第2单元 第1节 一次方程(组)及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

第二单元方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用 一阶了基础巩固分点练 考点1等式的性质(2018.7) 考点3二元一次方程组的解法(2015.11) 1.(2024唐山滦南县模拟)下列运用等式的性质 6(2024唐山遵化市二模)在方程3x-=5 变形正确的是 中，用含x的代数式表示y= A.若x=y,则x+5=y-5 7.(2015河北11题3分)利用加减消元法解方程 B.若a2=b2,则a=b r2x+5y=-10,① C若=么，则a=b 组 下列做法正确的是 5x-3y=6,② D.若ax=ay,则x=y A.要消去y,可以将①×5+②×2 2.(2018河北7题3分)有三种不同质量的物体 B.要消去x,可以将①×3+②×(-5) “日“日”“○”，其中，同一种物体的质量都相 C.要消去y,可以将①×5+②×3 等.现左右手中同样的盘子上都放着不同个数 D.要消去x,可以将①×(-5)+②×2 的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是 8.多解法（2024广西)解方程组： x+2y=3, lx-2y=1. D 考点2一元-一次方程的概念与解法(2018.22(2) 3.(2024石家庄桥西区三模)若x=1是方程x+ a=0的解，则a的值为 ( A.1 B.-1 C.0 D.-2 4.公拥原叫若(k-2)x-1=k+3是关于x的一 元一次方程，则k= :若该方程与关于x 的方程m.x-1=5的解相同，则m= 5.(2024新疆)解方程：2(x-1)-3=x. 第二单元方程（组）与不等式（组）23 考点4一次方程（组）的实际应用(10年6考： 11.(2024唐山一模)一道条件缺失的问题情境： 2023.20(2),2022.15、19(1)) 项工程，甲队单独做需要12天完成，…，还 需要几天完成任务？根据标准答案，老师在 9.跨学科·历史(2022河北15题2分)“曹冲称 黑板上画出线段示意图（如图），设甲、乙两队 象”是流传很广的故事，如图.按照他的方法： 先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再 合作还需x天完成任务，并列方程为×2+（日 将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形 石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到 +2)x=1.根据上面信息，下面结论不正确 达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石， 的是 船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位 C:甲、乙两队合作x天的工作量 置已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的 重量是x斤，则正确的是 B:b×2 ( A.乙队单独做需要8天完成 BD处代表的代数式为（日+7： C.A处代表的实际意义：甲先做2天的工 作量 孙权曾致巨象， D.甲先做2天，然后甲乙两队合作5天完成 太祖欲知其 斤重，访之群下，成莫能出 了整个工程 其理冲日：“置象大船之上， 而刻其水痕所至，称物以载 12.比赛积分问题(2023河北20题9分)某磁性 之，则校可知矣” 《三国志》 飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投 10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新 A.依题意3×120=x-120 投.计分规则如下： B.依题意20x+3×120=(20+1)x+120 C.该象的重量是5040斤 投中位置 A区 B区 脱靶 D.每块条形石的重量是260斤 ·次计分（分）》 3 -2 10.数学文化(2024河北模拟)我国古代《孙子算 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱 经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车， 靶4次. 二车空；二人共车，九人步，问人与车各几 (1)求珍珍第一局的得分： 何？”意思是说：“每三人共乘一辆车，最终剩 (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其 余2辆车：每2人共乘一辆车，最终有9人无 余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了 车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面说 13分，求k的值 法正确的是 嘉嘉：设共有车y辆，根据题意，得3(y+2)= 2y+9: AR 淇淇：设共有x人，根据题意，得+2=，9 B区 2 A.只有嘉嘉正确 B.只有淇淇正确 C.嘉嘉、淇淇都正确 D.嘉嘉、淇淇都不正确 24 众相原创赋能中考河北数学 13.生活情境(2024唐山迁安市二模)嘉嘉一家 (2)餐厅为了吸引顾客，推出优惠活动：“满 在某餐厅用餐，账单总额为145元，用餐过程 100元先减10元，并再享折扣”.嘉嘉结账时， 中，他们又额外点了一些菜品，使得账单增加 账单总额为135元，求优惠活动中打几折. 了33元.之后，他们发现有一道菜没有上，于 是从账单中减去了18元 (1)求此次用餐花了多少钱： 二阶了能力提升综合练 14.(2024石家庄外国语学校模拟)关于x的代数 超过50mg/km.已知该型号某汽车的A,B两 式ax+b,当x分别取值-1,0,1,2时，对应的 类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次 代数式的值如下表： 技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了 -1 0 2 50%,B类物质排放量降低了75%，A,B两类 ax+b 3 -3 物质排放量之和为40mg/km.判断这次技术 改进后该汽车的A类物质排放量是否符合 若ax+b=5,则x的值是 “标准”，并说明理由。 A.-2 B.3 C.-4 D.5 15.新定义(2024唐山遵化市二模)已知关于x 的方程5x-2=3.x+16的解与方程4a+1= 4(x+a)-5a的解相同，则a= 若[m]表示不大于m的最大整数，那么[号 1]= 16.(2024北京)为防治污染，保护和改善生态环 境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车 国六排放标准6h阶段（以下简称“标准”）.对 某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不 超过35mg/km,A,B两类物质排放量之和不 三阶了河北中考趋势练 17.逆向思维(2024泰安)我国古代《四元玉鉴》 A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 …,…,试问买甜果苦果各几个？ D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题 18.新定义、分类讨论(2024广州)定义新运算： x+y=1000 a2-b(a≤0)， a⑧b= 意的二元一次方程组 根据已 例如：-2⑧4= 11 7y=99g -a+b(a>0) 9x+ (-2)2-4=0,283=-2+3=1.若x⑧1= 有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应 为 ( -则：的值为 第二单元方程（组）与不等式（组）25A>B,即分式B的值较原来分式A的值是变小了.：计算题加练 (3)a的值为0,3,4,6或-2.【解法提示】4=1.解：(1)(-2)×4-8=-8-8=-16. 日号1+。是整数0也是整数。-21,2 (2)设嘉嘉把“8”错写成了x, 根据题意，得(-2)×4-x=-11,解得x=3, 或±4，a=3,1,4,0.6或-2.4=1不符合题意， ∴嘉嘉把“8”错写成了3. ∴所有符合条件的a的值为0,3,4,6或-2. (3)淇淇的结果为(-2)+4-8=2-8=-6. 小专题培优5代入求值中的整体思想 -6-(-16)=10. 1.02.13.364.B5.66.-20227.18.D ,∴，淇淇的计算结果比原题的正确结果大0. 9A10号12 1 2.解：(1)原式=-9-3-3=-15. (2)(-9)÷(-3)×2☐6=6☐6=12， 12.解：3a-26）+3驰_30-66+36=3n-3动 则口内的运算符号是+， a2-2ab+6 (a-6)2 (a-b)月 (3)根据题意，得m=(-2)×5-(-9)-(-3)-2 -3(a-b)-3 6=-6. (a-b3a-6 3.解：(1)A=a-36.B=3a-b, a-b-1=0,.a-b=1,.原式=3 13.6414.215.1 C=74+周=(a-36+3a-6)=2a-26 小专题培优6代数推理 (2)当a=2,b=-2时， 1.C C=(2a-2b)2=(4+4)2=64 2解：验证，10的一半为5,5可以表示为2+1， A·B=(a-3b)(3a-b)=(2+6)×(6+2)=64, 9=2 ∴C2=A·B (3)不恒成立.理由如下： 探究由题意，得(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+ C2-A·B=(2a-2b)2-(a-3b)(3a-b) n2+m2-2mn+2=2(m2+n2). =(a+b)2≥0. m,n为正整数∴2(m2+n2)为偶数。 .C≥A·B. .该偶数的一半为m+n2,是两个正整数m,n的平方 ∴(2)中C与A·B的大小关系不恒成立 和，，“发现”中的结论正确 4.解：(1)由图1可知，1m=2+3(n-1)=3n-1, 3.解：【探究】29×11=x2-y2=(x+y)(x-y), 由图2可知，tz=m(n+1), ÷[+y=29解得=20. 当n=6时，lp+tz=3n-1+n(n+1)=n2+4n-1= lx-y=11, y=9. 62+4×6-1=59. .29×11=202-92=(20+9)×(20-9). (2)m<2,理由如下： 【发现】≤ n>1,.tp-tz=3n-1-n(n+1)=-n2+2n-1= 【拓展】若a+b=m,a,b是正整数，则b≤（公）只 -(m-1)2<0,.1甲<t2 第二单元方程（组）与不等式（组） 理由：a+b=m心设a=受+，b= 2, 第一节一次方程（组）及其应用 1.C2.A3.B4.-2-245.x=5.6.12x-20 b=(受+)（受-）=（受2-b≤（受只 7.D 4.解：(1)①999②2259③5409 8解：/+2y=3,① (2)举例：363,888. 1x-2y=L.② 363-(3+6+3)=351=9×39: 方法一：①+②，得2x=4,解得x=2. 888=(8+8+8)=864=9×96. ①-@.得4=2.解得y=分 (3)三位数abn=100a+106+a, 则100a+10b+a-(a+b+a)=99a+9b=9(11a+b). rx=2, ,方程组的解为 1 9(11a+b)能被9整除， y=2 .100a+10b+a-(a+b+a)能被9整除。 方法二：由②，得x=2y+1.③ ,小红的猜想是正确的. 单元整体构建 将③代入①，得2y+1+2=3,解得y=2 易错题专练 1.3【变式】1或92.43.C 将y=代入③，得x=2。 4.解：(x+2)2-(x3+3x)÷x=4x+1. rx=2, 当x=-2时，原式=4×(-2)+1=-8+1=-7 ,方程组的解为 1 52n品1-12 2(x-1) y=2 9.B10.B11D 、 12.解：(1)由题意，得4×3+2×1+4×(-2)=6（分）. 3 答：珍珍第一局的得分为6分。 河北数学3 (2)由题意，得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+ .n的值为6 13,解得k=6. 13.D14.4(答案不唯一)15.x(x-12)=864 13.解：(1)根据题意，得145+33-18=160（元）. 16.B17.D 答：此次用餐花了160元钱， 第四节一元一次不等式（组）及其应用 (2)设优惠活动中打x折 1.B【变式】B2.C3.A4.A5.C 根据题意，得(160-10)×。=135， 6不等式组的解集为}<≤3， 解得x=9. 六整数解为1,2,3，∴.所有整数解的和为6 答：优惠活动中打九折 14.A15.72 7解：(1)当m=2时，P=3x(兮-2)=-5 16.解：符合“标准”.理由如下： 设该汽车的A类物质排放量原为xgkm, (2:P≤73（号-m）≤7，解得m≥-2. 则该汽车的B类物质排放量原为(92-x)mg/km ,m的负整数值为-2和-1 根据题意，得(1-50%)x+(1-75%)(92-x)=40 解得x=68. 8.解：(1)一9》2=2=一2. ·,这次技术改进后该汽车的A类物质排放量为(1 50%)x=34. (2)依题意得 [(-9)+5+m]<m, 3 “标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km, Lm<0. “这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标 解得-2<m<0.,m为负整数，.m=-1 淮”。 9.A10.C 7D18-或好 11.解：(1)101-x=2x.解得x=10 第二节分式方程及其应用 由题意可知x为整数，而9不是整数。 1.D2.原方程的解为x=3.3.B4.A5.C6.D 7.A8.C9.-1x=2 .淇淇的说法不正确。 (2)由题意得，B品牌乒乓球有(101-x)个， 10解：()根据题意，得45=子-4+5= 4 则101-≥+28解得≤号 (2)根据题意，得产2-+(：+2)=5，解得x=1, x为整数..x最大为36，即A品牌球最多有36个 12.A13.B14.4 经检验，x=1是原方程的解，“x的值为1. 小专题培优7方程（组）与不等式结合的实际应用 11.A L.解：(1)设生物学和地理寒假作业的单价分别是x元，y 12.解：(1)（答案不唯一） 问题1：甲、乙两校的人数分别是多少？ 元根据题意，得0r士0=)0解得：=0 130x+20y=2200. ly=35. 设乙校的人数为x人 答：生物学和地理寒假作业的单价分别是50元，35元. 根据脂意，得。100 -18000+2. (2)设购买生物学寒假作业m本， 根据题意，得50m+35(600-m)≤26000. 解得x=1000. 经检验，x=1000是原分式方程的解，且符合题意， 解得m≤33子m是整数m最大是333 .∴.(1-10%)x=900 答：至多能购买生物学寒假作业333本， 答：甲校有900人，乙校有1000人 2.(1)2194 问题2：甲、乙两校的人均图书册数分别是多少？ (2)解：①设放入x个小球 设乙校的人均图书册数为x册。 根据题意，得6×5+4x≤54，解得x≤6. 根据题意，得18000-18000x(1-10%). 答：最多放人6个小球，水面高度会不超出原高度54毫米 x+2 解得x=18 ②设放入m个小球 根据题意，得210+6×5+4m≤285 经检验，x=18是原分式方程的解，且符合题意， 解得m≤11.25. ∴，x+2=20. m为整数，÷.m最大为11 答：甲、乙两校的人均图书册数分别是20册、18册. 答：限定水面高度不超过285毫米，最多能放入11个 (2)方程思想 小球. 第三节 一元二次方程及其应用 3.解：(1)设乙商品的进价为x元件，则甲商品的进价为 1.B2.D3.A4.D5.B6.A (1+50%)x元/件 7.有两个不相等的实数根8.C9.B10.611.C 12.解：根据题意，得1+n+m2=43, 根据题意.得0.30：0，解得=0。 整理，得n2+n-42=0, 经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意， 解得n1=-7(不符合题意，舍去)，2=6. ..(1+50%)x=(1+50%)×40=60. 4 众相原创赋能中考