第1单元 小专题培优2～4 实数的简便运算 秉法公式的几何章义 非负数的性质在数式计算中的应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

小专题培优2 实数的简便运算(2018.4,2016.20) 技巧点拨 实数的简便运算经常用到的运算律和公式： (1)加法交换律：a+b=b+a (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c): (3)乘法交换律：a×b=b×a; (4)乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c): (5)乘法分配律：(a+b)×e=a×c+b×c或(a-b)×c=a×c-b×c: 乘法分配律的逆运用：a×c+b×c=(a+b)×c或a×c-b×c=(a-b)×c; (6)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b: (7)平方差公式的逆运用：a2-b2=(a+b)(a-b) 1.(2018河北4题3分)将9.52变形正确的是 3.简便运算： A.9.52=92+0.52 )-10号-(-38-(-8g+(-2: 6 B.9.52=(10+0.5)(10-0.5) 236x2-名+： C.9.52=102-2×10×0.5+0.5 D.9.52=92+9×0.5+0.5 (3)(-0.125)24×8225: (4)20242-2023×2025 【变式1】计算：952+10×95+52= 【变式2】计算：9.52-1.52= 2.(2016河北20题9分】 利用运算律有时能送行简便计算 例198×12=(100-2)×12 =1200-24=1176: 例2-16×233+17×233 =(-16+17)×233=233 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便 计算： (1)999×(-15): (2)99×18号+909x(-5)-99×183 第一单元数与式13 小专题培优3 乘法公式的几何意义(2023.21,2021.17) 技5点拨 常见验证平方差公式的几何图形（如图1,2,3）： 图1 图2 图3 常见验证完全平方公式的几何图形（如图4,5）： 图4 图5 1.观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与 公式之间的对应关系表达相符的有 a (a+b+e)d=ad+bd +ed (a+b)(c+d)=ac+ad+be +bd (a+b)2=a2 +2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b A.一组 B.两组 C.三组 D.四组 2.(2024保定一模)现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各15张，小明要用这些纸片 中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为(5x+4y)和(3.x+y)的长方形.下列判断正确 的是 A.甲种纸片剩余7张 B.丙种纸片剩余10张 乙 C.乙种纸片缺少2张 D.甲种和乙种纸片都不够用 3.(2021河北17题4分)现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）. 甲 (1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为 (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙 纸片 块 14众相原创赋能中考河北数学 4.(2023河北21题9分)现有甲，乙、丙三种矩形5.(2024邯郸模拟)如图，有三种卡片，其中边长 卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1). 为a的正方形卡片有4张，边长分别为a,b的 矩形卡片有12张，边长为b的正方形卡片有 9张 (1)取甲、乙卡片各一张，其面积和为 图1 (2)用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正 某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重 方形的边长；（用含a,b的代数式表示）》 叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为 (3)取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片 S1,S: 都要用到且不重叠)，使其面积为a2+ab+ 8b2,则n可能的整数值有 个 甲 乙 丙丙 图2 乙 乙 乙 乙 乙 丙 图3 (1)请用含a的式子分别表示S,S2;当a=2 时，求S,+S2的值： (2)比较S,与S2的大小，并说明理由。 第一单元数与式15 小专题培优4 非负数的性质在数式计算中的应用(2020.21(2) 技巧点拨 (1)常见的三种非负数：lal,a2,√a(a≥0) (2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.如：若a2+1b1+√c=0,则a=0,b=0,c=0 (3)≥0的应用：判断一个代数式的符号或求一个代数式的最值，一般先通过配方把代数式转化为A+ B+a的形式，再求解 1.已知(4-a)2与√b+1互为相反数，则a-b的5.阅读材料：我们知道x2≥0，(a±b)2≥0这一性 平方根是 ( 质在数学中有着广泛的应用，比如求多项式 A.5 B.√3 C.±5D.±3 3x2+6x-2的最小值时，我们可以这样处理： 2.若M=2x2-12x+15,N=x2-8x+11.则M与 3x2+6x-2 N的大小关系为 () =3(x2+2x)-2 A.M≥NB.M>NC.M≤ND.M<N =3(x2+2x+12-12)-2 3.若实数m,n满足1m-n-51+√2m+n-4=0, =3[(x+1)2-12]-2 则3m+n= =3(x+1)2-5 4.(2020河北21题8分)有一电脑程序：每按一 次按键，屏幕的A区就会自动加上a2,同时B 因为(x+1)2≥0，所以3(x+1)2-5≥-5， 区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果， 当x=-1时，3x2+6x-2取得最小值-5. 已知A,B两区初始显示的分别是25和-16， (1)求多项式2x2-8x+3的最小值，并写出对 如图. 应的x的取值： (2)求多项式x2-2x+y2-4y+7的最小值， A区 B区 25 -16 如，第一次按键后，A,B两区分别显示： A区 B区 25+a -16-3a (1)从初始状态按2次键后，分别求A,B两区 显示的结果； (2)从初始状态按4次键后，计算A,B两区代 数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明 理由. 16众相原创赋能中考河北数学(2)根据题意，得(2a+b)(2a-b)+a2=5a2-, 小专题培优3乘法公式的几何意义 当a=4,b=2时，原式=5×43-22=76（株）. 1.D2.C3.(1)a2+(2)4 9.C10.D11.D12.C13.C14.D 4.解：(1)由题图可知S,=a2+30+2,S2=50+1. 15.A【变式】3w 当a=2时，S1+S=4+6+2+10+1=23. 16.解：(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2) (2)S>5 =3x2+6x+8-6x-5x-2=-2x+6. 理由：S,-S2=m2+3n+2-5a-1=a2-2a+1=(a (2)设“☐"是a, -1)2,而a>1.(a-1)2>0,.S>S. 则原式=(a2+6x+8)-(6x+5x2+2) 5.(1)a2+ab =(a-5)x2+6 (2)解：.这25张卡片拼成的正方形的面积为4a2+ :标准答案的结果是常数， .a-5=0,解得a=5. 12ab+9%,这个正方形的边长为4a+12ab+96 17.D18.C19.B20.B =√/(2a+3b)=2a+3h. 21.(1)82-6=2×14 (3)2【解法提示】小~拼成一个矩形面积为a+ab+ (2)(2m)2-(2m-2)2=2(4n-2) 8b,a2+ab+8能分解成两个因式的积.8=1× (3)解：设中间的偶数为2m, 8或8=2×4，a2+nab+8b2=(a+b)(a+8b)或a2+ 则(2m+2)2-(2m-2)2=4m·4=16m. nab+862=(a+2b)(a+4b),n=9或n=6,n可能 ∴，任意三个连续的偶数中，最大的数与最小的数的平 的整数值有2个. 方差是16的倍数 小专题培优4非负数的性质在数式计算中的应用 22.A23.A24.D25.A26. -2 1.C2.A3.7 4.解：(1)按2次键后，A区显示的结果为(25+a2)+ 27.(1)a(a-2)(2)628.(1)4(2)(m+2a)1 a2=25+2a2 29.解：原式=4a2-62-(b2-4ab+4a2)=4ab-2b B区显示的结果为(-16-3a)-3a=-16-6a. a2+2-4a-6b+13=0, (2)按4次键后，A区显示的结果为25+4a2,B区显示 (a-2)2+(b-3)2=0..a=2,b=3, 的结果为-16-12a,,A,B两区代数式的和为25+ .原式=4×2×3-2×32=6. 4a2+(-16-12a）=4a2-12a+9. 30.解：(1)由题意，得M=2x2-5x+1-(x2-3x-2) :4a2-12a+9=(2a-3)2≥0， =x2-2x+3. A,B两区代数式的和不能为负数 (2)正确.说明如下： 5.解：(1)2x2-8x+3=2(x-2)2-5. N=(x-1)(x+1)-2(x+1)+5=x2-2x+2, (x-2)2≥0,2(x-2)2-5≥-5， .M-N=x2-2x+3-(x2-2x+2)=1>0, 当x=2时，2x2-8x+3取得最小值-5. ∴，M>N. (2)x2-2x+y2-4y+7 31.解：尝试A=(n2-1)2+(2n)2 =(x2-2x+1)+(y2-4y+4)+2 =2-2n2+1+4n =(x-1)2+(y-2)2+2. =m+2n2+1. (x-1)2≥0，(y-2)2≥0， 发现A=B,B=n+2n2+1=(n2+1)2. (x-1)2+(y-2)2+2≥2. ∴B=±(n2+1).B>0,B=n2+1. .当x=1,y=2时，x2-2x+y2-4y+7取得最小值2. 联想1737 第五节分式 32.解：(1)设 ”代表的代数式为m, 即B=2k+m, 1D2.B3.A4.B5.B6.B7.2 则A·B=(k-1)(2k+m)=2k+(m-2)k-m 8.A9.C10.D11.D12.A13.C A·B=C=2k2+k-3, 14()相同(2)-45.-士 2k2+(m-2)k-m=2h2+k-3,.m=3. 即程序自动补全的整式B=2k+3. 16.(1)① (2)B2-2C=(2k+3)2-2(2k2+k-3) (2)解：m+1-m-(m+)(m-1)。m2 =42+12k+9-(4+2h-6) m-1= m-1 m-1 =10k+15=5(2k+3), -m2-1-m。-1.1 m-1 m-1=1-m 若k为任意整数，则(2+3)为整数， .整式B-2C的值总能被5整除， n:04兰-号 ∴.这个正整数的值是5. (2)变小了.理由如下： 小专题培优2实数的简便运算 1.C【变式1】10000【变式2】88 由题意知，B=4+5 041 2.(1)-14985.(2)99900. A-B=a+2a+5 12 3.(1)-子(2)25.(3)8.(4)1 a-2a+1(a-2)(a+1) a>2,.A-B>0. 2众相原创赋能中考