精品解析：江苏省徐州市第一中学2024～2025学年高二上学期10月学情检测数学试题

徐州一中2024-2025学年度第一学期高二年级10月检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若两条不同的直线：与直线：平行，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 0 2. 若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为 A. B. C. D. 4. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 8. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值可能是 A. B. 13 C. 15 D. 18 10. 加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 11. 在平面直角坐标系中，已知点是抛物线：的焦点，点是上异于原点的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，设抛物线的准线为，，为垂足，则（ ） A. 当点的坐标为时，直线的方程为 B. 设，则的最小值为4 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为________. 13. 等差数列中，若，则的值为______． 14. 如图，椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，直线且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的面积． 16. 已知无穷等差数列的首项，公差，依次取出序号为被4除余3的项组成数列． （1）求和； （2）求的通项公式； （3）中的第110项是中的第几项？ 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值. 18. 已知双曲线（，）的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）过原点的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值； （3）过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值. 19. 已知点P是抛物线：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点. （1）写出抛物线焦点及准线方程； （2）求弦AB长的最小值； （3）若直线AB交椭圆：于C、D两点，、分别是△PAB、△PCD的面积，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州一中2024-2025学年度第一学期高二年级10月检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若两条不同的直线：与直线：平行，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】两直线与平行的判定方法，但要验证是否重合. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得， 当时，：，：，两直线平行， 当时，：，：，两直线重合， 所以. 故选：B. 2. 若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 3. 已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式 【详解】正负相间用表示，∴． 故选D． 【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律． 4. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目转化为函数与有两个公共点，画出函数图像，根据图像计算得到答案. 【详解】方程有两个实数解即函数与有两个公共点， 曲线表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分（包括端点）， 如图所示． 由图形知，当直线经过点时，直线与曲线有2个公共点，此时有； 当直线与圆相切时，可得，解得或（舍去）. 结合图形可得实数b的取值范围是． 故选：D 5. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由重心坐标公式可得：重心，根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，再求出斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 设外心，因为，所以，解得，即：. ，故欧拉线方程为：，即：， 故选：A. 7. 已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果. 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 8. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长与双曲线交于点，易得，设，结合双曲线定义得，进而在中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知， 设，则，， 可得，即， 所以，则，， 所以，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值可能是 A. B. 13 C. 15 D. 18 【答案】BC 【解析】 【分析】转化圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则圆心到直线的距离，列出不等式，即得解 【详解】圆化为 则圆心，半径为 若圆上有四个不同的点到直线的距离为2， 则圆心到直线的距离 如图：即 故选：BC 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算能力，属于较难题 10. 加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程,求出离心率即可得选项A正误;根据蒙日圆的定义可判断,该圆过点,根据圆心坐标,即可求得半径的值,进而求得圆的方程;设出长方形的长和宽,根据长方形是蒙日圆的内接四边形,可得对角线为直径,求得长和宽的等量关系,再利用基本不等式即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知椭圆方程为:, 所以, 故选项A正确; 因为长方形R的四边均与椭圆相切, 所以点,即在蒙日圆上, 故半径为, 可得椭圆C的蒙日圆方程为; 故选项B错误,选项C正确; 设长方形R的边长为m,n, 则有, 所以长方形R的面积等于, 当且仅当时取等, 故选项D正确. 故选:ACD 11. 在平面直角坐标系中，已知点是抛物线：的焦点，点是上异于原点的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，设抛物线的准线为，，为垂足，则（ ） A. 当点的坐标为时，直线的方程为 B. 设，则的最小值为4 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由导数的几何意义可判断A；由抛物线的定义结合图象可判断B；由题意求出的坐标，由两点间的距离公式可判断C；证明四边形是菱形可判断D. 【详解】对于A，点的坐标为时， 则，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，化简可得：，故A正确； 对于B，的准线为， 过点作，交于点，与抛物线交于点， 当点与点重合时，的最小值，所以的最小值为， 故B错误； 对于C，不妨设点在一象限，则点， 所以，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，化简可得：， 令，则，所以， 因为，所以， 所以，， ， 所以，所以，故C正确. 对于D ，因为，，，， 所以，因为， 所以四边形是平行四边形， 又由抛物线的定义可得：， 所以四边形是菱形，所以平分， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，进而可求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 13. 等差数列中，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，再根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，即， 所以. 故答案为：. 14. 如图，椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，直线且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】联立方程求出点的坐标，再由可得点的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值. 【详解】由题意，， 则，且直线的方程为， 由可得，所以直线的方程为， 联立，解得，即， 因为，所以， 将代入椭圆方程化简得， 即，所以或（舍去）， 所以，即，所以离心率. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）求出中点，利用点斜式方程求出直线方程； （2）求出的长度，及点到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，， ∴中点为， 所以中线斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为即. 【小问2详解】 ， 边所在的直线方程为， 点到直线的距离， 所以. 16. 已知无穷等差数列的首项，公差，依次取出序号为被4除余3的项组成数列． （1）求和； （2）求的通项公式； （3）中的第110项是中的第几项？ 【答案】（1）， （2）（） （3）439 【解析】 【分析】（1）求出，找出数列中序号能被4除余3的项，求出和； （2）设中的第项是的第项，求出和的关系，求出； （3）求出，设它是中的第项，求出. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为数列中序号能被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…， 所以，； 【小问2详解】 设中的第项是的第项， 即，则（）， 所以， 所以的通项公式为（）； 【小问3详解】 因为， 设它是中的第项， 则，则， 所以是中的第439项． 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得； （2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得. 【小问1详解】 设，依题意， 解得 故的方程为. 【小问2详解】 如图，依题意，联立消去，可得， 依题意，需使，整理得（*）. 因为，则直线的斜率为，则其方程为， 联立解得即 故， 将（*）代入得，故. 18. 已知双曲线（，）的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）过原点的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值； （3）过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值. 【答案】（1） （2） 根据对称性，不妨设在双曲线的右支， 设，（且），则，， 所以，为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及过点坐标得到方程组，求出、，即可得解； （2）设，（且），则，利用斜率公式及计算可得； （3）设，两点处的切线方程为，，依题意，联立直线与双曲线方程，由得到，同理可得，再由满足两直线方程，求出点轨迹方程，即可得解. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以双曲线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意可得，两点处的切线的斜率都存在且不为， 设，两点处的切线方程为，，依题意， 由，消元整理得， 则且，整理得到， 同理可得， 又点在两切线上，所以，所以， ， 所以、为关于的方程的两根， 即的两根， 所以，即， 所以点的轨迹方程为，所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问利用整体思想、设而不求，计算出动点的轨迹方程. 19. 已知点P是抛物线：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点. （1）写出抛物线焦点及准线方程； （2）求弦AB长的最小值； （3）若直线AB交椭圆：于C、D两点，、分别是△PAB、△PCD的面积，求的最小值. 【答案】（1）焦点，准线方程为 （2）4 （3）. 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程直接得到参数，继而可得抛物线焦点及准线方程； （2）先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为，然后设、，由同一法可得直线的方程为，与抛物线方程联立用弦长公式求出最值即可； （3）将面积比转化为弦长比，然后求出直线与椭圆的弦长，构造关于参数的函数求最值即可. 【小问1详解】 因为抛物线：， 所以由题意得， 所以，焦点，准线方程为. 【小问2详解】 设点在抛物线上，则， 联立，消去x得，，即， 所以，关于y的方程有两个相等的实根，此时， 因此，直线与抛物线相切，且切点为. 设点、，， 则以A为切点的切线方程为， 同理以B为切点的切线方程为， ∵两条切线均过点， ∴，即， 所以，点A、B的坐标满足直线的方程， 所以，直线AB的方程为， 在直线AB的方程中，令，可得，所以，直线AB过定点； 由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为， 联立，可得， 恒成立， 由韦达定理得，， 由弦长公式可得， 当时，弦AB长的最小值为4. 【小问3详解】 设点P到直线AB的距离为d，则, 设、， 由，得， 恒成立. 由韦达定理得，， 由弦长公式得. ∴， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 【点睛】方法法点睛：求切点弦，一般可从同构出发利用同一法求解。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $