第4单元 第6节 锐角三角函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第六节 锐角三角函数及其应用 一阶 教材知识全梳理 考点 1锐角三角函数的概念(重点) sinA--A的对边- 如图,在Rt△ABC中, 正弦 【特别提醒】锐角三角函数 斜边 , $ C=90*, A. B.$ 是两边的比,没有单位,解 之C的对边分别为a. 题时要注意各边单位的 cosA-<A的邻边 b.c 统一. 余弦 斜边 【知识拓展】三角函数之间 的关系:sinA=cos(90*-A); _” tanA--A的对边 -② tanA-sinA 正切 -sos.sinA+cos71-1 F 乙A的邻边 [考点 2 特殊角的三角函数值 锐角a 30。 45{ 60{。 锐角三角函数 -C sina ④ dC ③ coso ## tana ⑧ ① 考点 3解直角三角形 三边关系 (勾股定理) 两锐角关系 如图,在Rt△ABC中, C=90*,乙A, B. A+ B= 之C的对边分别为a,b,( 边角关系 cosA=sinB= tanA= R tanB= 【技巧点拨】利用这些关系,知道其中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个未 知元素,即“知二推三”. 河北数学 71 (考点4解直角三角形的实际应用 (重点) 类型 概念 一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起 始方向,旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角),通常 表达成北(南)偏东(西)几度.如图: 方向角 #0R# 点A位于点0的 →东 方向; 点B位于点0的 方向; 点C位于点0的 方向,也称为西北方向 _祝线 角水平线 如图,在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线 仰角、俯角 的角叫做仰角,视线在水平线②0 的 *祝线 角叫做俯角 如图,坡面的铅直高度h与水平宽度/的② 坡面 叫做坡 坡度(坡比)、 度(坡比),用字母i表示;坡面与水平面的夹角a叫做 坡角 2 水平宽度 ,i=tana=2 【链接】小专题培优解直角三角形实际应用题的常见模型,见分层进阶练习册P97. 二阶追本潮源练考点 教材·真题·课标 考点1锐角三角函数的概念(2024. 考点3 解直角三角形(10年8考;2023.19) 22.2023.26涉及) 3. 教材(人教九下P63例1改编)如图,在 1. 教材(冀教九上P123T1改编)如图,在平 Rt△ABC中,/ACB=90*,BC-② 面直角坐标系中,点A(4,3),线段0A与x 轴正半轴的夹角为a,则 (1)已知两边若AC=v6,则: sing=__ ①乙B=__,_A= cosO= ②AB= 0 tano= ③sinA=___,tanB=___; 考点2特殊角的三角函数值(2024.22 一题多点 (1)) (2)已知一边一角若/B=45*},则: 2. 教材(冀教九上P108练习T1改编)已知 ①/A=_,AC- ,AB= 锐角△ABC中的乙A与乙B满足(1- ②SAnc=__. 2 (3)过点C作CD1AB于点D.下列关于线 (1)/A= 段CD的表示:①BC·sinB;②AC·sinA; ,乙B= (2)(1+sinA)*-2cosB-(3+tanC)*= AB sin_BCD,不正确的是.(填序号) 72 众相原创 赋能中考 考点4 解直角三角形的实际应用(10 C. 北偏西20方向 年9考;2024.22,2023.2,2022.24) D. 北偏东70方向 4.真题(2023河北2题3分)其其一家要到 革命圣地西柏坡参观,如图,西柏坡位干湛 淇家南偏西70{的方向,则淇淇家位于西柏 坡的 ( _~ A. 南偏西70*方向 B. 南偏东20{方向 三阶分层设问攻重难 基础·能力·培优 C重难点 解直角三角形的实际应用 (4)若该隧道限速80km/h.判断小汽车从 5.交通安全心系千万家,高速公路管理局在 点A行驶到点B是否超速?通过计算说明 某隧道内安装了测速仪,如图是该段隧道 理由, 的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路 面的距离CD=EF=7m,测速仪C和E之 间的距离CE=750m.一辆小汽车在水平 的公路上由西向东匀速行驶,在测速仪C 处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为 25^{*°.在测速仪E处测得小汽车在B点的俯 培优层》》 角为60{},小汽车在隧道中从点A行驶到点 B所用的时间为38s(图中所有点都在同 当小汽车在A处时,有一大货车刚好在M 一平面内).(参考数据:3~1.7,sin25*~ 处,测速仪C的正下方1m处有一测速仪 V.测速仪N测得V点的俯角为45* 0.4.cos25*~0.9.tan25*~0.5.sin65*~0.9 (5)求小汽车与大货车之间的距离; cos65*~0.4,tan65~2.1) #60# _”_ A 1 贱道入口 基础层》》 (1)乙CAD= ,_EBF= (6)在高速上,当车速高于60km/h.且低 (2)四边形CEFD是形,DF=m. 于100km/h时,最小安全距离不得少于 能力层》》 50m.问:小汽车与大货车在安全距离以内 (3)求A.B两点之间的距离(结果精确到 吗?如果不在,请给出小汽车的行驶建议 1m); 温馨提示 请完成分层进阶练习册P94~P96习题 河北数学。 73AB =AC. 第五单元 四边形 在△ABM和△ACD中 ∠BAM=∠CAD, LAM=AD. 第一节多边形（含正多边形与圆） ∴△ABM≌△ACD(SAS),∴∠ABM=∠C. ①(n-2)·180° ②360° ③(n-3)④"(m-3】 2 AB=AC,,∠ABC=∠C,∠ABM=∠ABC .MN∥BC,..∠MNB=∠ABC..∠MNB=∠ABM. ⑤(m-1）或n或(m+1）6n-2)·180°⑦360 ∴.△BMN是等腰三角形. ②解：P长的最小值为子 【解法提示】：△ABC为 ⑧n⑨偶国奇（受）22RB分m 5108°672°10361B7219720°②④60°①30 等边三角形，.∠C=∠BAC=60°.由(3)①知，△ABM≌ △ACD,△BMN是等腰三角形，·.∠MBA=∠C=60°， 260812553号 ⑦1080°④135 ∠MAB=∠DAC,.△BMN是等边三角形，.MN=BN, ∠BMN=60°.D为BC边的中点，∴.AD平分∠BAC, 四等膜直角国5③号 ®1图1+2 ·.∠BAD=∠DAC=30°，∴.∠MAB=∠DAC=30. 1.(1)900°360°14(2)53：2(3)6 :∠MBA=60°，∠AMB=90°，∴.∠AMN=∠AMB-2.D ∠BMN=30°，MN=AN=BN,N是AB的中点，3.(1)9(2)140° 40°(3)是不是(4)6 N=2AB=5.:P是AW上的动点心当P⊥AW 4.(1)60°30°(2)号 (3)63 2 时，P的长取得最小值在R△APN中，P=2AN= (4)53+5 2 4 多P长的最小值为号 5.0哈 22 第六节锐角三角函数及其应用 (3)解：如解图，连接OG,OH,过点G作GR⊥OB于 点R. 设AB=1,则由(2)可知，Sa0m= ⑨105ma2+b62=2290° ®片B号 5 6北偏东30°⑦南偏东60°⑧北偏西45°⑧上方 ⑧下方①比②坡角31 Som0 CR= 43 2.(1)45° 0(2)号 1-0c·oc=g(0c- 2 3(1)060°30②22③7后 0c)…4(oc-06- (2)①45°22②1(3)⑤ 解得0G=} 2 5或0G= (舍去) 26 4.D 5.解：(1)25°60°(2)矩750 0m1-0c=-0=0G=}+得 4+12 CD 7 (3)在R△ACD中，AD= an25e0.5=14(m）, ∴R=0R-0m=士+9.cR=50R=+ 在△BEF中，B成= EF 7 s4.1(m). mmm号0-号 .AB AD DF BF=760(m), 第二节平行四边形 .A,B两点之间的距离约为760m (4)小汽车从点A行驶到点B没有超速， ①平行且相等②相等③互补④平分⑤中心 ⑥对角线的交点⑦中位线⑧FCB⑨FBCQ0平行 理由如下： ①相等2平行且相等B相等互相平分 小汽车的速度为760÷38=20(m/s)=72(km/h). 72<80,小汽车从点A行驶到点B没有超速 1.(1)10(2)60°120(3)①132②33 (5)由题意，得DN=CD-1=6(m),∠NMD=45°， ③w77 (4)1(5)2 ,△DMN是等腰直角三角形，.DM=DN=6m, .AM =AD+DM=20(m), 2.①②85 ∴.小汽车与大货车之间的距离约为20m. 3.(1)3 (2)解：方案甲：连接AC,如解图。 (6)由(4)知，小汽车的速度为72kmh. :四边形ABCD是平行四边 .*60<72<100.20m<50m, “小汽车与大货车不在安全距离以内，建议小汽车减 形，O为BD的中点， OB=0D,点0在AC上，且 速慢行 52众相原创赋能中考