13.3等腰三角形的综合应用练习 2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.3等腰三角形的综合应用练习人教版2024—2025学年八年级上册 例1.在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 变式1.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD． （1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 变式2.如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．求证：△DCE为等腰三角形． 变式3.已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 例2.如图，在△ABC中AB=30cm，BC=35cm，∠B=60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动.若M、N同时分别从A、B出发. (1)请你推算一下出发几秒后,△BMN为等边三角形? (2)出发几秒后,△BMN为直角三角形?通过推算你有什么结论? 例3. 如图1，若△ABC与△ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN 是等边三角形． (1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD＝BE是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由； (2) 当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由． 【变式练习】 变式4.等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC． （1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE． ①求证：BP∥DE； ②若BP⊥AC，求∠AED的度数； （2）如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，则AD＝　 　． 变式5.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）BF与AE有怎样的数量关系？请说明理由． 变式6．（1）如图①，△ABC是等边三角形，D是AB上一点，以CD为一边向上作等边△ECD，连接AE，求证：∠CAE＝∠CBA． （2）在上题（1）中，当D点在AB的延长线上时，其他条件不变，如图②所示，请你补画出题意的图形，（1）的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请简要说明理由． 变式7.如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 　 　厘米，BP的长为 　 　厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 变式8.等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC． （1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE． ①求证：BP∥DE； ②∠BAE＝　 　；若BP⊥AC，求∠AED的度数； （2）如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，求AD的长． 变式9.如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 变式10.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明． 变式11.如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形． 变式12.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以底的等腰三角形时，运动的时间是__________秒。 变式13.在△ABC中，AB=5厘米，BC=8厘米，AD为△ABC的外角平分线，且AD∥BC，点M从A出发，以1厘米/秒的速度沿射线AD匀速运动，同时点N以相同的速度从C出发沿CB匀速向点B运动，当点N到达点B时，点M也停止运动。 （1）求AC的长； （2）MN是否可以垂直平分AC，为什么？ （3）当t为何值时，△MNC为等腰三角形。 变式14.如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点，以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于 点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由． 例4.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$