精品解析：宁夏中卫市第七中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

宁夏中卫市沙坡头区中卫七中2024-2025学年九年级第一学期 期中数学测试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不含2次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、整理得不含2次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 2. 下列四组线段中，成比例线段的是（ ） A. 4，1，3，8 B. 3，4，5，6 C. 4，8，3，5 D. 15，5，6，2 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可 【详解】解：A．∵， ∴ 4，1，3，8不是成比例线段，不符合题意； B．∵ ， ∴ 3，4，5，6不是成比例线段，不符合题意； C．∵， ∴ 4，8，3，5不是成比例线段，不符合题意； D．∵ ， ∴15，5，6，2是成比例线段，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了成比例线段，如果四条线段a、b、c、d满足，则线段a、b、c、d成比例，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键． 3. 数学课上，老师和同学们做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（ ） A. 400 B. 600 C. 1000 D. 1600 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解在大量重复试验中，可以用频率估计概率． 随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可． 【详解】解：， 观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到附近， 所以抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近次， 故选：C． 4. 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解的范围． 利用和所对应的的值可判断关于的方程的一个解的范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把x=1代入得以k为未知数的一元二次方程，解方程求得k值，再由二次项系数不为0 即可解答. 【详解】把x=1代入得k-1+1-k2=0，解得k1=0，k2=1， 而k-1≠0， 所以k=0． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件． 6. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（　　） A. 甲量得窗框的一组邻边相等 B. 乙量得窗框两组对边分别相等 C. 丙量得窗框的对角线长相等 D. 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判断定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； 【详解】解：A，只是一组邻边相等的四边形不能判断是矩形，故甲的判断不准确； B，两组对边分别相等可以是平行四边形，菱形，矩形，正方形；故乙的判断不准确； C，对角线长相等可以是等腰梯形，矩形，正方形；故丙的判断不准确； D，两组对边分别相等是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，正方形；故丁的判断最有说服力； 故选：D 【点睛】本题主要考查矩形的特征，掌握常见四边形如：平行四边形，菱形，矩形，等腰梯形，正方形的特征和区别是解题关键 ． 7. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 8. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. (－1)cm D. (2－1)cm 【答案】D 【解析】 【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可． 【详解】解：由题意，BD=cm， 由平移性质得=1cm， ∴点D，之间的距离为==（）cm， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键． 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离是____m． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例尺的性质．此题比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位． 首先设两地的实际距离为，根据题意可得方程，解此方程即可求得答案，注意统一单位． 【详解】解：设两地的实际距离为， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴两地的实际距离为． 故答案为：． 10. 已知m是方程的根，则式子的值为_____． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想． 根据一元二次方程根的定义得到，则，然后利用整体代入得方法计算即可． 【详解】解：∵为方程的根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023． 11. 已知，那么____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，主要是两内项之积等于两外项之积的应用，比较简单． 等式两边都除以即可得解． 【详解】解：两边都除以得，． 故答案为：． 12. 若某矩形的长和宽分别是方程的两个根，则该矩形的周长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 利用根与系数的关系求出两根之和，即为长与宽的和，进而求出矩形周长即可． 【详解】解：∵矩形的长和宽是方程的两个根， 设长为，宽为， ， 则该矩形的周长为， 故答案为：8． 13. 在与中，已知，且的周长为，则的周长为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有三组对应边成比例的两个三角形相似和相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键． 根据三边对应成比例可证，且相似比为，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，且相似比为， ∴的周长：的周长， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：18． 14. 据统计，从2021年至2023年我国高铁的年运营总里程由4万千米增加到4.5万千米设我国从2021年至2023年高铁运营总里程的年平均增长率为x，则可根据题意列出的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．根据“从2021年至2023年高铁运营总里程的年平均增长率为x”即可列出方程． 【详解】解：∵从2021年至2023年高铁运营总里程的年平均增长率为x， ∴方程为， 故答案为：． 15. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为___． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FB=AB=2，BM=1， 则在Rt△BMF中， FM=. 故答案为． 16. 如图，在中，，，，为边上一动点且点不与点、重合，于，于，则的最小值为 ______ ． 【答案】4.8 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短的性质．利用“垂线段最短”找出时，取最小值是解答该题的关键．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，，  ，   ， 又于点，于点 ， ，  四边形是矩形．  ， 当最小时，也最小，  即当时，最小，  ，  ，  线段的最小值为；  故答案为： ． 三、解答题（本题共6题，每题6分，共36分） 17. 选择合适的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的常见方法． （1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 18. 在一个不透明的箱子里，装有2个红球和2个黄球，它除了颜色外均相同． （1）随机地从该箱子里同时取出2个球，请你用树状图或列表的方法求两球颜色相同的概率． （2）小明、小亮都想去观看足球比赛，但是只有一张门票，他们决定通过摸球游戏确定谁去．规则如下：随机地从该箱子里同时取出2个球，若两球颜色相同，小明去；否则，小亮去．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由如下： P（两球颜色不相同）． ， ∴这个游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）根据树状图或列表的方法求概率即可； （2）由（1）即可判断； 【小问1详解】 解：树状图如下： P（两球颜色相同）． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查树状图或列表法求概率，掌握相关求解方法是解题的关键． 19. 如图，在中，点D，E分别在的边上，且，，求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键． 由，证明，可得：，再代入数据求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴，经检验：符合题意； 所以的长为8． 20. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根； （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：， ∴不论为何实数，方程总有实数根． （2）菱形的面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，菱形的面积等．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）直接求出，根据结果判断即可； （2）将代入得出一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系求出，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，方程为， 由根与系数关系可得， ∴， 所以菱形的面积是． 21. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 【答案】（1）矩形， 证明如下： ∵， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2） 证明：四边形是矩形 ， 在菱形中，． ． 【解析】 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定； （1）先证明四边形为平行四边形，再由由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数. 【答案】31. 【解析】 【分析】设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)， 根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138 解得x1=-(舍去)，x2=1 答：原来的两位数为31． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于和上，且．证明两条直路且． 【答案】 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD=CD，∠BAP=∠ADQ =90° ∵PD=QC ∴AD-PD=CD-CQ 即AP=DQ 在△ABP和△DAQ中 ∴△ABP≌△DAQ(SAS) ∴BP=AQ，∠ABP=∠DAQ ∵∠ABP+∠APB=90° ∴ ∠DAQ+∠APB=90° ∴BP⊥AQ 【解析】 【分析】由已知易证△ABP≌△DAQ，从而可得BP=AQ，∠ABP=∠DAQ，再由∠ABP+∠APB=90°，即可得 ∠DAQ+∠APB=90°，从而证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明△ABP≌△DAQ． 24. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为． 请利用这种方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先设3x+5=t，则方程即可变形为t2-4t+3=0，解方程即可求得t即3x+5的值，进而求出原方程的解． 【详解】解：设t=3x+5，则原方程可化为：t2-4t+3=0，即（t-1）（t-3）=0 ∴t=1或t=3． 当t=1时，3x+5=1，解得x=-； 当t=3时，3x+5=3，解得x=-． 综上所述，原方程的解是：x1=-，x2=-． 【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观． 25. 安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台． （1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出台，当天共盈利______元． （2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？ （3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）40；1800； （2）每台空气加湿器应降价20元； （3）不能，理由如下：设每台空气加湿器应降价元，则每台盈利元，每天可以售出台， 依题意得：，整理得． ∵， ∴该方程无实数根， ∴商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）利用销售数量=30+2×降低的价格，即可求出当天的销售量，再利用总利润=每台的利润×销售数量，即可求出结论； （2）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50-x）元，每天可以售出（30+2x）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定x的值； （3）设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50-y）元，每天可以售出（30+2y）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-775＜0可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）（台），（元）． 故答案为：40；1800． （2）设每台空气加湿器应降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，依题意得：， 整理得：，解得：，． ∵尽快减少库存，∴的值应为20． （3）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解决本题的关键是要能够正确理解题意列出方程. 26. 如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． （1）用含的式子表示：和； （2）当四边形是矩形时，求出的值； （3）某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 【答案】（1）， （2）2 （3）24 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识； （1）先根据矩形的性质求出，进而可得答案； （2）根据矩形的性质可得，即，解方程即得答案． （3）根据梯形面积公式解答即可； 【小问1详解】 解：∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，， 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2． 【小问3详解】 解：， ∴无论为何值，四边形的面积都不变，面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏中卫市沙坡头区中卫七中2024-2025学年九年级第一学期 期中数学测试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，成比例线段的是（ ） A. 4，1，3，8 B. 3，4，5，6 C. 4，8，3，5 D. 15，5，6，2 3. 数学课上，老师和同学们做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（ ） A. 400 B. 600 C. 1000 D. 1600 4. 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（　　） A. 甲量得窗框的一组邻边相等 B. 乙量得窗框两组对边分别相等 C. 丙量得窗框的对角线长相等 D. 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 7. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. (－1)cm D. (2－1)cm 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离是____m． 10. 已知m是方程的根，则式子的值为_____． 11. 已知，那么____． 12. 若某矩形的长和宽分别是方程的两个根，则该矩形的周长为_____． 13. 在与中，已知，且的周长为，则的周长为_______． 14. 据统计，从2021年至2023年我国高铁的年运营总里程由4万千米增加到4.5万千米设我国从2021年至2023年高铁运营总里程的年平均增长率为x，则可根据题意列出的方程为___________． 15. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为___． 16. 如图，在中，，，，为边上一动点且点不与点、重合，于，于，则的最小值为 ______ ． 三、解答题（本题共6题，每题6分，共36分） 17. 选择合适的方法解方程： （1） （2） 18. 在一个不透明的箱子里，装有2个红球和2个黄球，它除了颜色外均相同． （1）随机地从该箱子里同时取出2个球，请你用树状图或列表的方法求两球颜色相同的概率． （2）小明、小亮都想去观看足球比赛，但是只有一张门票，他们决定通过摸球游戏确定谁去．规则如下：随机地从该箱子里同时取出2个球，若两球颜色相同，小明去；否则，小亮去．这个游戏公平吗？请说明理由． 19. 如图，在中，点D，E分别在的边上，且，，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根； （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 21. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 22. 一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数. 四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于和上，且．证明两条直路且． 24. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为． 请利用这种方法解方程：． 25. 安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台． （1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出台，当天共盈利______元． （2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？ （3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 26. 如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． （1）用含的式子表示：和； （2）当四边形是矩形时，求出的值； （3）某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $