第4单元 小专题培优17 与中点有关的辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

4证明BC=BD·AB,G肥 BCBD .AQ+BQ=AB 3 又∠DBC=∠CBA,∴.△CDB∽△ACB 2x+3江=3，解得x=亏心P=5=3 5.A 第五节等腰三角形和直角三角形 6.解：(1)相似.理由如下： 1.B【变式设问】72.C3.C4.D 能子品名分器 5.(-3,35)956.B7.B8.B9.D10.B 又：∠AED=∠CEB,.△AED∽△CEB. 11.B12.B13.D14.B15.7秒或19秒 （2△MD△cEB,2-装即克-宁 16.(1)20(2)13.17.118.15 小专题培优17与中点有关的辅助线作法 ,.BC=8 7.证明：△ABC绕点A顺时针旋转a得到△ADE, 1B2.2 ,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE, 3.证明：如解图，连接OD。 ÷格-2△40maCE ∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC的中点， 8.证明：在题图1中，DE∥BC ∴.0D=OE=0B=OC 品能品光 ,∠CBA=∠BDO,∠BCA= ∠CEO. 在题图2中，由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE. ,∠BAC=120°. 又：0-提△4 DCE. ,∴，∠CBA+∠BCA=180°-120°=60 ∠BOE=∠BCA+∠CE0=2∠BCM,∠COD=∠CBA 9.解：在题图1中，：四边形ABCD是正方形， +∠BDO=2∠CBA, ∠ACD=45,cD1Bc,%=2 ∠B0E+∠C0D=120°，∴.∠D0E=60°， △DOE是等边三角形，，DE=OE. EG∥BC,∴EG⊥CD, 4.A5.96.16cm7.1<AD<4 ·△ECG是等腰直角三角形， 8.证明：如解图，延长AE到点F,使EF=AE,连接DF …“ =2 :AE是△ABD的中线， .BE ED. 在题图2中，由旋转的性质，得∠ACE=∠DCG 在△ABE和△FDE中， 又品-器△4GB△06能-品-2 BE DE, ∠AEB=∠FED 10.证明：四边形ABCD为矩形， LAE FE. .∠A=∠B=90°，.∠APE+∠AEP-90. .△ABE≌△FDE(SAS): ∠EPF=90°，∴.∠APE+∠BPF=90°， ,AB=DF,∠BAE=∠EFD ∴∠AEP=∠BPF,.△APE∽△BFP ∠ADB是△ADC的外角， 11.证明：'△MBC为等边三角形， ∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD. .∠A=∠B=60°，∴.∠AEP+∠APE=120 .·∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD. ∠EPF=60°，∴.∠APE+∠BPF=120°， .∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD. .∠AEP=∠BPF,.△APE∽△BFP. ,∠ADF=∠ADC 12.解：如解图，作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC于点R AB=DC. ·∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°， ∴.DF=DC .四边形PQBR是矩形， AD=AD. ∴.∠QPR=90°=∠MPV 在△ADF和△ADC中， ∠ADF=∠ADC, .∠QPE=∠RPF, LFD =CD. PQ PE △0PE△RPF.PR=PF=2 △ADF≌△ADC(SAS), ∴，∠C=∠AFD ∴PQ=2PR=2BQ. ∠EFD=∠BAE PQ∥BC, ,∠C=∠BAE ∴△APQ△ACB, 小专题培优18 与角平分线有关的常见模型 怨北瓷 L.1202.15 3.证明：如解图，∠ABC+∠ACB AB=3,BC=4. =180°-∠4. AC=√AB+BC=5. ·.∠DBC+∠BCE=360°- 9g兴 (∠ABC+∠ACB)=I8O°+∠A. D 又：△ABC的两个外角的平分线 设PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x 12 众相原创赋能中考小专题培优17 与中点有关的辅助线作法(10年5者：2023.11) 类型工特殊三角形中，已知中点，考虑中线 3.如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC= (10年2考：2023.11) 90°，O为BC的中点，BD,CE相交于点A, ∠BAC=120°.求证：DE=OE. 在Rt△ABC中，∠C=90°，D为 已知 AB的中，点 情形1 遇直角三 图示及 逢接CD 角形斜边 辅助线 中点 结论 CD-AD-RD-TAR 在△ABC中，AB=AC,D为底边 已知 BC的中点 情形2 遇等腰三 图示及 连接D 角形底边 辅助线 中点 B B D 结论 AD⊥BC,AD平分∠BAC 1.如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子 AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置 时，滑动过程中OM的变化规律是 类型2已知中点，考虑中位线(10年3考) 在△ABC中，D,E分别为AB,AC 已知 的中点 情形1 B 已知两 图示及 连接DE A.变小 B.不变 边中点 辅助线 C.变大 D.先变小再变大 2.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为 结论 DE∥BC,DE= 2BC,△ADE∽△ABC BC边的中点，MN⊥AC于点N,则MN的长度 已知 在△ABC中，D为AB的中点 为 过点D作 情形2 图示及 D DE∥BG D 已知一 辅助线 B 边中点 结论 AE=CE.DE-BC. △ADE△ABC 第四单元三角形89 4.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是DC,AD7.如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,则中线AD 的中点，EF⊥AB.若BC=13,AB=5,则EF的 的取值范围为 长度为 ( A.6 B.5 C.4 D.3 B D 8.如图，已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是 D M △ABD的中线.求证：∠C=∠BAE. 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AB=7,AC=11,点M是BC 的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD,则 FC的长为 类型3已知过中点的垂线，考虑垂直平分线 已知 在△ABC中，D,E分别在边BC,AC上，DE 条件 垂直平分BC 图示 连接B的 及辅 助线 B D 1 结论 BE =CE 6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠BCA=75 AC=8cm,D是BC的中点，且DE⊥BC,则BE 的长是 类型4已知中线或与中点有关的线段， 考虑倍长中线构造全等三角形 已知 在△ABC中，AD是BC边上的中线 条件 图示 延长AD至点F 及辅 使DE=1D. 助线 连接BE.CF E △ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD,四边形 结论 ABEC是平行四边形 90 众相原创赋能中考河北数学