第6章图形的相似 单元测试 2024-2025学年 苏科版数学九年级下册

第6章综合素质评价 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.如果3x＝4y(y≠0)，那么下列比例式中成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 2．已知点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC：AB＝(　　) A．(－1)：2 B．(＋1)：2 C．(3－)：2 D．(3＋)：2 3．如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是(　　) A．∠ADC＝∠BAC B.＝ C．CA平分∠BCD D．AC2＝BC·CD 4．如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是(　　) A．OA·OC＝OD·OB B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D.＝ 5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC.若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的(　　) A. B. C. D. 6．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，下列结论中，错误的是(　　) A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC 7．如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是(　　) A．90 cm2 B．135 cm2 C．150 cm2 D．375 cm2 8．如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点F是重心，点G在CD上且DG：GC＝1：2，则△CEG的面积为(　　) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 二、填空题(每小题3分，共30分) 9．若两个相似图形的周长比为2：1，则它们的面积比为________． 10．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比(黄金分割比＝)．如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC)，若AC＝20 cm，则BC的长为________cm.(结果保留根号) 11.如图，要使△AFE∽△ABC，可以添加条件：____________． 12．如图，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，则BD的长为________． 13．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为________． 14．在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，每个小正方形的边长都是1，若格点三角形ABC与三角形DEF成位似关系，则位似中心的坐标是________． 15．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4，点M在矩形的对角线AC上，若AM＝3MC，则EM的长为________． 16．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AF与DE相交于点G，则DG：EG＝________． 17．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为________． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE.若BE＝BC，CD＝2，则BD＝________． 三、解答题(共66分) 19．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． (1)求证：△ABD∽△CBA； (2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长． 20．(8分)如图，在平面直角坐标系，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点为网格线的交点)，在给定的网格中，解答下列问题： (1)以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1. (2)以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1. ①画出△A1B2C1； ②求点A运动路径的长度． 21．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD.点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若BE＝2，CE＝4，求AF的长． 22．(8分)如图，BD与CE是△ABC的高，BD，CE交于点F，连接DE. (1)求证：△DEF∽△CBF； (2)下列结论：①△EBF∽△DCF；②△ABD∽△ACE；③△ADE∽△ABC；④△BEC∽△CDB.其中所有正确结论的序号是________________； (3)若BE＝12，CE＝14，CD＝4，求的值． 23．(10分)如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝4，AC⊥x轴，垂足为C，AB边与y轴交于点D，反比例函数y＝(x＞0)的图像经过点A. (1)若＝，求直线AB和反比例函数的表达式； (2)若k＝8，将AB边沿AC边所在直线翻折，交反比例函数的图像于点E，交x轴于点F，求点E的坐标． 24．(12分)如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔AB，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD(不计折射)，AB∥CD. (1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36 cm，PA＝18 cm，AB＝18 cm，桌面的高度为60 cm.在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大． ①画出此时AB所在位置的示意图； ②求CD的长度的最大值． 25．(12分)【感知】(1)小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且AE＝AC.连接AD，BE交于点G，求的值． 小明发现，过点D作AC的平行线或过点E作BC的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示(或按自己的思路)写出求解过程． 【尝试应用】 (2)如图②，在△ABC中，点D为AC上一点，AB＝AD，连接BD，若AE⊥BD，分别交BD，BC于点E，F.若AD＝9，CD＝3，AF＝8，求AE的长． 【拓展提高】 (3)如图③，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE，AC分别交于点G，M，若＝，△BEG的面积为2，求△ABG的面积． 答案 一、1.B　2.A　3.B　4.D　5.D　6.D　7.D　8.B 二、9.41　10.(30－10) 11．∠AEF＝∠ACB(答案不唯一) 12．3　13.1：3　14.(－1，0)　15.　16.2：3 17.　18. 三、19.(1)证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC. 又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA. (2)解：由(1)知△ABD∽△CBA， ∴＝.∴＝.∴BD＝3.6. 20．解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求． (2)①如图所示，△A1B2C1即为所求． ②由图可知，AC1＝＝2， ∴点A运动路径的长度＝＝＝π. 21．(1)证明：如图，连接OC，则∠OAC＝∠OCA. 又∵BC＝CD，∴＝. ∴∠DAC＝∠CAB＝∠DAB. ∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD. ∴∠OCE＝∠F. ∵EH平分∠FEG，∴∠FEG＝2∠HEG. ∴∠F＝∠FEG－∠FAE＝2∠HEG－2∠CAB＝2＝2∠H＝2×45°＝90°. ∴∠OCE＝∠F＝90°. 又∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线． (2)解：设⊙O的半径为r，则OE＝OB＋BE＝r＋2. ∵OC2＋CE2＝OE2，∴r2＋42＝，解得r＝3. ∴EA＝AB＋BE＝2r＋2＝8，OE＝5. 又∵OC∥AD，∴△ECO∽△EFA. ∴＝，即＝，解得AF＝. 22．(1)证明：∵BD与CE是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°. ∴B，E，D，C四点共圆． ∴∠DBC＝∠DEC，∠BCF＝∠EDF. ∴△DEF∽△CBF. (2)①②③ (3)解：在Rt△BEC中，BC2＝BE2＋EC2. 在Rt△BDC中，BD2＝BC2－CD2＝BE2＋EC2－CD2. ∵BE＝12，CE＝14，CD＝4， ∴BD＝＝18. ∵易得△EBF∽△DCF，∴＝＝＝＝. ∴EF＝3DF，BF＝3CF. ∵CE＝EF＋CF＝3DF＋CF＝14，BD＝DF＋BF＝DF＋3CF＝18， ∴DF＝3，CF＝5. ∵△DEF∽△CBF，∴＝＝. 23．解：(1)在Rt△ABC中，AC⊥x轴，垂足为C， ∴AC∥OD，∴＝＝. ∵AC＝8，BC＝4， ∴＝. ∴BO＝1.∴OC＝3.∴A(3，8)，B(－1，0)． 设直线AB的函数表达式为y＝ax＋b，将点A，B的坐标代入得， 解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝2x＋2. ∵反比例函数y＝(x＞0)的图像经过点A， ∴k＝3×8＝24.∴反比例函数的表达式为y＝. (2)作EH⊥x轴于点H，如图所示， 由题意可知CF＝BC＝4，AC＝8， ∴设A(p，8)． ∵点A在反比例函数y＝的图像上，∴p＝1. ∴A(1，8)．∴OC＝1.∴OF＝5. 设点E的坐标为， ∴OH＝x，EH＝.∴FH＝5－x. 易得EH∥AC， ∴＝，即＝，解得x1＝1(舍去)，x2＝4. ∴点E的坐标为(4，2)． 24．解：(1)设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN，如图①. ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD，△OEF∽△OMN，△OEB∽△OMD. ∴＝，＝，＝.∴＝. ∵EF＝AB，∴MN＝CD. ∴沿着AB方向平移铅笔时，CD的长度不变． 　　 (2)①示意图如图②所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆， 当OQ与⊙A相切于点H时，此时CD的长度最大，最大为CQ. 此时AB所在位置为AH. ②如图②，延长OP与地面交于点R. ∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°， ∴△GHA∽△GPO.∴＝＝＝. 设GA＝x cm，则GO＝2x cm， 在Rt△OPG中，OP2＋PG2＝OG2， ∴362＋(18＋x)2＝(2x)2. 解得x1＝30，x2＝－18(舍去)．∴AG＝30 cm. 易得＝，∴＝. 解得CQ＝80 cm，即CD的长度的最大值为80 cm. 25．解：(1)如图①，过点D作DH∥AC交BE于点H，则△AGE∽△DGH. ∵点D是BC的中点，∴BD＝CD. ∵HD∥AC，∴△BHD∽△BEC. ∴＝＝＝. ∴DH＝CE. ∵点E是AC的一个三等分点， 且AE＝AC， ∴AE＝CE.∴DH＝AE. ∴GH＝GE. ∵BH＝BE，∴BH＝HE.∴BG－GH＝GE＋GH. ∴BG＝3GE.∴＝3. (2)如图②，取BC的中点H，连接EH，则BH＝CH. ∵AB＝AD＝9，AE⊥BD于点E，CD＝3， ∴BE＝DE，AC＝AD＋CD＝9＋3＝12. ∴EH∥CD，EH＝CD＝. ∵EH∥AC，∴△EHF∽△ACF. ∴＝＝.又∵AF＝8，∴EF＝AF＝1. ∴AE＝AF－EF＝8－1＝7. (3)如图③，作EL∥BF交AC于点L. ∵点E为BC的中点，∴BE＝CE.∴＝＝1. ∴CM＝2ML. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB. ∴△CMF∽△AMB. ∴＝＝＝. ∵EL∥GM，∴＝＝＝. ∴AG＝5EG.∴S△ABG＝5S△BEG. ∵△BEG的面积为2，∴△ABG的面积＝2×5＝10. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$