第5单元 小专题培优22 特殊四边形中的四大常见模型-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

,.AB=√AE+BE=5 11.解：(1)甲和乙 .∠AEB=∠AFD=90°，∠B=∠D (2)证明如下： .△ABE△ADF 甲方案：：四边形ABCD是菱形， BE、DF AEAF DF=3x6、9 OB=OD,OA=OC,AC⊥BD, 4=2 BM=DN.∴，OM=ON. CD=AB-5.CF-CD-DF- OA=OC,MN⊥AC, ∴.四边形AMCV是菱形 7.D8.B9.D10.C11.B12.A13.C14.6 乙方案：：四边形ABCD是菱形， 15.(1)0D平行 ∴.OA=OC,AC⊥BD,∠BAC=∠DAC OA=OC. AM,AN分别是∠BAC和∠DAC的平分线， (2)证明：在△AOD和△C0B中， ∠AOD=∠COB, ,∠MAC=∠NAC LOD =OB. ,∠MAC=∠NAC. ,△4OD≌△COB(SAS),∴∠DAO=∠BC0. 在△AOM和△AON中， A0=A0. ,.AD∥BC.同理可得AB∥CD ∠A0M=∠AON=90°， 、.四边形ABCD是平行四边形. △AOM≌△AON(ASA),.OM=0N. (3)平行四边形的对角线互相平分 .'OA=OC,∴，四边形AMCN是平行四边形 16.C AC⊥MN,四边形AMCN是菱形. 17.①（或②） (选择其中一种方案证明即可) (1)证明：选择①， (2)四边形ABCD是菱形， ∠B=∠AED,∴.BC∥DE c=AB=5,0M=4C=3,4CLm, ,AB∥CD..四边形BCDE为平行四边形 选择②，，AE=BE,AE=CD,∴，BE=CD. .0B=√AB2-0=4.BD=20B=8. AB∥CD..四边形BCDE为平行四边形 设点A到BC的距离为h, (2)解：由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形， 则5o=之C·BD=BC点， ∴.DE=BC=10. :AD⊥AB,,∠A=90 h:GD-,即点A到BC的距离为学 2BC .AE=√DE-AD=10-8=6. 第五节正方形 第三节矩形 1.B2.C3.B4.4515.66.A 12(1.0)(3.)3A4C 7.证明：0是边AB的中点，0A=OB 5.AC=BD(答案不唯一)6.C7.A8.A9.C10.D r∠AOD=∠BOC, 1.D2.D1B.B14A15(1)30(2号 在△AOD和△BOC中，{OA=OB, L∠A=∠B 小专题培优22特殊四边形中的四大常见模型 ∴.△AOD≌△BOC(ASA),DA=CB. 1.D2.2 .·∠A=∠B=90°，..DA∥CB. 3.(I)证明：：CE平分∠BCD,∠BCE=∠DCE. .四边形ABCD是平行四边形 ,:四边形ABCD是平行四边形. 又：∠A=90°，，四边形ABCD是矩形 .AD=BC,AB∥CD ∴.∠BEC=∠DCE,.∠BEC=∠BCE 8D【变式号9D10.(1)4(22≤x≤811.B ,BC=BE=5..AD=5. 12.证明：(1)选择①. AE=3,DE=4,32+42=5,AE+DE2=AD, :AD∥BC,AB∥CD, ∴△ADE是直角三角形，且∠DEA=90°. 四边形ABCD是平行四边形. (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， :∠ABC=90,.四边形ABCD是矩形. :CD =AB=AE +BE=8,AB//CD. 选择②.AD∥BC,AD=BC, ∴∠CDE=∠DEA=90°， ,四边形ABCD是平行四边形. ∴CE=√DE+CD=45. :∠ABC=90°，∴，四边形ABCD是矩形 (2)解：∠ABC=90°，AB=3,AC=5, 4v29525 5 ..BC=AC2 AB=4. 6.证明：四边形ABCD是矩形， 四边形ABCD是矩形。 ∴.∠BAD=∠D=90°，∴，∠BAE+∠EMD=90° 四边形ABCD的面积为AB·BC=12. BF⊥AE,∠AMB=90°， ∴∠BAE+∠ABM=90°，.∠EAD=∠ABM. 第四节菱形 ∠D=∠AMB=90°，.△ADE∽△BMA, 1.D2.B3.C4.D5.C6.D7.D8.B9.D 10.A 六怎-AB:E=AE,A 16 众相原创赋能中考 7.D ②证明：由(2)①知，四边形ABCD是矩形， 8.证明：四边形ABCD是正方形， .∠BCD=∠ECF=90 ∴.BC=CD,∠BCE=90°， 又CE=BC,CF=CD, .∠DCF=180°-∠BCE=90°. .△FCEa△DCB,.∠CFE=∠CDB BC DC. 又∠CEF=∠DEG. 在△BCE和△DCF中， ∠BCE=∠DCF, ∴，∠DGE=∠DCF=90°，，BD⊥AF, CE=CF. ③解：由(2)①知，四边形ABCD是矩形. .△BCE≌△DCF(SAS),.∠EBC=∠CDF .AB =CD,AD=BC =1. 9.16 设AB=CD=m, 单元整体构建 CF=m,DE CD CE CD-BC =m-1. 易错题专练 AD∥BC,.△ADE∽△FCE 1.C2.B3.(4.2)或(-4.2)或(2，-2) 4.4cm2或12cm2【变式】2或8 2器即片m-10, 知识整合 生5l5舍片5 解得m,=1+5 2 一题一单元 am∠ABD=4D-1=5-1 (I)①证明：，E是CD的中点，.DE=CE AB1+5 2 2 AD∥BC,∴∠ADE=∠FCE. ,∠ADE=∠FCE. ④证明：如解图2，在GF上截取PF=DG,连接CP. 在△ADE和△FCE中，DE=CE. 由(2)②可得，∠CFP=∠CDG. L∠AED=∠FEC 在△CFP和△CDG中， △ADE≌△FCE(ASA),∴.AD=CF. CF CD. :C是BF的中点，.BC=CF,AD=BC ∠CFP=∠CDG 又：AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形. PF =GD. ②解：由(1)①知，四边形ABCD是平行四边形， ∴，△CFP≌△CDG(SAS), .AB=CD,AB∥CD,.△ABP∽△EDP, ∴，CP=CG,∠FCP=∠DCG, 解图2 8那8-品25w=25 .∠GCP=∠DCG+∠DCP=∠FCP+∠DCP=∠DCF =90°， 设S么r=a,则T=S4r=2a, △GCP是等腰直角三角形，∴GP=2CG SAA=Sa+SAAmP =3a. GP =GF PF=GF-DG...GF DG=2CG. :C是BF的中点，∴.SAw=2S6e=2SAm=6a, 5=5+5m=9a小子-器：号 第六单元圆 第一节圆的相关概念与性质 ③解：AD∥BC,∴∠DAF=∠AFB. 1.D2.D3.c :AF平分∠DAB,.∠DAF=∠BAF 4.证明：连接0A、OB,如解图。 ∴.∠AFB=∠BAF,BF=AB=5. 0A =0B. 如解图1，过点A作AM⊥BF于点M 六∠OAB=∠OBA 在Rt△AMF中， AE=BF,∠AOC=∠BOD. mLAW=-手 在△AOC和△BOD中. 设AM=4k,则MF=3k, ∠OAB=∠OBA, OA=OB、 .AF=√An+MF=5k,BM= L∠AOC=∠BOD BF-MF=5-3k .△AOC≌△BOD(ASA), 在Rt△AMB中，由勾股定理，得B AM +BM =AB. 解图1 .AC BD. 5.B6.A7.C8.C9.C10.9011.5512.B 即(4k)2+(5-3)2=52 13.B14.A15.B16.A17.C18.D19.B20.B 6 解得k=0(舍去)，=号心AF=5k=6 21.85 (2)①证明：AD∥BC,AB∥CD, 22.解：(1)，嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头 .四边形ABCD是平行四边形， 顶C的仰角为14°， :∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形. ,∠CAB=14°，∠CBA=90° .∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76°. 河北数学 17小专题培优22 特殊四边形中的四大常见模型 类型 平行四边形中的角平分线模型 (2)求CE的长 一条角平分线 7{ 类型 “十”字模型 结论:△ABE是等腰三角形 两条角平分线 常见图形 变式图形 结论 #△#△ 左图: △ABF△DAE: 右图: 结论:△ABE和△CDF是等腰三角形 △EMG△HNF 1.如图,在□ABCD中,AB=5,BC=7,BE平分 ##7行 乙ABC交AD于E.CF平分乙BCD交AD于F 左图: 则EF等于 _ △DAE△ABF: C.2 A.1 B.1.5 D.3 右图: ###分# △GEM△FHN 常见图形 辅助线作法 结论 #7#6 第1题图 第2题图 △BCD△CAG 2.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3.AD=5 2ABC的平分线交AD于点E.交CD的延长线 于点F,则DF=. 3.如图,在口ABCD中,CE平分乙BCD,交AB于 △MNF△DBE 点 E,AE=3,BE=5.DE=4 (1)求证:乙DEA=90*; 【特别提醒】在正方形或者等腰直角三角形中常构造 全等三角形,在其他特殊四边形中构造相似三角形。 4.如图,正方形ABCD的边长为5.E,F.G分别为 CD.AB.BC边上的点,若DE=1.BF=2.EF1$$ AG,则AG的长为 第五单元 四边形 117 5.(人教八下P68T8改编)如图,正方形ABCD的7.如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一 边长为6.E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交 点,连接AE,CE,过点E作EF1AE,交BC于点 于点V,则DV的长为 F.已知乙CEF=a,则乙AEB的度数是 ( ) ) - { 6.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是CD,AD上 A.90-a 的点,且BF1AE于点V 求证:AB·DE=AE·AM C.45。+a 8.如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F 为BC延长线上一点,且CE=CF 求证:乙EBC=_CDF 类型 正方形中的对称与旋转模型 正方形中的对角互补模型 常见图形 条件及结论 基本图形 条件及结论 正方形ABCD 如图,若正方形乙的一个顶点与 →△/ABE△CBE 正方形甲的对角线交点重合,则 →乙AEB=/CEB 两正方形的重叠部分的面积为 正方形ABCD.CE=CF →△BCE△DCF 9.将五个边长都为4cm的正方形按如图所示摆 →BE=DF,BE1DF 放,点A.B.C.D分别是四个正方形的中心,则 图中四块阴影部分面积的和为 cm2. 正方形ABCD.AE=CF →A/DAF△DCF →DE=DF,DE1DF →△DEF是等腰直角三角形 118 众相原创 赋能中考 河北数学