第6单元 第3节 三角形的内心与外心-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

21.(1)证明：如解图，连接OP.AP与⊙0相切， PB=√2+4=25. ∴OP⊥AP,∠AP0=90,∠PA0+∠POA=90°， :AB为直径，∠APB=90°，∴.∠BP℃=90 :OM⊥0N,∠P0C+∠P0A=90°， :∠BDP=∠BPC,∠DBP=∠PBC ∴∠POC=∠PAO. ∴.△BDP∽△BPC. :B恰好落在⊙0上 ∠Pa0=3∠mc=3P0, 能即即品 BG-2/5Bc=10. ∴.∠PA0=2∠PB0. ∠A=∠C,.BA=BC=10,.⊙0的半径为5. (2)解：如解图，连接CP,过P作 5.证明：如解图，连接0C, PD⊥BC于点D,则∠PD0=90°， ,⊙0的半径为3，PB=2, 由(1)可知，∠POC=∠PA0, .OC=0B=3.OP=0B+PB=5. ∠AP0=90° PC=4,.0C2+PC2=0P2, △PDO∽△OPA, ÷△OCP是直角三角形，且OC⊥PC 00 又，·OC是⊙O的半径，∴.PC是⊙0的切线 A02=AP+0P2,⊙0的半径为3，AP=4, 0=59号 m=号00=号 0=0B+00=3+号- 第5题解图 第6题解图 6.证明：连接0E,如解图. PB=√PD+BD.9/0 5 AB=BC,,∠A=∠C 第三节三角形的内心与外心 0E=0C,∴.∠OEC=∠C, ∴.∠A=∠OEC,.OE∥AB. 1.B2.B3.B4.B5.C6.A7.B8.D9.C ,EG⊥AB,OE⊥EG 10.D11.A12.(1)130°(2)22 又OE为半径，∴.EG是⊙0的切线. AB =AD, 7.证明：如解图，连接OM,过点0作ON⊥CD于点N, 13.(1)证明：在△ABC和△ADE中，∠B=∠D ,⊙0与BC相切于点M,∴.OM⊥BC. BC DE. 四边形ABCD是正方形，“.CA平分∠BCD, ∴△ABC≌△ADE(SAS),.∠BAC=∠DAE, 又ON⊥CD.OM⊥BC,.OM=ON, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴ON为⊙0的半径，∴.GD与⊙0相切 ,∴.∠BAD=∠CAE. (2)解：AD=6,.PD=6-AP=6-x, D ∴当AP最短时，PD的长最大 当AP⊥BC时，AP=x最小，PD的长最大， B=6,LB=30=B=号×6=3， B 第7题解图 第8题解图 PD=6-x=3,即PD长的最大值为3. (3)m=105,n=150. 8.证明：连接OP,OD,如解图. 14.D15.C 直线m与⊙0相切，∴，OA1AP,∴.∠0AP=90° 小专题培优24与切线有关的精助线作法 0A =OD. 在△OAP和△ODP中， 1.2m2.13.(1)60(2)5-1 OP=OP. LAP DP. 4.(1)证明：连接OP,如解图. ∴.△O4P≌△ODP(SSS), :PD是⊙O的切线，.OP⊥PD. ∴.∠ODP=∠0AP=90°..OD⊥QD PD⊥BC,.OP∥BC.∠OPA=∠C 又，：0D是⊙0的半径 ,0A=OP,∴∠OPA=∠A. 直线QD是⊙0的切线 .∠A=∠C (2)解：连接PB,如解图. 第四节与圆有关的计算 在Rt△PBD中， .PD=2BD=4,.BD=2 1A2A32874A8A6C7号 8.解：(1)AD⊥CD.理由如下： 河北数学 19第三节 三角形的内心与外心 阶基础巩固分点练 三角形的内心(10年3考) 考点 考点 三角形的外心(10年5考) 1.(2024石家庄二十八中模拟)要在一张三角形 4.(2015河北6题3分)如图,AC.BE是⊙0的直 铁皮上截下一个面积最大的圆,此圆圆心应在 径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心 三角形 ) ( 不是点0的是 ) A.三边高线的交点处 B.三个角的平分线的交点处 C. 三边垂直平分线的交点处 D. 三边中线的交点处 2.(2024石家庄十七中二模)如图,在△ABC中 A. △ABE B. △ACF C. △ABD D. △ADE AB=8,AC=6,0为△ABC的内心,若△AB0的面 5.(2019河北10题3分)根据圆规作图的痕迹, 积为20,则△AC0的面积为 __ 可用直尺成功找到三角形外心的是 ( __ A.20 B.15 C.18 D.12 B 第2题图 第3题图 6.(2024郁单三模)如图.正方形纸片ABCD的中心 0刚好是△ABM的外心,则/AMB= 7 ) 3.(2018河北15题2分)如图,点/为△ABC的 内心,AB=4.AC=3.BC=2.将 ACB平移$$$$$ 其顶点与/重合,则图中阴影部分的周长为 ) C.3 B.4 A.4.5 D.2 B.125· C.115& A.135。 D.105* 二阶 能力提升综合练 7.(2016河北9题3分)如图为4x4的网格图,9.如图,0是四边形ABCD的外接圆,点M是 A,B,C.D.0均在格点上,点0是 ____ △ABC的内心,乙AMC=128*,则乙CDE的度 ( 数为 ) A.△ACD的外心 1 A.52 C.76 B.64 D.78o B.△ABC的外心 C.△ACD的内心 D.△ABC的内心 8.(2024石家庄模拟)已知一个三角形的内心与 第9题图 第10题图 外心重合,若它的内切圆的半径为2,则它的外 10.如图,点/和0分别是△ABC的内心和外心, 接圆的面积为 ) 若乙AIB=125*,则乙A0B的度数为 ~ B.8 A.4r C.12n D.16r A.120* B.125。 C.135· D.140d 第六单元 园 133 11.(2020河北14题2分)有一题目:“已知:点013.(2019河北23题9分)如图,在△ABC和 为△ABC的外心,BOC=130。,求乙A.” △ADE中,AB=AD=6.BC=DE, B= D= 嘉嘉的解答为:画△ABC以及它的外接圆 30*.边AD与边BC交于点P(不与点B,C重 0.连接0B.0C,如图.由BOC=2A= 合),点B,E在AD异侧,I为△APC的内心 130*,得乙A=65 (1)求证:乙BAD=乙CAE; (2)设AP=x.请用含x的式子表示PD的长. 而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,乙A还应有 另一个不同的值。” 并求PD长的最大值 C 下列判断正确的是 (3)当AB1AC时,乙A/C的取值范围为m* /A/C<n*,分别直接写出m,n的值 A.淇淇说的对,且乙A的另一个值是115。 B.淇淇说的不对,/A就得65。 C.嘉嘉求的结果不对,乙A应得50。 D.两人都不对,之A应有3个不同的值 备用图 第11题图 第12题图 12.(2024唐山一模)如图,0为△ABC的外心,过 点0分别作AC、AB的垂线I、1,分别交BC 于D、E两点. (1)若乙BAC=65*,则BOC的度数为 (2)过点0作OF1BC于点F.BF=6cm.连接 AD.若AB=10cm.则△ADB的周长为 1cm. 三阶 rP河北中考趋势练 14. 数学文化、多解法(2024滨州)刘徽(今山东 15.学科内融合(2024秦皇岛海港区一模)抛物 滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国 线y=a(x-1)(x-3)(a0)与x轴交于点 古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古 A.B(A在B左侧),A、B两点与抛物线的顶点 代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分 构成的三角形,当内心与外心重合时,此时抛 重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和 物线的顶点记为点C.若抛物线的顶点到x轴 勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径 的距离比点C到x轴的距离大时,求a的取 的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,之C= 值范围. 90*.AB.BC.CA的长分别为c.a.b.则可以用 甲求得a>3; 含c.a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径 乙求得a<-/③. ( d.下列表达式错误的是 下列说法正确的是 _~ A.d=a+b-c A.甲对,乙错 B.d-2ab B.甲错,乙对 a+b+c C.二人答案合在一起才正确 C.d-v2(c-a)(c-b) D.二人答案合在一起也不正确 D.d=I(a-b)(c-b)1 134 众相原创 赋能中考 河北数学