第4单元 第5节 等腰三角形和直角三角形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

第五节 等腰三角形和直角三角形 一阶基础巩固分点练 考点 等腰三角形的性质与判定(10年7考; 5.如图,△A0B是边长为6的等 2024.10,2023.513,2022.26) 边三角形,则点A的坐标是 1.(2023河北5题3分)四边形ABCD的边长如图 ,△A0B的面 所示,对角线AC的长度随四 积是 边形形状的改变而变化,当 考点 直角三角形的性质与判定(10年23考; △ABC为等腰三角形时,对角 2024.2225,2023.112426,2022.1826) 线AC的长为 6.(2023河北11题2分)如图,在Rt△ABC中, B.3 D.5 A.2 C.4 AB=4.点M是斜边BC的中点,以AM为边作 正方形AMEF.若S正方形4Mrr=16,则Sac= 【变式设问】其他条件不变,当△ABC是直角 ( A.4/3 B.8/3 C.12 三角形时,对角线AC的长为 D.16 2.(2024云南)已知AF是等腰三角形ABC底边 BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点 F到直线AC的距离为 ( ) D.7 第6题图 B.2 C.3 第7题图 7.(2020河北16题2分)如图是用三块正方形纸 考点 等边三角形的性质与判定(10年5考; 片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图 2024.25(1).2023.15) 案,现有五种正方形纸片,面积分别是1,2.3. 4.5.选取其中三块(可重复选取)按如图的方 3.(2024那鄣育华中学模拟)如图,直线m/n 式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的 AABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直 直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是 ( 线m交AB于点E,交AC于点F,若/1= ~ A.1,4,5 140。,则乙2的度数是 ( ___ B.2.3.5 C.3,4,5 D.95。 A. 110。 B.105。 C.100。 D.2,2,4 8.(2024石家庄新乐市一模)如图,在四边形 $$A B$C中, $A= $CB$0$=9 0*$$AB=B$C= $ 乙AOB=30*,则点B到0C的距离为 ( ) B25 C.1 D.2 5 第3题图 第4题图 心 4.多解法(2016河北16题2分)如图,/A0B= 12 20*.0P平分乙AOB.且0P=2.若点M.N分别在 0A.OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述 条件的△PMN有 →_ ~ 第8题图 第9题图 A.1个 B.2个 9.(2024张家口二模)如图,在网格图(每个小方 C.3个 D.3个以上 格均是边长为1的正方形)中,以AB为一 第四单元 三角形 87 边作直角三角形ABC,要求顶点C在格点上,11.(2024邢台三模)将等腰直角三角板ABC按 则图中不符合条件的点是 ) 如图的方式放置,点A在 B.C2 C.C. A.C. D.C x轴的正半轴上移动,点B 考点 随之在v轴的正半轴上移 等腰直角三角形的性质与判定 动,点C在AB的左侧,设 (10年5考;2024.23.2022.16) 点C的横坐标为n,则它的 10.(2024石家庄模拟)在等腰直角三角形ABC 纵坐标为 中,乙C=90,若Sxnc=m{,则m是( __% A.7 B-n A. 直角边AC的长 B.AB边上的中线的长 C.2n D.-2n C.斜边AB的长 D.BC边上的中线的长 二阶能力提升综合练 12.(2024河北一模)如图,△ABC为等边三角 D.过点P作PC1AB,垂足为C 形,△ACD为等腰直角三角形,AC=CD,则直 ( 线BC与直线AD的夹角为 ) B.15d A.10。 C.200 D.30 第14题图 第15题图 15.一副直角三角板叠放如图所示,现将含45*角的 1t 三角板固定不动,把含30*角的三角板绕直角顶 第12题图 第13题图 点按每秒15*}的速度沿逆时针方向匀速旋转 一周,当两块三角板的斜边平行时,则三角板 13.(2024自贡)如图,等边三角形ABC钢架的立 柱CD1AB于点D,AB长12m.现将钢架立柱 旋转运动的时间为 16.(2019河北19题4分)勘测队按实际需要构 缩短成DE,乙BED=60*,则新钢架减少用钢 ( ) 建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地 B.(24-8③)m 的坐标,数据如图(单位:km).笔直铁路经过 A.(24-12.3)m A,B两地. C.(24-6/3)m D.(24-4③)m (1)A.B间的距离为 km; 14.(2018河北8题3分)已知:如图,点P在线段 (2)计划修一条从C到 12.1) AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂 铁路AB的最短公路/. 直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助 并在1上建一个维修站 B(-8.1) 线,则作法不正确的是 ) D.使D到A.C的距离 A.作/APB的平分线PC交AB于点C 相等,则C.D间的距离 ·C(0.-17) B.过点P作PC1AB于点C且AC=BC 为 km. C.取AB中点C,连接PC 三阶河北中考趋势练 17.学科内融合一张直径为10cm的半圆形卡 18.转化思想一个六边形的六个内角都是120。 纸,过直径的两端点剪掉一个等腰三角形,在 (如图),连续四条边的长依次为1.3.3,2.则 两种裁剪方案(如图1和图2,单位:cm)中 这个六边形的周长是 数据合理的是方案.(填“I”“I”或 “I和II”) 方1 方案ll 图2 88 众相原创 赋能中考 河北数学4证明BC=BD·AB,G肥 BCBD .AQ+BQ=AB 3 又∠DBC=∠CBA,∴.△CDB∽△ACB 2x+3江=3，解得x=亏心P=5=3 5.A 第五节等腰三角形和直角三角形 6.解：(1)相似.理由如下： 1.B【变式设问】72.C3.C4.D 能子品名分器 5.(-3,35)956.B7.B8.B9.D10.B 又：∠AED=∠CEB,.△AED∽△CEB. 11.B12.B13.D14.B15.7秒或19秒 （2△MD△cEB,2-装即克-宁 16.(1)20(2)13.17.118.15 小专题培优17与中点有关的辅助线作法 ,.BC=8 7.证明：△ABC绕点A顺时针旋转a得到△ADE, 1B2.2 ,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE, 3.证明：如解图，连接OD。 ÷格-2△40maCE ∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC的中点， 8.证明：在题图1中，DE∥BC ∴.0D=OE=0B=OC 品能品光 ,∠CBA=∠BDO,∠BCA= ∠CEO. 在题图2中，由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE. ,∠BAC=120°. 又：0-提△4 DCE. ,∴，∠CBA+∠BCA=180°-120°=60 ∠BOE=∠BCA+∠CE0=2∠BCM,∠COD=∠CBA 9.解：在题图1中，：四边形ABCD是正方形， +∠BDO=2∠CBA, ∠ACD=45,cD1Bc,%=2 ∠B0E+∠C0D=120°，∴.∠D0E=60°， △DOE是等边三角形，，DE=OE. EG∥BC,∴EG⊥CD, 4.A5.96.16cm7.1<AD<4 ·△ECG是等腰直角三角形， 8.证明：如解图，延长AE到点F,使EF=AE,连接DF …“ =2 :AE是△ABD的中线， .BE ED. 在题图2中，由旋转的性质，得∠ACE=∠DCG 在△ABE和△FDE中， 又品-器△4GB△06能-品-2 BE DE, ∠AEB=∠FED 10.证明：四边形ABCD为矩形， LAE FE. .∠A=∠B=90°，.∠APE+∠AEP-90. .△ABE≌△FDE(SAS): ∠EPF=90°，∴.∠APE+∠BPF=90°， ,AB=DF,∠BAE=∠EFD ∴∠AEP=∠BPF,.△APE∽△BFP ∠ADB是△ADC的外角， 11.证明：'△MBC为等边三角形， ∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD. .∠A=∠B=60°，∴.∠AEP+∠APE=120 .·∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD. ∠EPF=60°，∴.∠APE+∠BPF=120°， .∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD. .∠AEP=∠BPF,.△APE∽△BFP. ,∠ADF=∠ADC 12.解：如解图，作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC于点R AB=DC. ·∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°， ∴.DF=DC .四边形PQBR是矩形， AD=AD. ∴.∠QPR=90°=∠MPV 在△ADF和△ADC中， ∠ADF=∠ADC, .∠QPE=∠RPF, LFD =CD. PQ PE △0PE△RPF.PR=PF=2 △ADF≌△ADC(SAS), ∴，∠C=∠AFD ∴PQ=2PR=2BQ. ∠EFD=∠BAE PQ∥BC, ,∠C=∠BAE ∴△APQ△ACB, 小专题培优18 与角平分线有关的常见模型 怨北瓷 L.1202.15 3.证明：如解图，∠ABC+∠ACB AB=3,BC=4. =180°-∠4. AC=√AB+BC=5. ·.∠DBC+∠BCE=360°- 9g兴 (∠ABC+∠ACB)=I8O°+∠A. D 又：△ABC的两个外角的平分线 设PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x 12 众相原创赋能中考