第7章锐角三角函数 单元测试 2024-2025学年 苏科版数学九年级下册

第7章综合素质评价 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sin A的值为(　　) A. B. C. D．2 2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，b＝4，c＝5，则cos A的值为(　　) A. B. C. D. 3.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝．已知风筝拉线长100 m且拉线与地面夹角为65°(如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计)，则风筝离地面的高度可以表示为(　　) A．100sin 65° B．100cos 65° C．100tan 65° D. 4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 5．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 6．如图，为了测量某电子厂AB的高度，小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为(　　) A．22.7 m B．22.4 m C．21.2 m D．23.0 m 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高线，设∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，则(　　) A．c＝bcos A＋asin B B．c＝bsin A＋asin B C．c＝bsin A＋acos B D．c＝bcos A＋acos B 8.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　) A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共30分) 9．若2cos A＝1，则锐角∠A＝________°. 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cos A的值为________． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝，则BC的长为________． 12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sin B的值是________． 13．已知正六边形的内切圆半径为，则正六边形的周长为________． 14.在△ABC中，AB＝AC＝2，BD是AC边上的高，且BD＝，则∠ACB的度数是________． 15.图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为________分米．(结果用含根号的式子表示) 16．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin的值是________． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE，交⊙O于点F，连接DF.已知tan∠DFE＝，CE＝4，则AC＝________. 18.定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，AC＝，则AB的长为________． 三、解答题(共66分) 19．(8分)计算： (1)|π－3|＋2sin 30°－(－2)0; (2)－cos 30°＋sin 45°. 20．(8分)在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.已知∠C＝90°，∠B＝60°，a＋c＝12，求a，b，c的值及∠A的度数． 21．(8分)如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，求AC的长． 22．(8分)如图，在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，将三角板ABC绕点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边A1B1上时，求A1B的长． 23．(8分)如图①是一个手机支架，图②是其侧面示意图．AB，BC可分别绕点A，B转动，经测量，BC＝8 cm，AB＝16 cm.当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，≈1.73，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 24．(8分)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60 m，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.画出示意图，如图①. 【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离． (参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75) 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图②，选择合适的点D，E，F，使得点A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当点F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． (2)乙小组的方案用到了________．(填写正确答案的序号) ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 25．(8分)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G. (1)求证：AG∥CD； (2)求证：PA2＝PG·PB； (3)若sin∠APD＝，PG＝6.求tan∠AGB的值． 26．(10分)定义：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 例如：cos 30°＝cos(60°－30°)＝cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝×＋×＝. (1)cos 15°＝________，sin 90°＝________，sin 2x＝________； (2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b.求证tan A＝； (3)利用(2)中的结论证明：tan(α＋β)＝(1－tan αtan β≠0，cos αcos β≠0)． 答案 一、1.C　2.C　3.A　4.B　5.B　6.A　7.D　8.A 二、9.60　10.　11.1　12.　13.12 14．30°或60°　15.(6－2)　16.　17. 18.或1或3　点拨：∵△ABC是“倍角三角形”，∴分四种情况讨论：当∠A＝2∠B＝90°时，∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴AB＝AC＝；当∠A＝2∠C＝90°时，同理可得AB＝AC＝；当∠B＝2∠C时，∵∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.∴∠C＝30°，∠B＝60°.∵AC＝，∴AB＝＝＝1；当∠C＝2∠B时，∵∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.∴∠B＝30°，∠C＝60°.∴AB＝AC＝3.综上所述，AB的长为或1或3. 三、19.解：(1)原式＝π－3＋2×－1＝π－3＋1－1＝π－3. (2)原式＝－×＋×＝0. 20．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°.∴c＝2a. 又∵a＋c＝12，∴3a＝12.∴a＝4.∴c＝8. ∴b＝＝＝4. 21．解：作AD⊥BC于点D，则∠ADC＝∠ADB＝90°. ∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴∠C＝∠DAC.∴AD＝CD. 设AC＝x，∵AD＝AC·sin C＝AC， ∴AD＝CD＝x. ∵AB＝AC＝x， ∴BD＝＝＝x. 又∵BC＝BD＋CD，BC＝＋， ∴x＋x＝＋，解得x＝2. ∴AC的长为2. 22．解：∵在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6， ∴∠ABC＝60°，BC＝2，AB＝4. 由旋转的性质可知∠B1＝∠ABC＝60°，B1C＝BC＝2，A1B1＝AB＝4， ∴△BCB1是等边三角形． ∴BB1＝BC＝2.∴BA1＝A1B1－B1B＝4－2＝2. 23．解：如图，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CD⊥BM，垂足为D， ∴四边形CDMN是矩形． ∴CN＝DM. 在Rt△ABM中，∠BAM＝60°， AB＝16 cm， ∴BM＝AB·sin 60°＝16×＝8(cm)，∠ABM＝90°－∠A＝30°. 又∵∠ABC＝50°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABM＝20°. 又∵∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝90°－∠CBD＝70°. 在Rt△BDC中，BC＝8 cm， ∴BD＝BC·sin 70°≈8×0.94＝7.52(cm)． ∴DM＝BM－BD≈8－7.52≈6.3(cm)． ∴CN＝DM≈6.3 cm. 答：点C到AE的距离约为6.3 cm. 24．解：(1)如图，过点B作BH⊥AP于点H. ∵AB＝60 m，∠PAB＝79°， ∴AH＝AB·cos 79°≈60×0.19＝11.4(m)， BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8(m)． ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°. ∵tan∠APB＝tan 37°＝≈0.75. ∴PH≈＝78.4(m)． ∴AP＝AH＋PH≈11.4＋78.4＝89.8(m)， 即A，P两点间的距离约为89.8 m. (2)②　点拨：∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP， ∴∠ADP＝∠EDF.∴△ADP≌△EDF(ASA)． ∴AP＝EF.∴只需测量EF即可得到AP的长度． ∴乙小组的方案用到了三角形全等． 25．(1)证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上， ∴AB⊥CD. ∵AB为⊙O的直径，AG是⊙O的切线，∴AG⊥AB. ∴AG∥CD. (2)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°－∠DAB＝∠GAD. ∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC， ∴∠CBD＝2∠ABD. ∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴∠PAD＝180°－∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD. ∴∠PAG＝∠PAD－∠GAD＝2∠ABD－∠ABD＝∠ABD. 又∵∠APG＝∠BPA，∴△APG∽△BPA. ∴＝，即PA2＝PG·PB. (3)解：∵sin∠APD＝＝，∴设AD＝a，AP＝3a， ∴PD＝＝2a. ∴tan∠APD＝＝＝. 由折叠可得AC＝AD＝a， ∴PC＝PA＋AC＝3a＋a＝4a. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt△PCB中，tan∠CPB＝＝， ∴CB＝PC＝a. 由折叠可得BD＝BC， ∴BD＝a. ∵AD⊥BD，GA⊥AB， ∴∠AGB＝90°－∠GAD＝∠DAB. ∴tan∠AGB＝tan∠DAB＝＝＝. 26．(1)＋；1；2sin xcos x (2)证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b， ∴sin A＝，cos A＝，tan A＝. ∵＝＝，∴tan A＝. (3)证明：∵tan(α＋β)＝＝， ＝＝＝ ＝， ∴tan(α＋β)＝. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$