第6单元 小专题培优23 辅助圆问题的三大常见模型-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

小专题培优23 辅助圆问题的三大常见模型 模型定点定长 1.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,∠CBD=20°，∠BDC= 【模型特点】 30°，则∠BAD= 情形一：动，点到定点的距离固 定，如A是定点，B是动点， AB=r,则点B在以A为圆心，r 为半径的圆上； 情形二：三条共端点的线段相 【思路分析】 等，如AB=AC=AD,则，点B,C, BC,D三点都在以，点A为回 根据断周角 D都在以A为圆心，AB为半径 AR=AC=AD 心，AB长为半径的圆上 定理求角度 的圆上 2.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，N,M分别为BC,DE的 【解题策略】 中点，AB=6,AD=4,在△ADE绕点A旋转的过程中，MN长的最 1.利用圆周角定理求角度： 2.当圆上的动点M、圆外一定点 大值为 N、圆心O三点共线时，MW的长 取得最值：当M位于中间时， MN的长取得最小值，如图1： 【思路分析】 图1 图2 △ADE是等边三角形 当O位于中间时，MN的长取得 AM的长 点M在以点A为 当4，M,V三点 M是DE的中点 到心，A1W长为半 共线，且A位于 最大值，如图2 (國定) 中间时，的 径的國上运动 长取符最大值 AD=4 模型2定弦对定角 3.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点P在矩形的内部，连接PA, 【模型特点】 PB,PC,若∠PBC=∠PAB,则PC长的最小值是 线段固定，且该线段所对的角度 固定，如AB固定，C为动点，且 ∠ACB=a,则点C在以AB为 弦，∠ACB=α为圆周角的回上 (不与点A,B重合) 【解题策略】 【思路分析】 1,确定定弦、定角度数： 当0°<a<90°时，点C在优孤 矩形ABCD ∠ABC=90 当C、P和国 上运动，如图1： ∠APB=90 点P在以 心三，点共线， ∠PBC=∠PAB IB为直径 且P位于中问 AB=8 的半圆上 时，P的长 取得发小值 图1 第六单元圆127 4.如图.正方形ABCD的边长为4，E,F分别是CD,BC边上一点，且DE当《=90°时，点C在整个圆上 =CF,连接AE,DF交于点P,则△APD面积的最大值为 运动，如图2： 【思路分析】 正方形ABC) 360-2 △ADE≌△Df ∠APD=909 DE=Ch 图2 图3 0P⊥1D时 P在以AD的中点0为國心， Sn最大 AD为直径的半上 当90°<a<180时，点C在 劣孤上运动，如图3： 2.根据定角的特殊度数找到国心： 3.画出（隐形）圆，根据题目条 件解决问题 第4题图 第5题图 模型3四点共圆 5.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ACD=30°，AD=2, 【模型特点】 E是AC的中点，连接DE,则线段DE长的最小值为 情形一：对角互补的四边形的四 【思路分析】 个顶点共圆： A,B,C,D都 情形二：两个共斜边的直角三角 ∠BAD=∠BCD=90 在以BD为党 形的四个顶点共圆，圆心为斜边 径的圆上 /A01)= △A01)是等 的中点 2/AC1)=609 边三角形 取BD的中点O, E是1C的中点 【解题策略】 连接0A,OC 取0A的中点F 1.共斜边的两个直角三角形，不 连接EF,D 管在同侧还是异侧，都能得到四 10A=DC=01)=A1=2 点共圆，如图； ②EF=0e D,E,F三点共我时，DD 的长最小，等于DF-EF ③由匀股定理求DF的长 6.在综合实践课上，老师要求同学们用正方形纸片剪出等边三角形 且等边三角形的顶点都在正方形边上.小红利用两张边长为2的 正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的等边三角形和一个面 2.根据圆周角定理得到角度之 积最小的等边三角形，则这两个等边三角形的边长分别是 间的关系，进而求解 【思路分析】 函字图：正 方形ABGD. 等边三角形 5FG,图 ∠BDG= E,K.C.D ∠EAG-909 四，点共图 作E不LFG于点K /1)k= ∠GK=6)9 当FGLB时，△EFG的而积员小； 分别求出对 点K固定 同理可得 当F(G过点B时，△EFG的面积最大 应的FC的长 ∠EAA=60 128 众相原创赋能中考河北数学mC=8BC=1.7mam76°= AB BC⊥CA,÷.CA是圆的切线 BC ∴AB=l.7×tan76°≈6.8(m). (2)解：在△ABC中，m∠ABC=子 (2)画出线段DH,如解图. 连接OM.OA=OM, ∠BAM=7, 在R△ABC中，am∠ABC= ∴，∠OMA=∠OAM=7. 3 AB∥MN. 能房C=含4C ∴∠AMD=∠BAM=7°， .BC-EC BE,BE =6. .∠0MD=14°， .∠M0D=76°， 2C-号C=6,每得4C= 3 在Rt△M0D中，lan∠MOD=D -0D C=子×号=10圆的直径是10 mi6=0n=40n, 10.B11.A12.1.513.C14.B15.D16.C 设OD=xm,则MD=4xm, 17.(1)180(2)18018.(1)内(2)3或43 19.解：(1)如解图，连接0C. 在△M0D中，0M=0M=B≈3.4(m, AB是直径，CD是圆的 .x2+(4x)2=3.42, 切线， x=7-0.82(负值已舍去)0n=0.2m. .∠ACB=∠OCD=90°. 5 ,∠ACO=∠BCD. ∴.DH=0H-0D=0A-00D=2.6(m), .0A=OC,∴.∠A=∠ACO.∴.∠A=∠BCD ∴，最大水深约为2.6m ∠A=30°， 23.C24.(1)①22②>(2)71.5 BC=7AB=1,∠BCD=∠A=30°，∠ABC=60, 小专题培优23辅助固问题的三大常见模型 .∠ADC=30°，BD=BC=1 1.100°2.553.213-44.45.5-1 (2)由(1)知∠BCD=∠A 6.26-22,2【解析】如解图，设△GEF为正方形ABCD ·∠A+∠CDB+∠ACB+∠BCD=I8O°，∠ACB 的一个内接等边三角形，过点E作EK⊥FG于点K,连接 =90°， KA,KD,∠EKG=∠EDG=90°，.E,K,G,D四点共 .2∠BCD=90°-∠CDB, 圆，∴∠EDK=∠EGK=60°，同理∠K4E=60 ,△KD是等边三角形，K必为定点.，等边三角形 LBCD=2(90°-LGDB). 面积的大小取决于它的边长.当FG⊥AB时，边长FG20.解：(1)如解图，连接AP 最小，面积也最小，此时△EFG的边长等于正方形的边 由题意得，L,PB,PC都是⊙0的切线，AP⊥1，AP经过 长，为2；当FG过点B时，即F与点B重合时，△EFG 点0， 的边长最大，面积也最大，此时过点K作KH⊥BC于点 又PB=PC∴A为BC的中点 H,由等边三角形的性质可知，K为FG的中点.？KH∥ BC=15-5=10(cm)∴.AB= CD,.KH为△FCG的中位线，∴CG=2HK=2(EH- 2BC=5(em). EK)=2×(2-2×sin60°)=4-23，.FG'= 即点A对应的刻度为5+5=10 (2)如解图，连接0D,设⊙0 √BC+CG=√22+(4-25)产=26-22. 的半径为rcm, 则OD⊥PB,∠BAP=∠ODP =90°，∠BPA=∠OPD, .△BAP△ODP, BA BP (F9 H …on0P 在Rt△BAP中， 第二节与圆有关的位置关系 '.AB =5 cm,AP =12 em. 1.C2.C3.C4.B5.D6.D7.B8.C .BP=√AB+AP=l3(cm), 9.(1)证明：：BC是直径，：∠BDC=90°， ÷.∠ABC+∠DCB=90. 2解得9 .·∠ACD=∠ABC ,∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°， ∴这只玻璃杯的外径为2r-(cm)。 18众相原创赋能中考