共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种， ∴抽到的2名学生来自不同年级的概率是：． 【点睛】本题考查了调查统计和简单概率计算的知识；解题的关键是熟练掌握条形统计图、扇形统计图、列表法和树状图法求概率的性质，从而完成求解． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究． 素 材 一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据： ，， 素 材 二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面． 问题解决 任 务 一 计算角度 当等于时，______． 任 务 二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到）． 任 务 三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最大间距为多少（精确到）． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（精确到）． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：方案一约为；方案二约为 【解析】 【分析】任务一：过点作，先根据平行线的性质可得，再根据即可得； 任务二：作于点，延长交于点，①当时，先解直角三角形求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得的值，②当时，同样的方法可得的值，由此即可得出答案； 任务三：方案一：求出，设电池板之间的最大间距为，则，解方程即可得；方案二：设新电池板的长度，过点作水平线的垂线，交于点，求出，再利用相似三角形的判定与性质可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：任务一：如图，过点作，， ， 由题意得：， ， 故答案为：； 任务二：作于点，延长交于点， ①当时,则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②当时， 同理可得：， ∴； 任务三：方案一：∵在任意时刻均不能落在内， ∴最大，即， ∵要充分利用斜坡， ∴最后一排恰好落在处， 设电池板之间的最大间距为， 则， 解得， 答：电池板之间的最大间距约为； 方案二：如图，设新电池板的长度， 过点作水平线的垂线，交于点，则 ∵在任意时刻均不能落在内， ∴最大，即当时，最大， 同任务二可得：， ∵电池板与坡度保持不变，， ， ∴，即， 解得， 由题意得：， 解得， 答：原来长的电池板最大可以定制约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）或 （3）平移后的直线的函数表达式为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移； （1）由正比例函数解析式确定，然后把A点坐标代入中求出得到反比例函数解析式； （2）根据，，然后利用函数图象写出反比例函数图象在一次函数下方所对应的自变量的范围，即可求解； （3）设平移后的直线与轴交于点，连接，，则的面积与的面积相等，进而求得,设平移后的直线的函数表达式为，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵直线：与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，设平移后的直线与轴交于点，连接，， ， 的面积与的面积相等， 的面积为30， ，即， ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． 20. 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值． 【答案】 [概念理解]：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； [性质探究]：．理由如下： 如图2，已知四边形中，，垂足为， ， ， 由勾股定理得，， ， ； [问题解决]： 【解析】 【分析】[概念理解]：根据垂直平分线的判定定理证明即可； [性质探究]：根据垂直的定义和勾股定理解答即可； [问题解决]：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】解：[概念理解]：略； [性质探究]：略； [问题解决]：连接、，如图3所示： ， ，即， 在和中， ， ， ，又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，， ，，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $