四川省成都市石室中学高2025届高三上期第五次周考数学试卷

石室中学高2025届周考数学5（20241103） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z，i为虚数单位，则|z|＝（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 2．若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为( ) A. 1 B. C. 2 D. 3．已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知，则（ ） A． B． C． D． 5. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7．如图，某人匍匐在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM匀速移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则移动瞄准过程中tanθ的最大值为（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）（　　） A． B． C． D． 8．已知函数(，)的部分图象如图所示，的图象与轴的交点的坐标是，且关于点对称，若在区间上单调，则的最大值是( ). A.6 B.C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（　　） A．是第三象限角 B．若角的终边过点，则 C．若角为锐角，则角为钝角 D． 若，，则 10．已知曲线Ω：x2+y2＝|x|+|y|，点P（a，b）在曲线Ω上，则下列结论正确的是（　　） A．曲线Ω有4条对称轴 B．的最大值是1 C．曲线Ω围成的图形面积为π+2 D．|a+b+3|的最小值是 11．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ） A． B．存在时，使得 C．给定正整数，若，，且，则 D．设方程的三个实数根为，，，并且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． = 13. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则 = 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数， 的最小正周期是， (1)求的值； (2)记 内角，，的对边分别为，，，若, ，,求. 16．（15分）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：平面平面； (2)若钝二面角的余弦值为，当时，求的长． 17．（15分）已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为． （1）求双曲线标准方程． （2）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18.（17分）已知函数. （1）求方程在上的解集； （2）设函数； （i）证明：在有且只有一个零点； （ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明：. 19. （17分）已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列． (1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由； (2)若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值； (3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石室中学高2025届周考数学5（20241103） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z，i为虚数单位，则|z|＝（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】C 【解】：z2+4i，∴|z|2，故选：C． 2．若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为( ) A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【详解】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l， 则，即， 所以周长， 当且仅当时取等号， 所以当扇形AOB的周长最小时，圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 3．已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C 4.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为， 所以， 即， 则， . 故选：A 5. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，两边同时取自然对数并整理， 得，， 则，则给氧时间至少还需要小时 故选： B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由 由， 于是有， 故选：D 7．如图，某人匍匐在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM匀速移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则移动瞄准过程中tanθ的最大值为（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解】：∵AB＝15cm，AC＝25cm，∠ABC＝90°，∴BC＝20cm， 过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ， 设BP′＝x，则CP′＝20﹣x，由∠BCM＝30°，得PP′＝CP′tan30°（20﹣x）， 在直角△ABP′中，AP′，∴tanθ•， 令y，则函数在x∈[0，20]单调递减， ∴x＝0时，取得最大值为， 若P′在CB的延长线上，PP′＝CP′tan30°（20+x）， 在直角△ABP′中，AP′，∴tanθ•， 令y，则y′＝0可得x时，函数取得最大值， 则tanθ的最大值是．故选：C． 8．已知函数(，)的部分图象如图所示，的图象与轴的交点的坐标是，且关于点对称，若在区间上单调，则的最大值是（ ）. A. 6 B.9 C. 11 D. 13 【答案】选：C 【详解】 ∵函数的图象经过点，∴，， ，∴或. 若，则， 则当时，，故在为增函数， 这与题设中的图象不符合，故. ∴，由的图象关于点对称， 得，，即()， 令，则， 故的单调区间为. ∵在区间上单调， 故存在整数，使得， 故，因为，故，且， 故即， 故或或或或. 又()，∴或，∴的最大值是.选C： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（　　） A．是第三象限角 B．若角的终边过点，则 C．若角为锐角，则角为钝角 D． 若，，则 【答案】BD 【详解】 对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错； 对于B选项， 由三角函数的定义可得，B对 对于C选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错. 对于D选项，因为， 所以，则， 因为，所以， 所以，所以，故D正确， 10．已知曲线Ω：x2+y2＝|x|+|y|，点P（a，b）在曲线Ω上，则下列结论正确的是（　　） A．曲线Ω有4条对称轴 B．的最大值是1 C．曲线Ω围成的图形面积为π+2 D．|a+b+3|的最小值是 【答案】ABC 【解】：当x＞0，y＞0时，曲线Ω：x2+y2＝|x|+|y|可化为x2+y2＝x+y，∴， ∴此时该曲线是以圆心为，为半径的圆在第一象限的部分， 又x2+y2＝|x|+|y|图象关于x轴，y轴对称，∴曲线Ω的图形如图所示： 对于A选项，由图象可得该曲线Ω关于x轴，y轴，y＝x和y＝﹣x对称， ∴该曲线Ω有4条对称轴，∴A选项正确； 对于B选项，设，则k表示点（2，0）与点P确定的直线的斜率， 设该直线方程为y＝k（x﹣2），∴数形结合可得：当x＞0，y＜0，即x2+y2＝x﹣y， ∴当圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时， 该切线的斜率是k的最大值， 由d＝r，可得，解得k＝1或（舍）， ∴k的最大值为1，∴B选项正确 对于C选项，∵曲线Ω围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成， ∴其面积为，∴C选项正确； 对于D选项，∵|a+b+3|表示曲线Ω上的点P到直线x+y+3＝0的距离的倍， 数形结合可得：当P（a，b）为（﹣1，﹣1）时，距离最小值为， ∴|a+b+3|的最小值为，∴D选项错误； ．故选：ABC． 11．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ） A． B．存在时，使得 C．给定正整数，若，，且，则 D．设方程的三个实数根为，，，并且，则 【答案】ACD 【详解】 ，A对 令，则，，则，B错； 令，其中， ，即 ∴ 由可得 ，即，∴ ∴，C对； 令，， ，即 即 ∵，∴或或 令，，，， ∴的根都在，∴，， ，D对 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． = 【答案】 解：通过凑角度，运用三角公式， 得 2sin25 + sin35 = 2sin（30－5）+ sin（30 + 5）= 3sin30cos5－cos30sin 5 =， 分母= ， 所以，待求式=． 13. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数. 由，得，即， 从而，即 故选：D 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则 答案， 【详解】 假设成立， 求导得， 即，又， 因为，所以，，，， 所以有， 所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数．周期是， (1)求的值； (2)记 内角，，的对边分别为，，，若, ，,求. 解：（1） ． 周期是，，． ∴． （2）因为,， 又因为故，所以， 代入可得： 因此 化简可得：，则， 因为，所以， 所以， 所以可得：，化简可得： 在中，由正弦定理可得：； 16．（15分）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：平面平面； (2)若钝二面角的余弦值为，当时，求的长． 解：（1）因为为中点，且，所以，即，……………2分 又，，平面，所以平面. 又平面，所以.………………………………………………………………4分 因为，所以. 又，，所以，………………………………………………………………5分 所以，则. 又，平面，所以平面. 又平面，所以：平面平面.………………………………………………………7分 （2）由（1）可知：，，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，设（），则. 所以，，.………………………………………9分 设平面的一个法向量为， 由，可取. 设平面的一个法向量为， 由，可取. ，……………………………………………………………………13分 整理得：（舍去） 所以，即 17．（15分）已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为． （1）求双曲线标准方程． （2）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）， 故当直线过且与双曲线有且仅有一个公共点时，与的渐近线平行． 设直线， 则点到直线的距离为， 所以双曲线的标准方程为． （2）由题可知，直线的斜率不为0， 设直线， 由得． 成立， 则， ． ， ． 故存在实数，使得成立． 18.（17分）已知函数. （1）求方程在上的解集； （2）设函数； （i）证明：在有且只有一个零点； （ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明：. 解：（1） 所以. 所以或 当时，，则，又，所以或， 当，则，又. 所以或，所以或， 所以方程在上的解集为. （2） （i）设. 当，则， 此时在区间上单调递增， 又在区间上也单调递增，所以在区间上单调递增， 又 所以在时有唯一零点， 当，所以， 所以在上没有零点， 综上，在有唯一零点. （ii）记函数的零点为， 所以，且，所以， 所以， 令，因为，所以， 又，则， 所以. 19.已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列． (1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由； (2)若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值； (3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值． 解（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下: 因为，所以是连续等项数列. 因为为； 为； 为; 为， 所以不存在正整数，使得. 所以A不是连续等项数列. （2）设集合，则中的元素个数为. 因为在数列中，所以. 若，则. 所以在这个有序数对中， 至少有两个有序数对相同， 即存在正整数，使得. 所以当项数时，数列一定是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若,数列不是连续等项数列. 所以的最小值为11. （3）因为与都是连续等项数列， 所以存在两两不等的正整数, 使得， 下面用反证法证明. 假设， 因为， 所以中至少有两个数相等. 不妨设，则 所以是连续等项数列，与题设矛盾. 所以. 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$