精品解析：安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二上学期数学统一作业7

2023级高二年级第一学期数学统一作业7 命题人：张金金 审题人：蒲荣飞 考试说明： 1．考查范围：选择性必修第一册第一章、第二章和第三章第一节： 2．试卷分值：130分；考试时间：100分钟： 3．所有答案均要答在答题卷上，否则无．考试结束后只交答题卷． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角. 【详解】由直线，即， 所以倾斜角满足，， 所以， 故选：C. 2. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所求直线上一点的坐标，利用对称知识，即可求得答案. 【详解】设与直线关于轴对称的直线的上一点为， 则在直线上，即得，即， 故与直线关于轴对称的直线的方程为， 故选：A 3. 经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令圆心为，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程. 【详解】由题设，令圆心为，又圆经过原点和点， 所以，整理可得，故圆心为， 所以半径平方，则圆的方程为. 故选：D 4. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和去掉的绝对值，作出直线与曲线的图象，根据图象求解. 【详解】当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆； 当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆； 所以曲线的图象如图所示： 当直线位于与之间或与之间时， 直线与曲线有两个不同的交点， 当直线位于时，直线与圆相切， 则，解得； 当直线位于时，； 直线位于与之间时，. 同理可得，直线位于与之间时，. 综上，实数的取值范围是. 故选：C 5. 若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平方关系结合已知即可求出，由此即可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，，则，，椭圆的标准方程为. 故选：B. 6. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为 时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径 时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案. 【详解】由已知条件得的圆心坐标为， 圆心到直线为， ∵圆上至少有三个点到直线的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是. 故选：. 7. 实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】判断出点的轨迹，根据斜率、直线与圆的位置关系等知识求得正确答案. 【分析】方程，即， 所以是以，半径为的圆上的点， 表示点与点连线的斜率， 设直线与圆相切， 到直线的距离， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：C 8. 在等腰直角三角形中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 反射后又回到原点 （如图）.若光线 经过 的重心，则 等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】建立如图所示的坐标系，可得， 故直线的方程为 ， 的重心为 ， 设，其中 ， 则点关于直线 的对称点， 满足， 解得，即 ， 易得关于 轴的对称点， 由光的反射原理可知 四点共线， 直线的斜率为， 故直线的方程为 ， 由于直线过的重心）， 代入化简可得， 解得，或 （舍去）， 故，故． 故选D． 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 【思路点睛】建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于过 的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值．本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 二、多选题：本大题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则m=4 D. 已知圆，过点P（3，4）向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线过定点、点到直线距离、圆与圆的位置关系，相交弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，， ，所以定点为，A错误. B选项，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B选项正确. C选项，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为， 由于、有三条公切线，所以两个圆外切，所以，，C选项正确. D选项，圆的圆心为原点，半径为.，以为直径的圆的方程为，即，则所在直线方程为，.D选项正确. 故选：BCD 10. 若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆 B. 若，则C为椭圆 C. 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D. 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD. 【详解】当即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误； 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误； 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项. 【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，， 设， 则， 所以，解得， 故，即，，，四点共面，故A正确； 因为，， 所以， 所以与所成角的大小为，故B错误； 假设在线段上存在点，符合题意， 设（），则， 若平面，则，, 因为，， 所以，此方程组无解， 所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误； 因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值， 又的面积是定值， 所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确； 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆的直径，求出公共弦长. 【详解】圆与圆联立可得： 公共弦的方程为， 变形为， 故的圆心为，半径为， 而满足，故弦AB的长为圆的直径， 故弦AB的长为． 故答案为：. 13. 已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案． 【详解】解：圆，圆心为，半径为4， 因为线段的垂直平分线交于点，所以， 所以． 所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为． 故答案为：． 14. 已知直线与圆：交于，两点，且，则的最大值为______. 【答案】30 【解析】 【分析】的几何意义为点到直线的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是的中点到直线的距离的2倍．由题意，所以的中点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，利用圆的性质即可得解. 【详解】的几何意义为点到直线的距离之和， 根据梯形中位线知其最大值是的中点到直线的距离的2倍， 由题可知， 圆：的圆心，半径为2，， 则， 所以的中点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 故点到直线的最大距离， 所以的最大值为， 则的最大值为30． 故答案为：30． 四、解答题：本题共4小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线 （1）当时，直线过与的交点，且垂直于直线，求直线l的方程； （2）求点到直线的距离d的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算两直线的交点，根据垂直得到直线斜率，得到直线方程. （2）确定直线过定点，点到定点的距离即最大距离，计算即可. 【小问1详解】 当时，直线：，：，则， 解得交点 又由直线l垂直于直线，而直线的斜率， 两直线垂直得斜率乘积为，得到 又因为直线l过与的交点，直线l的方程为，即 【小问2详解】 直线：过定点，又， 点M到直线的距离d的最大值为 16. 已知点，圆C：. （1）若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围； （2）当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答； （2）首先得到，再根据点到直线的距离公式求出的最小值，最后得到四边形面积的最小值. 【小问1详解】 由题意得在圆外，则，即 又，即或 所以或. 【小问2详解】 时，圆方程为，则圆的半径，圆心， 直线方程为，设圆心到直线的距离为， ， 17. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，． （1）证明：∥平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图，在棱上取点，使得，连接，， 因为，所以且， 由正方形，，得且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）在棱上取点，使得，连接，，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （2）以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则可设，所以． 以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则 由得 令，得平面的一个法向是为， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知圆，过点的直线与圆相交于，两点，且，圆是以线段为直径的圆． （1）求圆的方程； （2）设，圆是的内切圆，试求面积的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线，根据已知求出弦心距，从而求出直线的方程.再根据两圆相交时，圆心连线与交线垂直得出Q点坐标，从而求得结果； （2）根据圆的性质，可从（1）中结果中任选一种解答，根据已知可得，三边所在的直线就是圆的切线，设出切线方程，可以表示出斜率和t的关系，A，B两点都在y轴上，则以AB做底，高就是C点横坐标的绝对值. 【小问1详解】 设直线的方程为，因为圆半径为，，所以圆心到直线的距离，即，解得， 当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为 当时，过与直线垂直的直线与交点为，所以圆方程为 即所求圆方程为或 【小问2详解】 由圆的性质可知，只研究圆方程为时即可 设与圆相切，则有， 即有，从而有 设与圆相切，则有， 即有，从而有 联立直线，由得， 所以 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二年级第一学期数学统一作业7 命题人：张金金 审题人：蒲荣飞 考试说明： 1．考查范围：选择性必修第一册第一章、第二章和第三章第一节： 2．试卷分值：130分；考试时间：100分钟： 3．所有答案均要答在答题卷上，否则无．考试结束后只交答题卷． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为 （ ） A. B. C. D. 4. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰直角三角形中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 反射后又回到原点 （如图）.若光线 经过 的重心，则 等于 A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则m=4 D. 已知圆，过点P（3，4）向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB方程为 10. 若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆 B. 若，则C为椭圆 C. 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D. 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为______． 13. 已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为______. 14. 已知直线与圆：交于，两点，且，则的最大值为______. 四、解答题：本题共4小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线 （1）当时，直线过与的交点，且垂直于直线，求直线l的方程； （2）求点到直线的距离d的最大值. 16. 已知点，圆C：. （1）若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围； （2）当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值. 17. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，． （1）证明：∥平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知圆，过点的直线与圆相交于，两点，且，圆是以线段为直径的圆． （1）求圆的方程； （2）设，圆是的内切圆，试求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $