4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

无理数指数幂及其运算性质 高一人教版—数学—第四单元 新知探究 牛顿 一、知识梳理 2.分数指数幂 根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据　 0 没有意义 记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘 × 二、实践领悟 答案　9 [思考] 1.分数指数幂与根式有什么关系？ 提示　分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化. 题型一　根式与指数幂的互化 角度1　分数指数幂化根式 【例1－1】　用根式的形式表示下列各式(x>0). 三、典例分析 角度2　根式化分数指数幂 【例1－2】　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0. 规律与方法　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子. (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算进行解题. 规律与方法　指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 五、课时对点练 完成【目标检测题】（见资源包） 完成课本P109 复习巩固1、2、3、 4、5 课后作业 26 谢 谢 收 看! 一、教学重点: (一) 指数幂由有理数扩充到无理数的过程. (二) 实数指数幂的运算. 二、教学难点: (一) 无理数指数幂的意义的理解. (二).掌握实数指数幂的运算性质. 三、重要数学思想方法: (一)复习旧知识导出新知识： 实数指数幂的运算性质的记忆口诀是“乘相加，除相减，幂相乘”。这是整数指数幂的运算性质拓展而来的，即对于任意实数,均有相同的运算性质。 (二)设置“问题串”，培养同学们甄别的无理数指数幂化简的实质与特点. 引导同学们结合整数指数幂两方面探究，从而进一步突破难点。 四、数学核心素养： (一)知识与技能： 1.通过对实数指数幂ax含义的认识，提升数学抽象素养 2.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养. (二)过程与方法： 引入牛顿首次使用任意实数指数，导出学习指数幂的拓展过程，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力. 五、易错点： (一)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子. (二)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 六、重要的反思： （一）进行无理数指数幂的运算时，注意运算性质的正用、逆用。注意无理数指数幂也是一个实数。 （二） 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. （三）.根式化简的步骤 (1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. (3)对于化简结果的要求 一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序. 教学内容：1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程. 2.理解指数幂的运算性质. 3.能进行指数幂(实数幂)的运算． 教学目标：1.通过对实数指数幂ax含义的认识，提升数学抽象素养 2.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算的核心素养. 教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程. 2.实数指数幂的运算． 教学难点：无理数指数幂意义的理解． 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程。 2．掌握实数指数幂的运算性质。 能够结合教材实例了解指数幂的拓展过程，掌握实数指数幂及其运算性质在指数运算中的应用(数学运算)。 牛顿(Newton 1643～1727)是大家所熟悉的物理学家， 可是你知道他在数学史上的贡献吗？ 他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…所以可将eq \r(a)，eq \r(a2)，eq \r(a3)，…写成 ， ， ，…，将eq \f(1,a)，eq \f(1,aa)，eq \f(1,aaa)，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数作指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习. 【问题】　参照课本P108探究中5r(2) eq \s\up15() 的意义，你能再给出一个无理数指数幂吗？，如2r(3) eq \s\up1() ) ，说明它也是一个确定的实数吗？ 提示：(1)当eq \r(3)的不足近似值从小于eq \r(3)的方向逼近eq \r(3)时，2r(3) eq \s\up1() ) 的近似值从小于2r(3) eq \s\up1() ) 的方向逼近2r(3) eq \s\up1() ) 。 (2)当eq \r(3)的过剩近似值从大于eq \r(3)的方向逼近eq \r(3)时，2r(3) eq \s\up1() ) 的近似值从大于2r(3) eq \s\up1() ) 的方向逼近2r(3) eq \s\up1() ) ，故2r(3) eq \s\up1() ) 是一个确定的实数。 实数 1．无理数指数幂的概念 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的 。这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了 。 指数幂是一个确定的实数。 实数 实数 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是： a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是： (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂________________. 3．实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质。 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)。 1、判断正误.( ) 提示　 ，而 无意义，故错误. 2、.a－(a>0)化为根式的形式为________. 解析　a－＝＝. 4.化简27＝________. 3、.(m>n)表示为分数指数幂的形式为________. 2.分数指数幂a可以理解为个a相乘吗？ 提示　不可以.分数指数幂aeq \f(m,n)不可以理解为eq \f(m,n)个a相乘.事实上，它是根式的一种新写法. (1)x；(2)x－. 解　(1)xeq \s\up6(\f(2,5))＝eq \r(5,x2)；(2)x－eq \f(5,3)＝eq \f(1,\r(3,x5)). (1)；(2)；(3). 解　(1)＝a. (2)＝＝a－. (3)eq \r(（－a）6)＝eq \r(a6)＝aeq \s\up6(\f(6,2))＝a3. 题型二　利用分数指数幂的运算性质化简求值 【例2】　(1)＝________. 解　①原式＝ ②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝eq \f(5,2)－1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＝eq \f(27,16). 四、随堂演练 1．计算(2r(2) eq \s\up15() )f (\r(2),2) eq \s\up15(－) 的结果是(　　) A．eq \r(2)　　　 B．－eq \r(2) C．2　　　　D．eq \f (1,2) 解析　(2r(2) eq \s\up15() )f (\r(2),2) eq \s\up15(－) ＝2r(2) eq \s\up15(×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f (\r(2),2)))) ＝2－1＝eq \f (1,2)。 答案　D 2．计算(2a－3bf (2,3) eq \s\up15(－ ) )·(－3a－1b)÷(4a－4bf (5,3) eq \s\up15(－ ) )得(　　) A．－eq \f (3,2)b2　 B．eq \f (3,2)b2 C．－eq \f (3,2)bf (7,3) eq \s\up15( ) 　 D．eq \f (3,2)bf (7,3) eq \s\up15( ) 解析　原式＝－eq \f (3,2)a－3－1－(－4)·bf (2,3) eq \s\up15(－＋1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f (5,3)))) ＝－eq \f (3,2)a0b2＝－eq \f (3,2)b2。故选A。 答案　A 3．计算r(3)1(eq \f (2) ) ,2r(2) eq \s\up15() ) ＝________。 答案　2r(3)\s\up15(\s\up1( eq \s\up1 () ) －r(2) eq \s\up15() ) 课堂小结 1.根式化简的步骤 (1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. 2.对于化简结果的要求，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序. $$