第6单元 小专题培优24 与切线有关的辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

小专题培优24 与切线有关的辅助线作法 (10年4考;2023.19) 类型 与切线性质有关的辅助线作法 已知 辅助线作法 图示 已知切线 连半径,得垂直 如图1,①连接圆心和切点,得垂直; 已知双切线 ②连接圆心和双切线交点,得角平分线; ③连接两切点,得垂直平分 如图2,①连接内心和切点,得垂直; 已知内心 图1 ②连接内心和顶点,得角平分线 图2 1. 中华优秀传统文化(2024唐山遵化市二模)抖 象出来的几何模型,在△ABC中,以△ABC的 空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物 边AB为直径作⊙0.交AC于点P.PD是0 质文化遗产之一.如图,AC,BD分别与。0相 的切线,且PD1.BC,垂足为点D 切于点C,D,延长AC,BD交于点P.若乙P= 120*}.0的半径为6cm.则图中CD的长 为__cm.(结果保留n) 图1 图2 (1)求证:乙A=乙C: 第2题图 第1题图 (2)若PD=2BD=4,求⊙0的半径 2. 如图,在△ABC中.AB=10.AC=8.BC=6. 边AB的中点0为圆心,作半圆与AC相切,点 P.0分别是边BC和半圆上的动点,连接P0 则P0长的最小值是 3.(2024石家庄模拟)如图,在Rt△ABC中. A=90*.sin ABC= 切圆,分别与AC,AB. BC相切于点F,P.E (1)乙EPF= 。; (2)若BC=4.则AP= 4. 中华优秀传统文化如图1.独轮车俗称“手推 车”,又名攀、鹿车等,是交通运输工具史上的 一项重要发明,至今在我国农村和一些边远地 区仍然广泛使用.如图2所示为从独轮车中抽 第六单元 园 135 类型 与切线判定有关的辅助线作法 条件 已知公共点 未知公共点 连半径,证垂直(连接圆心和该公共点,即为半 作垂线,证半径(过圈心向待证切线作垂 辅助线作法 径,证明该半径与待证切线垂直) 线,证明垂线段的长等于半径) 常用的证明垂直的方法有:角度转换、勾股定 证明方法 常用的证明半径的方法有:角平分线的 理的逆定理、全等 性质、全等 5.如图,C是⊙0上一点,点P在直径AB的延长7.如图,0为正方形ABCD对角线AC上一点,以 线上,0的半径为3.PB=2.PC=4.求证:PC 0为圆心,0A长为半径的。0与BC相切于点 是。0的切线. V.与AB、AD分别相交于点E、F.求证:CD与 0相切. B 8.(2024保定竞秀区二模节选)如图,AB是⊙0 6.(2024沧州一模节选)如图,AB=BC.以BC为 的直径,弦CD1AB于点F,过点A作⊙0的切 直径作0,AC交⊙0于点E,过点E作EG1 线m.在m上取一点P.使PA=PD.直线DP与 AB于点F,交CB的延长线于点G.求证:EG是 0的切线 BA的延长线交于点0.求证:直线0D是0 的切线. 136 众相原创 赋能中考 河北数学21.(1)证明：如解图，连接OP.AP与⊙0相切， PB=√2+4=25. ∴OP⊥AP,∠AP0=90,∠PA0+∠POA=90°， :AB为直径，∠APB=90°，∴.∠BP℃=90 :OM⊥0N,∠P0C+∠P0A=90°， :∠BDP=∠BPC,∠DBP=∠PBC ∴∠POC=∠PAO. ∴.△BDP∽△BPC. :B恰好落在⊙0上 ∠Pa0=3∠mc=3P0, 能即即品 BG-2/5Bc=10. ∴.∠PA0=2∠PB0. ∠A=∠C,.BA=BC=10,.⊙0的半径为5. (2)解：如解图，连接CP,过P作 5.证明：如解图，连接0C, PD⊥BC于点D,则∠PD0=90°， ,⊙0的半径为3，PB=2, 由(1)可知，∠POC=∠PA0, .OC=0B=3.OP=0B+PB=5. ∠AP0=90° PC=4,.0C2+PC2=0P2, △PDO∽△OPA, ÷△OCP是直角三角形，且OC⊥PC 00 又，·OC是⊙O的半径，∴.PC是⊙0的切线 A02=AP+0P2,⊙0的半径为3，AP=4, 0=59号 m=号00=号 0=0B+00=3+号- 第5题解图 第6题解图 6.证明：连接0E,如解图. PB=√PD+BD.9/0 5 AB=BC,,∠A=∠C 第三节三角形的内心与外心 0E=0C,∴.∠OEC=∠C, ∴.∠A=∠OEC,.OE∥AB. 1.B2.B3.B4.B5.C6.A7.B8.D9.C ,EG⊥AB,OE⊥EG 10.D11.A12.(1)130°(2)22 又OE为半径，∴.EG是⊙0的切线. AB =AD, 7.证明：如解图，连接OM,过点0作ON⊥CD于点N, 13.(1)证明：在△ABC和△ADE中，∠B=∠D ,⊙0与BC相切于点M,∴.OM⊥BC. BC DE. 四边形ABCD是正方形，“.CA平分∠BCD, ∴△ABC≌△ADE(SAS),.∠BAC=∠DAE, 又ON⊥CD.OM⊥BC,.OM=ON, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴ON为⊙0的半径，∴.GD与⊙0相切 ,∴.∠BAD=∠CAE. (2)解：AD=6,.PD=6-AP=6-x, D ∴当AP最短时，PD的长最大 当AP⊥BC时，AP=x最小，PD的长最大， B=6,LB=30=B=号×6=3， B 第7题解图 第8题解图 PD=6-x=3,即PD长的最大值为3. (3)m=105,n=150. 8.证明：连接OP,OD,如解图. 14.D15.C 直线m与⊙0相切，∴，OA1AP,∴.∠0AP=90° 小专题培优24与切线有关的精助线作法 0A =OD. 在△OAP和△ODP中， 1.2m2.13.(1)60(2)5-1 OP=OP. LAP DP. 4.(1)证明：连接OP,如解图. ∴.△O4P≌△ODP(SSS), :PD是⊙O的切线，.OP⊥PD. ∴.∠ODP=∠0AP=90°..OD⊥QD PD⊥BC,.OP∥BC.∠OPA=∠C 又，：0D是⊙0的半径 ,0A=OP,∴∠OPA=∠A. 直线QD是⊙0的切线 .∠A=∠C (2)解：连接PB,如解图. 第四节与圆有关的计算 在Rt△PBD中， .PD=2BD=4,.BD=2 1A2A32874A8A6C7号 8.解：(1)AD⊥CD.理由如下： 河北数学 19