第2单元 小专题培优7 方程(组)与不等式结合的实际应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

小专题培优7 方程（组）与不等式结合的实际应用(2021.21) 技巧点拨 方程（组）与不等式结合的实际应用题中常见的类型及等量关系如下： 常见类型 常涉及知识点 等量关系 以购买甲、乙两种商品为例： 一次方程（组）+ 总价=单价×总量： 买、卖 不等式 甲的量+乙的量=总量（或甲、乙的量之间的和差倍分关系）： 类问题 甲的量×甲的单价+乙的量×乙的单价=总价 分式方程+不等式 第一次总费用第二火总费用=数量差（或两次数量之间的和差倍分关系） 第一次单价第二次单价 一次方程（组）+ 总工作量=工作效率×工作时间；总工作量=各组工作量之和： 不等式 总工作量未定时，可设总工作量为单位“1”，此时，工作效率= 1 工程问题 工作时间 分式方程+不等式 工作总量 工作总量 原计划每天究成的数量ˉ提升工作效率后每天完成的数量提前完成的天数 比赛积 一次方程（组）+不 总场敏=胜场数+负场数+平场数； 分问题 等式 总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 售价=标价×折扣（如：打八折后的售价就是标价×80%）： 打折销 一次方程（组）+不销售颜=销售单价×销售总量： 售问题 等式 单件利润=单件售价一单件进价： 利润率=利润 ×100% 进价 变化率 一元二次方程+不设a为原来的量，b为变化后的量 问题 等式 若平均增长（下降）率为x,增长（下降）次数为2，则a(1+x)=(a(1-x)=b) 1.(2024河北一模)为了丰富学生的假期生活， (2)若需要购买生物学和地理寒假作业共600 美丽中学准备购买生物学、地理两科寒假作 本，并且支出不超过26000元，则至多能购买 业.已知购买10本生物学和40本地理的费用 生物学寒假作业多少本？ 是1900元，购买30本生物学和20本地理的 费用是2200元. (1)生物学和地理寒假作业的单价分别是 多少？ 32 众相原创赋能中考河北数学 2.(冀教七上P120T3改编)我们知道乌鸦喝水3.某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单 的故事.现在来做一个原理相同的游戏：如图 (下表)已被墨水污染 水平放置的容器内原有210毫米高的水，将若 进货单 干个球逐一放入该容器中，每放人一个大球水 商品价（元/件）】 数量（件）总金颜（元） 面就上升5毫米，每放人一个小球水面就上升 甲 7200 4毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水 3200 中且水不溢出 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采 (1)如果放入1个大球、1个小球，水面高度达 购情况回忆如下： 到 毫米：只放入个大球时，水面高 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件 度会达到230毫米， 高50%： (2)在放入6个大球后，开始放入小球 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件 ①求最多放人多少个小球，水面高度会不超出 (1)请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全 原高度54毫米： 进货单： ②限定水面高度不超过285毫米，最多能放人 (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总 几个小球？ 金额不超过4870元，求采购员李阿姨最多可 购买甲商品多少件？ 210毫米 第二单元方程（组）与不等式（组）33(2)由题意，得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+ .n的值为6 13,解得k=6. 13.D14.4(答案不唯一)15.x(x-12)=864 13.解：(1)根据题意，得145+33-18=160（元）. 16.B17.D 答：此次用餐花了160元钱， 第四节一元一次不等式（组）及其应用 (2)设优惠活动中打x折 1.B【变式】B2.C3.A4.A5.C 根据题意，得(160-10)×。=135， 6不等式组的解集为}<≤3， 解得x=9. 六整数解为1,2,3，∴.所有整数解的和为6 答：优惠活动中打九折 14.A15.72 7解：(1)当m=2时，P=3x(兮-2)=-5 16.解：符合“标准”.理由如下： 设该汽车的A类物质排放量原为xgkm, (2:P≤73（号-m）≤7，解得m≥-2. 则该汽车的B类物质排放量原为(92-x)mg/km ,m的负整数值为-2和-1 根据题意，得(1-50%)x+(1-75%)(92-x)=40 解得x=68. 8.解：(1)一9》2=2=一2. ·,这次技术改进后该汽车的A类物质排放量为(1 50%)x=34. (2)依题意得 [(-9)+5+m]<m, 3 “标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km, Lm<0. “这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标 解得-2<m<0.,m为负整数，.m=-1 淮”。 9.A10.C 7D18-或好 11.解：(1)101-x=2x.解得x=10 第二节分式方程及其应用 由题意可知x为整数，而9不是整数。 1.D2.原方程的解为x=3.3.B4.A5.C6.D 7.A8.C9.-1x=2 .淇淇的说法不正确。 (2)由题意得，B品牌乒乓球有(101-x)个， 10解：()根据题意，得45=子-4+5= 4 则101-≥+28解得≤号 (2)根据题意，得产2-+(：+2)=5，解得x=1, x为整数..x最大为36，即A品牌球最多有36个 12.A13.B14.4 经检验，x=1是原方程的解，“x的值为1. 小专题培优7方程（组）与不等式结合的实际应用 11.A L.解：(1)设生物学和地理寒假作业的单价分别是x元，y 12.解：(1)（答案不唯一） 问题1：甲、乙两校的人数分别是多少？ 元根据题意，得0r士0=)0解得：=0 130x+20y=2200. ly=35. 设乙校的人数为x人 答：生物学和地理寒假作业的单价分别是50元，35元. 根据脂意，得。100 -18000+2. (2)设购买生物学寒假作业m本， 根据题意，得50m+35(600-m)≤26000. 解得x=1000. 经检验，x=1000是原分式方程的解，且符合题意， 解得m≤33子m是整数m最大是333 .∴.(1-10%)x=900 答：至多能购买生物学寒假作业333本， 答：甲校有900人，乙校有1000人 2.(1)2194 问题2：甲、乙两校的人均图书册数分别是多少？ (2)解：①设放入x个小球 设乙校的人均图书册数为x册。 根据题意，得6×5+4x≤54，解得x≤6. 根据题意，得18000-18000x(1-10%). 答：最多放人6个小球，水面高度会不超出原高度54毫米 x+2 解得x=18 ②设放入m个小球 根据题意，得210+6×5+4m≤285 经检验，x=18是原分式方程的解，且符合题意， 解得m≤11.25. ∴，x+2=20. m为整数，÷.m最大为11 答：甲、乙两校的人均图书册数分别是20册、18册. 答：限定水面高度不超过285毫米，最多能放入11个 (2)方程思想 小球. 第三节 一元二次方程及其应用 3.解：(1)设乙商品的进价为x元件，则甲商品的进价为 1.B2.D3.A4.D5.B6.A (1+50%)x元/件 7.有两个不相等的实数根8.C9.B10.611.C 12.解：根据题意，得1+n+m2=43, 根据题意.得0.30：0，解得=0。 整理，得n2+n-42=0, 经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意， 解得n1=-7(不符合题意，舍去)，2=6. ..(1+50%)x=(1+50%)×40=60. 4 众相原创赋能中考 .7200÷60=120(件)，3200÷40-80（件） 经检验，和=9.5是方程的解，且符合题意 答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/ “只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 件，甲商品的数量为120件，乙商品的数量为80件. 0.01%,需要9.5kg清水 (2)设购买甲商品m件，则购买乙商品(100-m)件， (2)是，理由如下：第一次漂洗：把m=2,d。=0.2%代 根据题意，得60m+40(100-m)≤4870， 054红.得d-05x02% 入d后 解得m≤43.5. 0.5+w 0.5+2 =0.04%. 又m是整数，.m的最大值为43. 0.5dm 答：采购员李阿姨最多可购买甲商品43件. 第二次漂洗：把0=2，dm=0.04%代人d=05+0, 单元整体构建 得d=05×0.04% 0.5+2 =0.008%. 易错题专练 ,0.008%<0.01%,∴.进行两次漂洗，能达到洗衣目标 1-3x+3=5x+102.①2x=- 3 (3)由(1)(2)的计算结果发现：经过两次漂洗，既能达 3.-34.1或2 到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值 5.(1)乙(2)错用等式性质，(x-3)是否为零不确定， 得推广学习. 因而造成漏根 6.-27.k≥-18.3 2.解：(1)当p=10时，甲的报告成绩为y=0×5 100 =76(分). 计算题加练 1.解：(1)根据题意，得2x+4y=-18, 乙的报告成绩为y-20×30-100+80=92(分). 150-100 把x=-5代入，得-10+4y--18,解得y=-2. a根器思意，利[2m 解得2， (2):92>80当y=92时，20(mp） +80=92. 150-p ly=6 2.解：(1)①[(-3)×2-(-5)]2+6=7. 新=0+号 ②[5-(-5)J2×2+6=206. 64<80.当y=64时 80x工=64.xT=5P 4 (2)根据题意，得(a+6)2×2-(-5)=45. 解得a,=25-6.4=-25-6. =00+号-号=40，解得p125 3解：()根据题意，得①=②+③=号+4+x =4+2-x (3)①130（或130分）：②95%.【解法提示】①共计 100名员工，且成绩已经按从小到大的顺序排列好 x2+4-x2-2x -2(x-2) x+2)(x-2)=（x+2)(x-2)-》 ∴，中位数是第50,51名员工成绩的平均数，由表格得： 第50,51名员工成绩都是130分，，中位数为130（或 (2)根据题意，得-子22解得一名 130分).②：90>80.90=20130-卫2+80，解得p= 150-p 检验：把=-号代人(x+2),得(x+2)0, 110.经检验，p=110是该方程的解，且符合题意，∴，由 表格得到原始成绩为110分及110分以上的人数为 六分式方程的解为x=一 5 10-(1+2+2)=95,合格率为器×10%=95% 则李老师心中的数为-号 第二节一次函数的图象与性质 4.解：(1)+11-(-10)=21（次） 1.C2.D3.C4.C5.1(答案不唯一)6.A7.B 答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次 8.A【变式】49.y=x+410.B (2)设剩下的那名同学的成绩可记为a,根据题意，得 11.解：(1)把(-2.4)代入y=x-3m+15,得4=-2 3m+15,解得m=3,.l2:y2=-2x, -10+4+11-9+1+a>0.解得a>3. 当x=-2时，y2=4,∴.点(-2,4)在光线6上. “.剩下的那名同学的成绩最少为160+4=164（次） 答：剩下的那名同学的成绩最少为164次， （2)联立3m15。解得=2m-8, ly=-2x+3m-9, y=7-m, 第三单元函 数 ,光线4，与2的交点坐标为(2m-8,7-m) 第一节平面直角坐标系与函数初步 2m-8>0. :交点在第一象限-m>0, 1.D2.D3.B4.(-2.3)5.D6.D7.B 解得4<m<7,∴.整数m的值为5或6，共2个 8.(3.0)或(-3,0)【变式】(3,4)或(3，-4) 12.B13.C14.D15.C16.A17.B 9.A10.x>-3且x≠-211.y=6+0.3x 12.D13.C14.B【变式】A15.B16.D【变式】B 18.y=5x-3 19.解：(1)直线1，的函数表达式为y=x+1 17.C18.(-3,-2)19.320.A21.(5,-3) (2)当k=- -时，直线6：y=-+5. 3 小专题培优8实际同题中函数关系式的应用 0.5dm 1解：(1)把d=0.01%,da=0.2%代人de=0.5+0 =x+1, 联立 3 得0.01%=0.5×02%，解得0=9.5 y=- 2x+5, 解得 x=5 13 0.5+0 5 河北数学5