第4单元 第6节 锐角三角函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

交于点0， A∠0Bc+L0GB=(LDBc+LBGE)=90°+ ∠B=30°AD=)AB=1000(米) 答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站 34A 之间最短的距离是1000米 六∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=90°- 2<4 309 .mn 5.5 -D 6.证明：如解图，延长CD交AB于点E. 东 在△EAD和△CAD中， 45 r∠EAD=∠CAD. AD =AD. (2)在R△ADC中，∠DAC=45°，AD=1000米， (∠ADE=∠ADC .AC=AD c450=1000,2=1414(米). ·△EAD≌△CAD(ASA). .1414<15×100. ∴AE=AC,ED=DC. ∴.小欢15分钟内能到达公共汽车站。 又：BM=HCM=E, 2D1B号多 2 .DWI(AB-AE)=(AB-AC). 14.解：(1)由题意，得PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ 7.105 =1.6 m,AE=BQ=4 m,AC BD =3 m, 8.证明：(1).AD∥BC,.∴.∠ABC+∠BAD=180°. .CE=1m,PE=1m,∠CEP=90°， :AE平分∠BAD,BE平分∠ABC, .CE =PE, ÷LABE=子LABC,∠BME=7∠BMD 六B=∠P0E=4se,mm=wLPAE=器= :∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE)=180°- (2)CE=PE=Im,∠CEP=90°， (∠ABC+∠BAD)=0 .AELRE .'CP=2 m. 如解图，过点C作CH (2)过点E作EF∥AD交AB于点F,如解图.则∠DAE ⊥AP于点H. =∠AEF.AE平分∠BAD, A ,tana=tan∠PAE= .∠DAE=∠BAE. ∴.∠BAE=∠AEF,.AF=EF 册子 同理可得BF=EF,AF=BF, 设CH=xm, 0 点F是AB的中点 则AH=4xm, .AD∥BC,∴.EF∥BC .x2+(4x)2=AC2=9,解得x .点E是CD的中点，DE=CE. 3(负值已舍去)， 17 小专题培优19直角三角形斜边上的高的应用 0n=3 17 m,∴.sin∠APC= CH334 1.A2.4.83.864.23④ CP =34 5.(1)证明：AB=AC,AD为边BC上的中线，∴.BD= 1s6:216号 CD.AD⊥BC.又，DE⊥AB.∴.∠DEA=∠BDA=90°.又 4 ∠EAD=∠DAB,△ADE∽△ABD. 17.解：(1)作出αx所在的直角三角形，如解图. 2号 'msas 4 6.(1)证明：连接OD..CD是⊙O的切线，.OD⊥CD. .设b=7x,则c=4x, :AB是直径，.∠ADB=∠ODC=90°， 由勾股定理，得 ∴.∠AD0=∠BDC. a=V√(4x)2-(7x)2=3x. .OA=OD.∴.∠DOC=∠A+∠0DA=2∠BDC :∠C+∠D0C=90°，∠C+2∠BDC=90 .sina =4=3x 3 e 4x 241 (2)车轮的直径AB的长为1米. 第六节锐角三角函数及其应用 又B=30,sin6=sin30°= 2 1A2.D3C4.15.C6.333四 六该介质的折射率为ime=3 7 7.A8.D9.A10.(50-103) (2)由题意可得a=60°，折射率为 2 11.解：(1)过点A作AD⊥BC于点D,如解图. sina_sim60°_3 :B位于A的北偏东30°方向，AB=2000米 3 河北数学13 :四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点， ∴AD=20D,∠D=90° =子(x+1.25).解得x=375MB=375米， ∴N=ME+EN=3.75+1.5=5.25(米)， 又∠OcD=B,sinL0CD=sib=号 .树MN的高度约为5.25米. 在Rt△0DC中，设0D=3kcm,OC=3kcm, 【变式】15 CD=√OC-0D=√6k(cm). 4.解：过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于点 F,如解图，则四边形BCFE是矩形. t明-8品-号0m-号c0=52cm 由题意，得AB=80米， 2 DE=40米， 309T458 ,AD=20D=102(cm). ∠ADE=90°-30°=60°. .截面ABCD的面积为AD·CD=1O0,2(em) ∠CDF=90°-45°=45. 小专题培优20解直角三角形实际应用题的常见模型 在Rt△ADE中， 1.A ∠AED=90°， 2.解：(1)如解图，过点P作PC⊥AB于点C 在Rt△ACP中，∠A=30°， mLA0E=能=， 六PC=PA·sml=100x2=50(海里) .AE=BDE=405(米) ∴BE=AB-AE=(80-403)米 在R1△BCP中，∠B=45°， ,四边形BCFE是矩形. .PB=2P℃=502✉70.7（海里）. CF=BE=(80-403)米 答：B处距离灯塔P约70.7海里， 在RL△DCF中，∠DFC=90°，∠CDF=∠DCF=45, (2).·PB=502海里. ∴.DF=CF=(80-403)米， BC三PB=50(海里)为 ∴BC=EF=DE-DF=40-80+405=28(米). 答：楼BC的高度约是28米 .PA=100海里，∠A=30° 【变式】B 4C=P1=03将里). 单元整体构建 30 易错题专练 ∴.AB=(50+505)海里. 1.C2.2或23.40或140°4.A5.3 ,轮船的航速是每小时20海里， 6.解：设ts后，△PBQ与△ABC相似， 50+505=6.8<7. AP =2t cm,BQ =4t em,..BP=(10 -2t)cm. 20 分两种情况：当BP与AB对应时，△PBQ∽△ABC ∴.轮船能在台风到来前赶到避风港B处. 【变式】31 六品即002-数解得1=25 3解：(1)如解图1，过点A作AQ⊥0P,垂足为Q,则 当BP与BC对应时，△PBQ∽△CBA, ∠AQ0=90°. ∠A0Q=53°.∴.a=∠0AQ=90°-∠A0Q=37°， 小能贸即00品解得1=山 ∴.α的值为37， 综上所述，经过2.5s或1s,△PBQ与△ABC相似 知识整合 解：不全等的相似三角形有2对：△BDA∽△ADE, △CAE∽△ADE 选择△BDA∽△ADE 证明如下：：△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角 人45 三角形，∠BAC=∠F=90 1.5米 .∠C=∠B=∠FAG=∠G=45°. P 铅锤 B D ∠DAB=∠FAG+∠EAB,∠DEA=∠B+∠EAB, 解图1 解图2 .∠DAB=∠DEA. (2)延长AC交MN于点E,如解图2. 又，∠BDA=∠ADE, 由题意，得AB=CD=EN=1.5米，AC=BD=1.25米， △BDA∽△ADE.(答案不唯一，也可以选择另一组进 AE⊥MN. 行证明) 设CE=x米，则AE=AC+CE=(x+1.25)米 一题一单元 在R△CEM中，∠MCE=45°， .ME=CE·lan45o=x(米. 解：()：AB=AC,AD1BC,BD=CD=2BC=5, 在R△AEM中，∠MAE=37, .AD=√AB2-BD=12, 六ME=,am37=2(x+1.25)米。 ,△ABD的周长为AB+BD+AD=30. (2)①.：AB=AC.AD⊥BC. 14 众相原创赋能中考第六节 锐角三角函数及其应用 了基础巩固分点练 考点1锐角三角函数的概念(2024.22,2023， 考点4解直角三角形的实际应用(10年9考： 26涉及) 2024.22.,2023.2,2022.24)】 1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,7.(2018河北11题2分)如图，快艇从P处向正 那么下列等式正确的是 ( 北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向 Am-号 B.cosA 3 右转80°继续航行，此时的航行方向为()》 4 A.北偏东30 B.北偏东80 C.tanA= 3 D.tanB=3 C.北偏西30 D.北偏西50 2.（2024石家庄模拟)如图，在6×6的正方形网格 北 809 中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则 sin∠BAC的值是 ( A.1 B 4 c 03 第7题图 第8题图 8.(2017河北10题3分)如图，码头A在码头B 考点2特殊角的三角函数值(2024.22(1) 的正西方向，甲、乙两船分别从A,B同时出 3.下列各式不正确的是 发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东 A.cos30°=sim60° 35°，为避免行进中甲，乙相撞，则乙的航向不 B.tan45=2sin30 能是 C.sin30°+cos30°=1 A.北偏东55 B.北偏西55 D.tan60°·cos60°=sin60° C.北偏东35 D.北偏西35° 4.已知a为锐角，tan(a+15)=3,则tana的值 9.(2020河北12题2分)如图，从笔直的公路1旁 为 一点P出发，向西走6km到达：从P出发向北 走6km也到达l,下列说法错误的是() 考点3解直角三角形(10年8考：2023.19) A,从点P向北偏西45走3km到达l 5.(2024保定一模)题目“在△ABC中，∠B= B.公路1的走向是南偏西45 30,AB=2,AC=2,求LC的度数”对于其 C.公路1的走向是北偏东45 D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达1 答案，甲答：∠C=60°，乙答：∠C=90°，丙答：∠C 北 =60或∠C=120°，则正确的是 A.只有甲答的对 B.只有乙答的对 C.只有丙答的对 第9题图 第10题图 D.乙、丙合在一起才完整 10.如图，斜坡AB长为100米，坡角∠ABC=30°， 6.如图，在△ABC中，BD⊥ AC,垂足为D,AB=6,AC= 现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造 成坡度i=1:5的斜坡BD(A,D,C三，点在地面 55,∠A=30°，则BD=, D 的同一条垂线上)，那么由点A到点D下降了 AD= ,sinC 米.（结果保留根号） 94众相原创赋能中考 河北数学 11.(2024保定定州市三模)如图，小欢从公共汽 (2)如果小欢以100米/分的速度从图书馆C 车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到 沿CA回到公共汽车站A,那么她在15分钟内 达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方 能否到达公共汽车站？（参考数据：√2≈ 向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏 1.414,3≈1.732) 东45°方向的图书馆C处 (1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与 公共汽车站之间的最短距离； B 30 北 ·东 45 二阶了能力提升综合练 12.实物模型（2024唐山古冶区三模)图1是一 AB=CD=1.6m,点P到BQ的距离PQ= 款折叠日历，图2是其侧面示意图，若AB= 2.6m,AC的延长线交PQ于点E.(注：图中 AC=a,BD=CD=b,∠BAC=20°，∠BDC= 所有点均在同一平面) 100°，则点A,D之间 (1)求B的大小及ana的值； 的距离为 ( (2)求CP的长及sin∠APC的值. A.asinl0°-bcos50 B.acosl0°-bsin50 C.asin1(0°-bsin50e D.acos10°-bcos50° 图1 图2 13.(2024唐山古冶区二模)四边形具有不稳定 性.如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4 的平行四边形，则sina= :若a= 30°，则平行四边形的面积为 14.科学素质(2024河北22题9分)中国的探月 工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇 在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星 星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m,仰 角为a:淇淇向前走了3m后到达点D,透过 点P恰好看到月亮，仰角为B,如图是示意图， 已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离 第四单元三角形95 三阶了河北中考趋势练 15.新定义定义一种运算： (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介 sin(a+B)=sinacosB cosasinB, 质，如图1所示，点A,B,C,D分别是长方体棱 sin(a-B)=sinacosB-cosasinB. 的中点，若光线经真空从矩形AD,D,A2对角 例如：当a=45°，B=30°时，sin(45°+30)= 线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处 号x号+号x号：62，则m5的值 射出，如图2，已知x=60°，CD=10cm,求截 2 2 面ABCD的面积 为 光线 16.动手操作将图1所示的七巧板，拼成图2所 光线 示的四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB= 图1 图2 图1 图2 17.跨学科·物理小明从科普读物中了解到，光 从真空射人介质发生折射时，人射角α的正 弦值与折射角B的正弦值的比值部叫做介 质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示 光在介质中传播时，介质对光作用的一种 特征 (1)若光从真空射入某介质，入射角为a,折 射角为B.且cma-?日=30，求该介质的折 射率； 96众相原创赋能中考河北数学