第5章二次函数 单元测试 2024-2025学年 苏科版数学九年级下册

第5章综合素质评价 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．抛物线y＝x2＋2x的对称轴是(　　) A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝－2 D．直线x＝2 2．已知点(1，y1)，(－1，y2)都在函数y＝x2＋4x＋5的图像上，则y1，y2的大小关系为(　　) A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 3.如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m．建立如图②的平面直角坐标系，则抛物线的表达式是(　　) A．y＝－2x2 B．y＝2x2 C．y＝－x2 D．y＝x2 4．已知A(－1，y1)，B(2，y2)，C(4，y3)是二次函数y＝ax2－2ax＋1(a＜0)的图像上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 5．[2024贵州]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图像与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　　) A．二次函数图像的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图像与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜－1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图像与y轴的交点的纵坐标是3 6.二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图像如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是(　　) A．1＜x＜4 B．x＜1 C．x＞4 D．x＜1或x＞4 7．[2024盐城盐都区月考]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，有下列结论：①ab＜0；②a＋b＋c＜0；③a＝b；④b＋2c＜0；⑤a－2b＋4c＞0.其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，则下列结论正确的是(　　) A．m＋n＝1 B．m－n＝1 C．mn＝1 D.＝1 二、填空题(每小题3分，共30分) 9．将函数y＝－(x＋3)2－2的图像先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得图像的函数表达式为__________． 10．若抛物线y＝(x－m)2＋m－3的对称轴是直线x＝2，则它的顶点坐标是________． 11.已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝________． 12．九年级数学课本上，小丽用“描点法”画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像时，列了如下表格： x … －3 －2 －1 0 1 … y … －2 －5 －6 －5 4 … 由于粗心，小丽算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝________． 13．二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是________． 14．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h(单位：m)关于离地时间t(单位：s)的函数表达式是h＝30t－5t2，则爆竹点燃后升空的最大高度是________m. 15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，其顶点为P，连接AP，若AB＝12，AP＝10，则a的值是________． 16.如图，已知抛物线y＝x2－3x＋2与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C，若抛物线上存在点P，使得△PAB的面积为1，则点P的坐标是____________． 17．对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 y＝－x2＋x＋3的“开口大小”为________． 18．已知函数y＝的图像如图所示，若直线y＝x＋m与该图像只有一个交点，则m的取值范围为____________． 三、解答题(共66分) 19．(6分)在平面直角坐标系中，设二次函数y＝－(x－2m)2＋3－m(m是实数)． (1)当m＝2时，若点A(8，n)在该函数图像上，求n的值． (2)小明说该二次函数图像的顶点在直线y＝－x＋3上，你认为他的说法对吗？为什么？ 20．(8分)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3经过点M(－2，3)． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当－3≤x≤0时，y的取值范围为________； (3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，旋转后的抛物线的表达式为________． 21．(8分)已知二次函数y＝ax2－2ax－3a(a为常数，且a≠0)的图像与y轴正半轴交于一点． (1)画出一个满足条件的函数图像(要求：只需画出函数的大致图像，但需标注必要的数据)； (2)写出该函数的两个不同类型的结论； (3)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m，n为常数，且m＜n)在该函数图像上，比较y1与y2的大小． 22．(10分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5 000元购进的肉粽盒数与3 000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现肉粽每盒售价为52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价； (2)设肉粽每盒售价为x元(52≤x≤70)，y表示该商家销售肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数表达式并求出y的最大值． 23．(10分)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图像经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－. (1)求二次函数的表达式； (2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m>0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图像上，求m的值； (3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24．(12分)如图，已知A，B，C三点的坐标分别为(0，4)，(－3，0)，(2，0)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，C两点，连接AB. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点C作线段AB的平行线，交抛物线于点D，连接AD，试判断四边形ABCD的形状； (3)点M为线段CD上一动点，过点M作y轴的平行线，交该抛物线于点N，当线段MN的长最大时，求点M的坐标． 25．(12分)二次函数y＝ax2＋bx＋2的图像经过A(－1，0)． (1)试求二次函数的表达式(用含有a的式子表示)； (2)已知点P(1，2)，Q(1，3)，连接PQ，以PQ为边在PQ的右侧作正方形PQMN，若二次函数图像与正方形PQMN的边有公共点，求a的取值范围． (3)在(2)中，已知直线l：y＝x＋a＋，是否存在a，使得直线l与二次函数图像同时经过正方形PQMN(包括内部与边界)？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案 一、1.B　2.A　3.C　4.D　5.D　6.D　7.C　8.B 二、9.y＝－x2　10.(2，－1)　11.9　12.1　13. 14．45　15.－　16.(0，2)或(3，2)　17.4 18．m＞或m＜0 三、19.解：(1)当m＝2时，y＝－(x－4)2＋1. ∵点A(8，n)在该函数图像上， ∴n＝－×(8－4)2＋1＝－7. (2)小明的说法正确．理由如下： 由题意得，该抛物线的顶点是(2m，3－m)， 当x＝2m时，y＝－×2m＋3＝－m＋3， ∴顶点(2m，3－m)在直线y＝－x＋3上． 故小明的说法正确． 20．解：(1)把M(－2，3)的坐标代入y＝－x2＋mx＋3，得 －4－2m＋3＝3，解得m＝－2， ∴y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. ∴抛物线的顶点坐标为(－1，4)． (2)0≤y≤4 (3)y＝(x＋1)2＋4 21．解：(1)∵二次函数y＝ax2－2ax－3a(a为常数，且a≠0)的图像与y轴正半轴交于一点， ∴－3a＞0，即a＜0.∴抛物线开口向下． ∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x－3)(x＋1)， ∴二次函数y＝ax2－2ax－3a(a为常数，且a≠0)的图像与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)． 画出函数的大致图像如图所示． (2)答案不唯一，由(1)可知函数y＝ax2－2ax－3a的图像开口向下， ∴该函数有最大值． 由函数y＝ax2－2ax－3a可知其对称轴为直线x＝－＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小． (3)当＝1时，y1＝y2；当＜1时，y1＜y2； 当＞1时，y1＞y2. 22．解：(1)设肉粽每盒进价为a元，则豆沙粽每盒进价为(a－20)元， 根据题意列方程得，＝，解得a＝50， 经检验a＝50是方程的解， 此时a－20＝30， ∴肉粽每盒进价为50元，豆沙粽每盒进价为30元． (2)由题意，得当x＝52时，每天可售出180盒， 当肉粽每盒售价为x元(52≤x≤70)时，每天可售出[180－10(x－52)]盒， ∴y＝(x－50)[180－10(x－52)]＝(x－50)(－10x＋700)＝－10x2＋1 200x－35 000＝－10(x－60)2＋1 000. ∵－10＜0，52≤x≤70， ∴当x＝60时，y取最大值，最大值为1 000. 23．解：(1)设二次函数的表达式为y＝＋k， 把点A(－2，5)的坐标代入得＋k＝5， 解得k＝， ∴y＝＋＝x2＋x＋3. (2)点B平移后的坐标为(1－m，9)， 由题意得9＝(1－m)2＋(1－m)＋3， 解得m＝4或m＝－1(舍去)， ∴m的值为4. (3)当n<－时，最大值与最小值的差为5－[(n＋)2＋]＝，解得n1＝n2＝－，均不符合题意，舍去； 当－≤n≤1时，最大值与最小值的差为5－＝，符合题意； 当n>1时，最大值与最小值的差为＋－＝， 解得n1＝1或n2＝－2，均不符合题意，舍去； 综上所述，n的取值范围为－≤n≤1. 24．解：(1)将点A(0，4)，C(2，0)的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c得， 解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－x＋4. (2)设直线AB的函数表达式为y＝kx＋a，将点A(0，4)，B(－3，0)的坐标分别代入得， 解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝x＋4. ∵CD∥AB， ∴设直线CD的函数表达式为y＝x＋t. 将点C(2，0)的坐标代入得，×2＋t＝0，解得t＝－， ∴直线CD的函数表达式为y＝x－. 联立y＝x2－x＋4，解得x＝2或x＝5， ∴D(5，4)． ∵A(0，4)，∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵A，B，C三点的坐标分别为(0，4)，(－3，0)，(2，0)， ∴AB＝BC＝5. ∴四边形ABCD是菱形． (3)设M，则N， ∴MN＝m－－＝－m2＋m－＝－＋. ∴当m＝时，线段MN的长最大． ∴点M的坐标为. 25．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2， ∴a－b＋2＝0.∴b＝a＋2. ∴二次函数的表达式为y＝ax2＋(a＋2)x＋2. (2)∵四边形PQMN是正方形，且P(1，2)，Q(1，3)，∴M(2，3)，N(2，2)． 当抛物线经过点P(1，2)时，a＋2＋a＋2＝2，解得a＝－1； 当抛物线经过点M(2，3)时，4a＋2a＋4＋2＝3， 解得a＝－； ∴当－1≤a≤－时，二次函数图像与正方形PQMN的边有公共点． (3)不存在a，使得直线l与二次函数图像同时经过正方形PQMN(包括内部与边界)，理由如下： 由题意可知，直线l绕着点(－1，1)旋转． 当直线经过点N(2，2)时，2a＋＋a＋＝2， 解得a＝－； 当直线经过点Q(1，3)时，a＋＋a＋＝3， 解得a＝； ∴当－≤a≤时，直线l与正方形PQMN有交点． 综合(2)的结论，两者的解集没有公共部分，∴不存在直线l与二次函数图像同时经过正方形PQMN(包括内部与边界)． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$