第4单元 三角形 单元整体构建-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

单元体右律 易错题专练 众相提醒1 题干无图时,常需要分类讨论,注意考虑全面 【温馨提示】(1)等腰三角形 1.等腰三角形的一个内角是50{},则另外两个内角的度数分别是 中,需讨论已知角是项角还是 B.50,80{ A.65,65。 底角,已知边是底还是腰 C.65*65*或50*,80 D.5050。 (2)直角三角形中,需讨论已 知边是直角边还是斜边; 2.若一个直角三角形的两边长分别是1和3.则第三边长为 (3)已知高,需讨论其在三角 3.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50{},那么这个等 形的内部还是外部 腰三角形的顶角为 众相提醒2 求三角形边长时,需注意检验所得解是否符合三角形 【温馨提示】求三角形的边长 三边关系 时,一定要记得检验所求边长 4.(2024沧州任丘八中四模)已知三角形的两条边分别是3和8,第三 是否满足“三角形的任意两边 边是方程x-13x+42=0的根,则这个三角形的周长为 ) 之和大于第三边”,尤其是结 B.17 A.17或18 C.18 D.不能确定 果有2种或2种以上的情况 5.等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形 的底边长为 em. 众相提醒3注意“△△”和“△与△相似”的区别 【温馨提示】当题目中相似三 6.如图,在△ABC中,AB=10cm.BC=20cm,点P从点A开始,沿AB 角形无明确对应关系时,需要 边向点B以2cm/s的速度移动,点0从点B开始沿BC边向点C以 分类讨论注意:“△PB0 4cm/s的速度移动,如果点P、0分别从A、B同时出发,问经过几秒 △ABC”与“△PBO与△ABC 钟,△PBO与△ABC相似. 相似”两种说法的区别. 100 众相原创 赋能中考 河北数学 知识整合 (一) 特殊三角形的性质 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 ^}+b}=c2(a.b为直角边 边 两腰相等 三条边都相等 的长,c为斜边长) 角 两底角相等 三个内角相等,均为60* 两锐角之和等于90 是轴对称图形,有1条对称轴,对 是轴对称图形,有3条对称轴,对 对称性 称轴是底边上的高所在的直线 称轴是三边上的高所在的直线 (1)斜边上的中线等于斜 三线合一:顶角的平分线、底边上 边的一半; 其他 的中线、底边上的高重合 (2)30*角所对的直角边 等于斜边的一半 知识整合 (二) 全等三角形和相似三角形的性质与判定 1.性质 对应线段 对应关系 边 周长 面积 全等三角形 相等 相等 成比例,等于相似比 相似三角形 成比例,等于相似比的平方 2.判定 全等三角 SSS:三边分SAS:两边和它们ASA:两角和它们AAS:两角和其中一HL:斜边和一条直 形的判定 别相等的两个 的夹角分别相等的 的夹边分别相等的 个角的对边分别相等 角边分别相等的两 方法 三角形全等 两个三角形全等 两个三角形全等 的两个三角形全等 个直角三角形全等 相似三角 两角分别相等的两个三角形相似 三边成比例的两边成比例目夹角 斜边和一条直角 形的判定两个三角形相等的两个三角形 平行于三角形一边的直线和其他两边 边成比例的两个 方法 相似 相似 (或两边的延长线)相交,所构成的三 直角三角形相似 角形与原三角形相似 如图,△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形,/BAC=乙F=90*,BC分别与AF、AG相交于 点D、E,找出图中所有不全等的相似三角形,并选择其中一组进行证明 第四单元 三角形 101 题一单元 三角形的综合探究 原刨 在△ABC中,AB=AC=13.AD1BC于(3)如图2,若BE是乙ABC的平分线,求A0 点D.E是AC上一点,连接BE交AD于点0.若 的长. BC=10: (1)求△ABD的周长 图2 (2)如图1.若BE是AC边上的中线,连接DE ①求DE的长和sin乙CDE的值; 图1 (4)如图3,若BE是AC边上的高,P为AD上一 动点求PE+PC的最小值 ②求△AOE的面积 图3 102 众相原创 赋能中考 河北数学 (5)如图4,若BC=13v2,其他条件保持不变.过(6)如图5,若BC=13,其他条件保持不变.连接 点A作AG1BE,垂足为F,交BC于点G 0C.以OC为边向上作等边三角形OCH,连接BH ①求证:△ABO△CAG: 交AC于点K. ①求之CBH的度数: 图4 图5 ②求BH与AC的位置关系,并说明理由 ②求证:BD=AO+/DG ③连接KD.求XC和KD的长 第四单元 三角形 103·四边形ABCD是矩形,点0是AD的中点, 'AD=2 0D. D=90。 .MV=ME+EN=3.75+1. 5=5. 25(米).$ 又: oCD=B..sin OCD=sinB=$ .树MN的高度约为5.25米. 在Rt△0DC中.设0D=3k cm.0C=3kcm. 【变式】15 4.解:过点D作DE1AB于点E.过点C作CF1DE于点 .CD=0C-0D=6k(cm). F.如解图,则四边形BCFE是矩形 由题意,得AB=80米, -30N45 DE=40米: :AD=20D=10/2(cm). ADE=90*-30=60*$ .截面ABCD的面积为AD·CD=100/②(cm). CDF-90*-45*=45° 在Rt△ADE中, 小专题培优20 解直角三角形实际应用题的常见模型 B 1.A (AED=90*. 2.解:(1)如解图,过点P作PC1AB于点C 在Rt△ACP中,乙A=30*} DE : PC=PA·sinA=100x1=50(海里). 8AE=/3DE=40/3(米) $ BE=AB-AE=(80-40/③)米 在Rt△BCP中,/B=45*, ·四边形BCFE是矩形, $.PB=2PC=50 2~70.7(海里). '.CF=BE=(80-403)米 答:B处距离灯塔P约70.7海里 在Rt△DCF中, DFC=90*$ CDF= DCF=4 * (2)·PB=50/②海里. :DF=CF=(80-40/3)米 $$C=EF=DE-DF=40-80+40 3-28(米)$ 答:楼BC的高度约是28米. “PA=100海里, A=30*. 【变式】B 单元整体构建 30 易错题专练 :.AB=(50+50/3)海里. 1.C 2./2或2 3.40或140* 4.A 5.3 ·轮船的航速是每小时20海里。 .50+50~6.8<7. 6.解:设1s后,△PB0与△ABC相似, 则AP=2t cm.B0=4t em..BP=(10-2t)cm 20 分两种情况:当BP与AB对应时,APBOC△ABC. .轮船能在台风到来前赶到避风港B处 BBC' BPB0.10-2140 【变式】31 1020,解得1=2.5. 3.解:(1)如解图1.过点A作A010P,垂足为0.则 一0 当BP与BC对应时,△PBO△CBA. 乙A00=90. A0=553{$= 0A=90- A0=37*$$$ 20=,解得1=1. .a的值为37。. 综上所述,经过2.5s或1s,△PB0与△ABC相似 知识整合 解:不全等的相似三角形有2对:△BDA△ADE. △CAE△ADE. 选择△BDA△ADE 证明如下:△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角 三角形,乙BAC= F=90*} P铅 '. C= B= FAG= G=45 $ : DAB= FAG+ EAB DEA= B+ EAB 解图1 解图2 '.乙DAB= DEA. (2)延长AC交MV于点E.如解图2 又:乙BDA=乙ADE. 由题意,得AB=CD=EN=1.5米,AC=BD=1.2 5米$,$$$ .△BDA△ADE.(答案不唯一,也可以选择另一组进 AF1MW. 行证明) 设CE=x米,则AE=AC+CE=(x+1.25)米 一题一单元 在Bt△CEM中,乙MCE=45*. ..ME=CE·tan45*=x(米). 在Rt△AEM中,乙MAE=37*. :AD=VAB-BD=12 .△ABD的周长为AB+BD+AD=30 (2)①:AB=AC.AD1BC. 14 众相原创 赋能中考 .D是BC的中点. .△ABC是等腰直角三角形,乙BAC=90。 又BE是AC边上的中线,E是AC的中点, 又:AD1BC. BAD= C=45 $$$$$ :.DE是△ABC的中位线, : AG 1 BE AFO= ADG=90$$ AOB= OAF+ AFO. CGA= OAF+ AD$G$ .乙AOB=乙CGA. . sinzCDE=sin2ABC-4D-12 ,_BA0=/C. AB13 在△AB0和△CAG中, _AOB=_CGA. ②如解图1.过点E作EM//BC交AD于点M AB=CA. 则EM1AD,△AEMP△ACD. 44 EM 4fMFEV .△ABO△CAG AD=CDAC' 12“5 ②证明:△ABO△CAG:.AO=CG. 3 , .CD=CG+DG=AO+DG '.AM=6.EM= 2' 由(5)①可知.BD=CD.:.BD=AO+DG . DM=AD-AM=6. (6)①-:AB=AC.AD1BC. 8OD=DM-0M=6-OM .AD是BC的垂直平分线.:.0B=0C. .EM/BC. . OBC= OCB. .△EOM~△BOD ·△OHC是等边三角形. '. 乙HOC=60*.0H=OC. D OM 解图1 $. OH=OB..乙HB0= OHB * HOE= HB0+ OHB=2/HB$$ .OM=2...A0=AM+0M=8. COE=0BC+0CB=2 0BC. .HOC =乙HOE+COE=2(乙HBO+ OBC)= 2乙CBH. (3)如解图2,过点0作0N1AB于点M ·BE是乙ABC的平分线.0D1BC.ON1AB ..OD-0N. ②BH1AC.理由如下: .So=So+Soo. .AB=AC=BC=13. 2.△ABC是等边三角形...乙ACB=60 . CBH=30*. . BKC=180*-(乙ACB+ CBH)=90* .BHLAC. .0W=0D-10 ③易知,△BCK是直角三角形,CBH=30*,D为BC 第五单元 四边形 第一节 多边形(含正多边形与圆) 1.A 【变式1540{* 2. B 3. 7 4. D 5. D 6. D 7. B 8. 12 【变式]6 9. B 10.D 11.A 【变式】D 12. B 13.C 14.B 【变式】D 15.54* 16.(1)23 (2)/13+1 解图2 解图3 小专题培优21 正多边形的叠合、镶嵌、滚动问题 (4)如解图3.连接PB 1. B 2.C 3. B 4.24 5.(1)30 (2)2/3 ·AB=AC.AD1BC .点B与点C关于AD对称. .PB=PC.PE+PC=PE+PB ·PE+PB=BE. 9.14 21 10.C 11.60 2 12.33+3/2 .当P,B.E三点共线时,PE+PC的值最小,最小值为 第二节 平行四边形 BE的长. 1.C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.(1)证明:四边形ABCD为平行四边形.. /B三/D AE 1BC$AF1CD.. AEB=90*$乙AFD=90*. .BE-4D.BC120 . B+ BAE=90{, DAF+ D=90*$$ AC 13. . 乙BAE=乙DAF. .PE+PC的最小值是120 (2)解: tan BAEF-3 13 ,f-4. (5)①证明::AB=AC=13.BC=13/2. 3B .AB+AC}=BC #-.BFE3. 河北数学 15