湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2023-2024学年高二上学期数学限时训练试卷

长郡梅溪湖中学 2023-2024 学年高二上学期 数学限时训练试题 一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1．下列求导结果正确的是( ) A. [(1 − 2�)2]′ = 2 − 4� B. (��� �5 ) ′ =− ��� �5 C. [ln (3�)]′ = 13� D. (�·cos �)′ = cos � − ���� � 2.已知 na 为递增的等差数列， 3 4 2 515, 8a a a a    ，若 21na  ，则 n （ ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．已知正四面体 ABCD，M为 BC中点，N为 AD中点，则直线 BN与直线 DM所成角的余 弦值为（ ） A． 1 6 B． 23 C． 21 21 D． 4 21 21 4．若函数 f(x)＝1 3 x3＋x2－2 3 在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数 a的取值范围是( ) A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0) 5．已知等比数列 na 的各项均为正数，且 1 3 3 520, 5a a a a    ，则使得 1 2 1na a a  成立 的正整数 n的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．若 1 20 1x x< < < ，则（ ） A． 2 1 2 1e e ln ln x x x x   B． 2 1 2 1e e ln ln x x x x   C． 1 22 1e e x xx x D． 1 22 1e e x xx x 7.已知椭圆�: � 2 �2 + �2 �2 = 1 � > � > 0 的左，右顶点分别为�，�，且椭圆�的离心率为 30 6 ，点 �是椭圆�上的一点，且 tan∠��� = 14，则���∠���( ) A. − 109 B. − 11 10 C. 11 10 D. 10 9 8．已知函数   ln exaf x x a x   ，   2g x x x   ，当  0,x  时，    f x g x 恒成立，则 实数 a的取值范围是（ ） A． 2 1 , e    B． 1 , e     C． 1, D． e, 二、多选题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的 得 0分) 9．(多选题)等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 1 0a  ，公差 0d  ，则下列命题正确的是（ ） A．若 5 9S S ，则必有 14S =0 B．若 5 9S S ，则必有 7S 是 nS 中最大的项 C．若 6 7S S ，则必有 7 8S S D．若 6 7S S ，则必有 5 6S S 10.在递增的等比数列{��}中，��是数列{��}的前�项和，若�1�4 = 32, �2 + �3 = 12，则下列 说法正确的是 ( ) A. � = 1 B. 数列 �� + 2 是等比数列 C. �8 = 510 D. 数列 lg�� 是公差为 2的等差数列 11．已知抛物线C：  2 2 0y px p  与圆O： 2 2 5x y  交于A，B两点，且 4AB  ，直线 l过C的焦点 F ，且与C交于M ，N两点，则下列说法正确的是（ ） A．若直线 l的斜率为 3 3 ，则 8MN  B． 2MF NF 的最小值为3 2 2 C．若以MF为直径的圆与 y轴的公共点为 60, 2        ，则点M 的横坐标为 3 2 D．若点  2,2G ，则 GFM△ 周长的最小值为3 5 12．已知函数   2 2 7 x x xf x e    ，则下列结论正确的是（ ）． A．函数  f x 有极小值 B．函数  f x 在 0x  处的切线与直线9 1 0y x   垂直 C．若  f x k 有三个实根，则 k的取值范围为 2 3 84 ,e e       D．若  0,x t 时，  max 3 8f x e  ，则 t的最小值为 3 三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分) 13.已知数列 nb 满足 1 2 2nnb b b n     ，则数列 nb 的通项公式为 . 14．已知   22 lnf x x ax x   在区间  1, 上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 15.已知双曲线 �2 �2 − �2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的左、右焦点分别为�1，�2，过右焦点作平行于一条 渐近线的直线交双曲线于点�，若△ ��1�2的内切圆半径为 � 4，则双曲线的离心率为 ． 16.已知 0a  且 1a  ，函数 ( ) ( 0) a x xf x x a   ．若曲线  y f x 与直线 1y  有且仅有两 个交点，求 a的取值范围 ． 四、解答题(本大题共 6小题，共 70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17．已知  3,0A ，  1, 2B  ，过 A，B两点作圆，且圆心M 在直线 l：2 4 0x y   上． (1)求圆M 的标准方程； (2)过  5,3N 作圆M 的切线，求切线所在的直线方程． 18.已知数列{ }na 是公差不为 0的等差数列，其前 n项和为 nS ，若 5 15S  ， 1 3 9, ,a a a 成等比数 列. （1）求数列{ }na 的通项公式，并求 nS ； （2）设 12 nan n b S   ，求数列{ }nb 前n项和 nT . 19.如图，直三棱柱��� − �1�1�1中，�� = �� = ��1 = 2，�为��的中点，�为棱��1上一 点，�� ⊥ ��1． (1)求证：�� ⊥平面�1��； (2)若二面角�1 − �� − �1的大小为30∘，求直线��与平面�1��所成 角的正弦值． 20．设数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 1a  ，且  *1 1 12 2n n na a n N    . （1）设  1 *2nn nb a n N  ，求证数列 nb 为等差数列； （2）求 nS ； （3）若对任意 *nN ，不等式 1 54 2 2n n S     恒成立，求实数 的取值范围. 21．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x y a b a b      的离心率为 5 5 ，焦距为 2． （1）求的标准方程． （2）过的右焦点 F作相互垂直的两条直线 1l ， 2l （均不垂直于 x轴）， 1l 交于 A，B两 点， 2l 交 于 C，D两点．设线段 AB，CD的中点分别为 M，N，证明：直线 MN过定点． 22．已知函数   xf x ax e  ( a R ， e为自然对数的底数). （1）讨论  f x 的单调性； （2）当 1x   ，   23 2f x a x   恒成立，求整数 a的最大值.