第4单元 第3节 全等三角形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第三节 全等三角形 阶厂教材知识全梳理 考点 全等三角形的性质与判定（重点） 定义 能够① 的两个三角形叫做全等三角形 (1)全等三角形的对应边② ,对应角③ 性质 (2)全等三角形的周长④ ,面积⑤ ； (3)全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都⑥ 方法 图示 几何表述 AB DE, 边边边 ⑦ 分别相等的两个 BC=EF, (SSS) 三角形全等 LAC DF, ∴.△ABC≌△DEF AB DE, 边角边 两边和它们的⑧ 分 ∠B=∠E, (SAS) 别相等的两个三角形全等 BC EF, ∴.△ABC≌△DEF r∠A=∠D, 判定 角边角 两角和它们的⑨ 分 AB DE, (ASA) 别相等的两个三角形全等 l∠B=∠E, ·△ABC≌△DEF r∠A=∠D, 两角分别相等且其中一组等 角角边 ∠C=∠F, 角的0 相等的两个 (AAS) LAB=DE, 三角形全等 ·.△ABC≌△DEF [AB DE, 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等 LAC=DF, (HL) 的两个直角三角形全等 ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF 【技巧点拨】全等三角形的判定思路： 已知两边 (1)找夹角→SAS:(2)找第三边→SSS;(3)找直角→HL或SAS 边为角的对边：找任意一角→AAS 已知一边 边为角的邻边： 和一角 (1)找角的另一边SAS;(2)找边的另一角→ASA:(3)找边的对角→AAS 已知两角 (1)找夹边→ASA:(2)找其中一角的对边→AAS 河北数学 59 【特别提醒】(1)“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等：(2)“L”只适用于直角三角形：(3)证 明三角形全等时，对应顶，点的字母必须写在对应的位置上 ⊙（链接】(1）小专题培优六种常见全等模型，见分层进阶练习册P77:(2)已知两边及其夹角， 利用尺规作三角形，见本册99 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 的考点1全等三角形的性质与判定(10 甲：如图1，先在平地取一个可 年17考：2024.10、19(1)，2023.13、19、26 直接到达A,B的点C,再连接 2022.18(1)、26(1)) AC,BC,并分别延长AC至D. 1.教材（人教八上P44T11改编）如图，点 图1 BC至E,使DC=AC,EC=BC, B,F,C,E在同一条直线上，BC=EF,∠B 最后测出DE的长即为A,B的距离 =∠E,请你添加符合下列要求的条件，使 乙：如图2，过点B作 得△ABC≌△DEF. 一题多点 BD⊥AB,再由点D观测， (1)若要以“SAS”为依据， 在AB的延长线上取一点 需添加条件 C,使∠BDC=∠BDA,这 (2)若要以“ASA”为依据， 时只要测出BC的长即 图2 需添加条件 为A,B的距离. (3)若要以“AAS”为依据，需添加条 (1)甲、乙两位同学所设计的方案，可行的 件 是 (4)当∠B=∠E=90°时，若要以“HL”为 (2)请你选择一个可行的方案，说说它可 依据，需添加条件 行的理由， (5)若AC∥DF,求证：AC=DF 幻考点2全等三角形的实际应用 2.教材（人教八上P38例2改编）某校七年 级学生到野外活动，为测量一池塘两端A, B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下 两种方案： 60众相原创赋能中考 三阶了分层设问攻重难 基础·能力·培优 ©重难点全等三角形的相关证明与 (4)如图2，若点G在AB上，且∠ECG= 计算 60°，连接EG.猜想DE,EG,BG之间的数量 3.如图1，在四边形ABCD中，AD=AB,CD= 关系，并加以证明： CB,∠DAB=60°，∠DCB=120°，连接AC E是AD上一点，F是AB延长线上一点，且 DE BF B 图1 图2 基础层》 (1)求证：△ACB≌△ACD: 培优层》 (5)若题中条件“∠DAB=60°，∠DCB= 120”改为“∠DAB=,∠DCB=180°- 能力层》 a”,其他条件保持不变.若点G在AB上， (2)求∠ACB的度数； 当∠ECG满足什么条件时，(4)中的结论 仍然成立？并加以证明。 (3)求证：CE=CF: 温馨提示 请完成分层进阶练习册P75~P76习题 河北数学61-2<0,由(2)知，3≤x<9 :1.(1)1<AC<5(2)120钝角(3)85锐角 当x=号时，取得最大值 2.(1)40°130°(2)①19②18③4 (3)①115°25°②2 答：当x为？时，菜园面积最大，最大面积是 第三节 全等三角形 3.解：(1)由题意，得W=(150-100-x)(300+10x)= ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等 ⑥相等⑦三边⑧夹角⑨夹边0对边 -10x2+200x+15000. (2)W=-10x2+200x+15000=-10(x-10)2+16 1.(I)AB=DE(2)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF) 000,∴.当x=10时，W取得最大值16000. (3)∠A=∠D(4)AC=DF 答：当每盒售价降低10元时，公司每天所获的利润最 (5)证明：AC∥DF,∴.∠ACB=∠DFE. 大，最大利润为16000元 ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中，{BC=EF, 【变式设问】由题意，得10%≤150-100-≤30%， 100 L∠ACB=∠DFE 解得20≤x≤40.由(2)知，W=-10(x-10)2+16000, .△ABC≌△DEF(ASA), .当x=20时，W取得最大值15000. .AC DF. 答：当每盒售价降低20元时，公司每天所获的利润最 2.(1)甲和乙 大，最大利润为15000元. (2)解：（答案不唯一，选择其中一个方案说明即可） AC =DC. 第四单元 三角形 选甲：在△ABC和△DEC中， ∠ACB=∠DCE, 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题） BC=EC. ①两②线段③线段的长度④BC⑤AC⑥BC .△ABC≌△DEC(SAS),∴.AB=DE, ⑦AC⑧AB⑨7055°m90°290°<a<1800 ∴DE的长即为A,B的距离. r∠ABD=∠CBD. B14424590°6相等1D180°B相等 选乙：在△ABD和△CBD中，BD=BD. 四相等③相等④角平分线巴) ∠BDA=∠BDC. PN 2外一 ,△ABD≌△CBD(ASA),∴.AB=CB 雪垂线段垂线段的长度⑦相等②中点四垂直 BC的长即为A,B的距离 30垂直平分线0⊥也=8=3∠2或∠4 AB=AD 否∠1或∠3180°团∠38∠4翅相等细∠5 3.(1)证明：在△ACB和△ACD中 CB CD. 4①∠62∠73∠80∠85∠50∠54⑦L8 LAC=AC. 级一0∥0相等①∠22相等3上3互补 .△ACB≌△ACD(SSS). 180°，闭距离⑦相等0∠1+∠2 (2)解：由(1)可知，△ACB≌△ACD 0360°-∠1-∠20∠2-∠1 ∠ACB=∠ACD. 1.(1)两点确定一条直线(2)两点之间，线段最短 2.(1)2或4(2)1.51或2 LDCB=120°LACB=LACD=7∠DCB=60 3.(1)85.46锐角(2)4.5494.54(3)42.73 (3)证明：∠DAB+∠DCB+∠D+∠ABC=360°， (4)2(5)①2③④ ∠DAB=60°，∠DCB=120°，∴∠D+∠ABC=180°. 4.垂线段最短 :∠ABC+∠CBF=180°，.∠D=∠CBF 5.(1)50°130°(2)同旁内角同位角内错角 DE BF. 6.证明：如解图.连接AC 在△CED和△CFB中， ∠D=∠CBF :BC边的垂直平分线MN经过点 CD CB. A...AB=AC. 六△CED≌△CFB(SAS),∴CE=CF 又·AB=AD..AC=AD (4)解：DE+BG=EG.证明如下： ∴.点A在线段CD的垂直平分线上 ∠DCB=120°，∠ECG=60°， 7.B8.②④X⑤9.②⑤10.A ,∠DCE+∠GCB=∠DCB-∠ECG=60 11.a=b=矛盾a≠b 由(3)可知，△CED≌△CFB. 第二节三角形及其基本性质 ∴∠DCE=∠BCF,CE=CF '.∠FCG=∠GCB+∠BCF=∠GCB+∠DCE=6O°， ①等边②直角③90°④90°⑤大于⑥小于 .∴.∠ECG=∠FCG ⑦a-b<c<a+b⑧180°⑨不相邻0和①大于 又CG=CG. e7hB=4=590°6内部@直角边 ∴.△CFG≌△CEG(SAS), ,∴FG=EG.即BF+BG=EG 8内部9外部⑧内部①号巴】 必一半 :DE=BF.∴，DE+BG=EG ②】5相等雪垂直平分线 必外接圆 (5)解：当∠ECG=90°-2a时，DE+BG=EG仍然成 三个顶点 立.证明如下： 8中点国 y∠0B=180-a,∠BcG=90-2a 50 众相原创赋能中考 ·.∠DCE+∠GCB=∠DCB-∠ECG=90°- 2 AB BC. 在△ABD和△BCE中， ∠ABD=∠BCE. 与(3)同理可得△CED≌△CFB BD =CE, .∠DCE=∠BCF,CE=CF, ∴.△ABD≌△BCE(SAS),.∠BAD=∠CBE. .∠FCG=∠GCB+∠BCF=∠GCB+∠DCE=90°- 又'∠BDA=∠FDB.∴.△ABD∽△BFD. 2a,∠FCG=LECG 1 品0 又CG=CG,∴，△CFG≌△CEG(SAS), BD=AD·FD=(AF+FD)·FD=8, ,∴.FG=EG,即BF+BG=EG 六BD=2 DE BF,..DE BG=EG. 过点D作DH⊥AB于点H,如解 第四节相似三角形（含位似） 图2 ①片②2k③3k④4k 52k+36+4h 2k ⑥9 ∠ABD=60°..∠BDH=30°， 治能⑧器品国呢⑩相等尼成比例 BM=2BD=2 ∴DM=BD-BF=6, B相似比相似比⑤相似比的平方⑥成比例 解图2 ∴AH=√AD-Dm=58, ⑦夹角⑧相等9相等团成比例①相似比 ②相似比的平方②相似比图（任，y)或(-x,-y) 六.AB=BH+AI=2+√58， 12④⑤02号【变式D 即△ABC的边长为2+58 第五节等腰三角形和直角三角形 3.2【变式】平行线分线段成比例 ①相等②相等③G④相互重合⑤轴⑥1 416号 (2)是两边成比例且夹角相等的两个三 ⑦相等⑧相等⑨60°国60①轴3B店 角形相似(3)2√15 5.26.(1,1)或(-1，-1)7.3.2 4360°52(180°-a）045°D2(180°-a）) 8()证明AE=E,E能 8180°-2a92a+b②02b+a2I90°290° 又：∠AEF=∠BEA,∴△AEF∽△BEM 因-半5雪-半⑧四1：52⑧+= (2)证明：AB=AD,∴.∠ABD=∠ADB. 由(1)可知，△AEF∽△BEA,∴∠EAF=∠EBA. 2☒90° 国互余G+8=e山82h :∠ABD=∠EBA+∠CBE,∠ADB=∠EAF+∠C, 相等5相等45°45°，45°，90°1：1：2 .∠CBE=∠C.∴BE=EC. 38909 045°①45°42两边 (3)解：过点A作AM⊥BD于点M,交BE于点G,连接 GD,如解图1， 1(1)①43②12243号 5 5 5 .AB=AD,AM⊥BD .BM=MD,即AM为BD的垂直平分线， (2)0或120（6)等边多5255 4 .GB=GD,∴.∠GBC =∠GDB. 2.2133 3.14 2 由(2)可知，∠CBE=∠C, 4.(1)①65°②65或50°或57.5 .∠GDB=∠C.GD∥EC. (2)解：AB=AC,AD为BC边上的中线， .△BGD∽△BEC, 解图 ·品院 ..ADLRC.BD-CD-C=5. AD=√AB-BD=12. BD:CD=4:3.EC=BC7 GD BD 4 :∠ADE=∠AED,∴.AE=AD=12 如解图，过点D作DF⊥AC于 点F BD:CD =4:3.BM MD, Souc=- AD.CD-TAC.DF. MDDc=230-号 号x12x5=x130r .GD∥EC,.△MGD∽△MAC 32 F=60 CD MD 7 2 AC-MC AC5 溜 ∴AC=9AB=AC-BC=9 (3)①证明：，∠DAM=∠BAC ∴∠DAM-∠BAD=∠BAC-∠BAD (4)解：，△ABC是等边三角形， 即∠BAM=∠CAD. .AB=BC.∠ABD=∠BCE. 河北数学 51