第23章旋转（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

第23章 旋转（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.旋转 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角． 要点归纳：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． • C′ B′ C B A A′ O 知识点2.旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 (2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）； 要点归纳： １、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． ２、旋转前后图形的大小和形状没有改变． 知识点3.旋转作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点归纳：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　(4)连接所得到的各对应点． 知识点4.中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点归纳： １、中心对称是旋转角为180°的旋转对称； ２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心； ３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分． A C B C′ B′ A′ O 知识点5.中心对称的性质 1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分; 2.中心对称的两个图形是全等图形 要点归纳： (1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征 (2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据 (3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等 知识点6.确定对称中心的方法 方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心 方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心 知识点7.画已知图形关于某一点对称的图形 1.画图关键 先确定对称中心,再作出原图形上关键点关于对称中心的对称点 2.画图步骤 (1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长; (2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的对称点: (3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形 知识点8.中心对称图形（重点） 1.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定 2.必须同时满足下列三个条件: (1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合 3.中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点 (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等) 4.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 考点1：旋转的定义和性质 【例题1】．（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 ． 【变式3】（23-24九年级上·湖北荆州·期中）已知是等腰三角形，．阅读下列过程，回答第2、3两问． (1)特殊情形：如图1，E是上一点，当时，有 (2)发现探究：如图2，E是三角形内一点，当，且时，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展运用：如图3，E是三角形内一点，，且，，，则 度． 考点2：中心对称 【例题2】（22-23九年级上·湖南湘西·期末）关于论述：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等；④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为 ． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 考点3：中心对称图形 【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【变式1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，正方形与正方形关于某点中心对称，已知，，三点的坐标分别是，，． (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点，，，的坐标． 考点4：关于原点对称的点的坐标 【例题4】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）在直角坐标系中，将三角形各顶点的纵坐标都乘，所得三角形与原三角形（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．通过以原点为中心旋转得到 D．通过平移得到 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如果点和点关于原点对称，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点在第二象限，且与点关于原点对称，试求的值． 考点5：图案设计 【例题4】（23-24九年级上·山东临沂·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）有一块长方形土地，其中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜，若使两家得到的面积一样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法(假设土地都一样好)． 【变式3】（24-25九年级上·全国·假期作业）分别说出下列四个图形是由左边的基本图形经过怎样的变换形成的． 一、单选题 1．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2020·广西·中考真题）以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为 6．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则 ．    7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 三、解答题 8．（2023·四川广安·中考真题）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．     9．（2020·浙江宁波·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）    10．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 11．（2024·四川广安·中考真题）如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（    ） A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果将其中的甲图变成乙图，那么经过的变换正确的是（    ）    A．旋转、平移 B．轴对称、平移 C．旋转、轴对称 D．旋转 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）已知点和点关于原点对称，则 （    ） A．1 B． C．3 D． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中．，将绕点A顺时针方向旋转，得到．则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在小正方形网格中，将绕某一点旋转变换得到，则旋转中心为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图所示，在由边长相同的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点（小正方形的顶点）上．将绕点O按顺时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 °． 12．（22-23九年级上·广东湛江·期中）若点与点关于原点对称，则 ． 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）点O是矩形的对称中心，连接、，若，则的度数是 °． 14．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点B的坐标是，则 ． 15．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线解析式为 16．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至在处，使点B落在的延长线上的D点处，则 ． 17．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）矩形中，，，为边中点，线段绕点旋转过程中，当点对应点落在矩形对角线上时，则长为 ． 18．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为 ． 三、解答题 19．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．在同一直角坐标内完成以下作图． (1)将绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为，画出旋转后的图形； (2)与关于原点对称，点A的对应点为，画出． 20．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知是的中线． (1)尺规作图：作，使其与关于点中心对称； (2)若，，，判断四边形的形状？并求点到的距离？ 21．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知方格纸中有A、B、C三个格点，求作一个以A、  B、C为顶点的格点四边形． (1)在图1中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形． (2)在图2中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形． 22．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，写出点的坐标； (2)画出将绕原点按顺时针旋转所得的，并写出三个点的坐标． 23．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，B，， (1)请画出将向左平移5个单位长度后得到的图形 (2)请画出关于原点O成中心对称的图形 (3)在x轴上求一点P，使的周长最小 24．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． (1)直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角； (2)若正方形的边长是1，直接写出的长． 25．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在三角形中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到．若，． (1)求证：点，，在同一条直线上； (2)求的长． 26．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转． (1)当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； (2)如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． (3)在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 旋转（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.旋转 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角． 要点归纳：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． • C′ B′ C B A A′ O 知识点2.旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 (2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）； 要点归纳： １、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． ２、旋转前后图形的大小和形状没有改变． 知识点3.旋转作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点归纳：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　(4)连接所得到的各对应点． 知识点4.中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点归纳： １、中心对称是旋转角为180°的旋转对称； ２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心； ３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分． A C B C′ B′ A′ O 知识点5.中心对称的性质 1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分; 2.中心对称的两个图形是全等图形 要点归纳： (1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征 (2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据 (3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等 知识点6.确定对称中心的方法 方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心 方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心 知识点7.画已知图形关于某一点对称的图形 1.画图关键 先确定对称中心,再作出原图形上关键点关于对称中心的对称点 2.画图步骤 (1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长; (2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的对称点: (3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形 知识点8.中心对称图形（重点） 1.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定 2.必须同时满足下列三个条件: (1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合 3.中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点 (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等) 4.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 考点1：旋转的定义和性质 【例题1】．（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是：    故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，本题关键是熟练掌握旋转图形的性质．根据旋转的性质可得，可得是等边三角形．可得的长． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，转化思想，理解题意是解本题的关键．首先通过证明得到，再根据垂线段最短将最小值转化为点到的距离，最后利用面积法计算即可． 【详解】解：，， ， ∵是的外角， ∴， 由旋转可知：，， ， 在和中， ， ， ，则当时，最小，即最小， ，，，， 点到的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·湖北荆州·期中）已知是等腰三角形，．阅读下列过程，回答第2、3两问． (1)特殊情形：如图1，E是上一点，当时，有 (2)发现探究：如图2，E是三角形内一点，当，且时，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展运用：如图3，E是三角形内一点，，且，，，则 度． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3)150 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，进而利用等式的性质解答即可； （2）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； （3）由旋转构造出，进而得出，然后用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，在简单计算即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，， ， ， 即； （2）解：，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ， ； （3）解：将绕点旋转得，连接， ， ，，， 是等边三角形， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， ， ， 又， ； 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点． 考点2：中心对称 【例题2】（22-23九年级上·湖南湘西·期末）关于论述：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等；④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，中心对称图形的定义． 根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的两个图形全等，以及中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一分析判断即可求解． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故①说法正确； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故②说法正确； ③旋转前、后的两个图形是全等图形，故③说法正确； ④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，故④说法错误； 综上，正确的有①②③． 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称图形的性质，直接利用中心对称图形的性质得出四边形是平行四边形，进而即可得出答案，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，与关于点成中心对称， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)中点，E (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称． （1）利用中心对称的性质回答即可， （2）证得，利用等腰三角形的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段的中点，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，E； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． 考点3：中心对称图形 【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 【答案】线段、圆 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念作答． 【详解】解：线段、圆既是轴对称图形又是中心对称的图形； 等边三角形只是轴对称图形； 平行四边形只是中心对称的图形； 故答案为：线段、圆． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，正方形与正方形关于某点中心对称，已知，，三点的坐标分别是，，． (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点，，，的坐标． 【答案】(1) (2)，，，． 【分析】本题考查了坐标与图形，求对称中心． （1）求出点D和的中点即可； （2）根据，，求出正方形的边长，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴对称中心的坐标为，即； （2）解：∵，， ∴正方形与正方形边长为2， ∵，， ∴，，，． 考点4：关于原点对称的点的坐标 【例题4】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）在直角坐标系中，将三角形各顶点的纵坐标都乘，所得三角形与原三角形（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．通过以原点为中心旋转得到 D．通过平移得到 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据题意可知所得的三角形的三个顶点的横坐标与原三角形对应顶点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：在直角坐标系中，将三角形各顶点的纵坐标都乘，则所得的三角形的三个顶点的横坐标与原三角形对应顶点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，故所得三角形与原三角形关于x轴对称， 故选：A． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如果点和点关于原点对称，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于关于原点对称的点的坐标特征，求得的值是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标，纵坐标互为相反数，求得的值，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【变式2】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点在第二象限，且与点关于原点对称，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标关于原点对称的特征以及解二元一次方程，熟练掌握坐标关于原点对称的特征是解题的关键．根据题意得到，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得，． 解方程， 得． 当时，，点在第二象限，符合题意． 当时，，与点P在第二象限矛盾，不符合题意，舍去． ， ． 考点5：图案设计 【例题4】（23-24九年级上·山东临沂·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【答案】(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积（只要答案正确即可） (2)见解析 【分析】本题考查图形的设计，轴对称图形，图形的折叠，中心对称图形． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【详解】（1）解：特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积； （2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：是轴对称图形而不是中心对称图形， ， 如图所示：是中心对称图形而不是轴对称图形 ； （2）解：如图所示：既是轴对称图形又是中心对称图形， ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）有一块长方形土地，其中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜，若使两家得到的面积一样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法(假设土地都一样好)． 【答案】见解析 【分析】根据“要平分圆，则必须过圆心，要平分矩形，必须过矩形的对角线的交点”，取对角线的交点与圆心相连即可． 【详解】解：连接矩形的两条对角线，两线的交点为点P，连接并向两边延长，分别与矩形的两边交于点M、N，即为所求． 【点睛】本题考查作图与设计作图、圆的性质、矩形的性质，熟练掌握圆的性质和矩形的性质是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·全国·假期作业）分别说出下列四个图形是由左边的基本图形经过怎样的变换形成的． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平移、旋转、轴对称变换的定义平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形． （1）可以由基本图形进行平移，轴对称（或旋转）变换得到； （2）可以由基本图形进行平移，轴对称 （或旋转） 变换得到： （3）可以由基本图形进行旋转，轴对称变换得到； （4）可以由基本图形进行平移，对称（或旋转） 变换得到．根据平移、旋转、轴对称变换的定义，认真观察，紧扣图形特点解答． 【详解】解：（1）可以由基本图形进行平移，轴对称（或旋转） 变换得到； （2）可以由基本图形进行平移，轴对称 （或旋转） 变换得到： （3）可以由基本图形进行旋转，轴对称变换得到： （4）可以由基本图形进行平移，轴对称，或旋转变换得到； 一、单选题 1．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案． 【详解】 解：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意； 既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【详解】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，连接与相交于点，连接，由，可得，进而由折叠可得，，得到，即得，即可得为等腰直角三角形，即得，，又由旋转得，，，可得，，，即可得为等边三角形，得到，，进而得，，即得，可得，得到，即可得，由得四点共圆，即得，可得，由此可得，，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接与相交于点，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又由旋转得，，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 5．（2020·广西·中考真题）以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点N的坐标即可．作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点N的坐标为． 故答案为：． 6．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则 ．    【答案】2 【分析】过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是． 【详解】解：过点作于点F，则， ∵， ∴． 又， ∴. ∴． 设，矩形中，， ， ，，解得， ∴． 故答案为：2    【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解是解题的关键． 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 【详解】解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 三、解答题 8．（2023·四川广安·中考真题）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．     【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可． 【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形即为所求； ②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形即为所求； ③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形即为所求； ④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形即为所求．    【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转能够和原图形重合． 9．（2020·浙江宁波·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）． （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）． 【详解】解：（1）轴对称图形如图1所示． （2）中心对称图形如图2所示．    【点睛】本题考查利用中心对称设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质； （1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）证明：如图， ∵由作图可得：，由旋转可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 11．（2024·四川广安·中考真题）如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可. 【详解】解：如图， 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（    ） A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 【答案】A 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．熟练掌握旋转对称图形的概念是解题的关键． 根据旋转对称图形的概念判断即可． 【详解】选项A的图形绕中心旋转后与原图重合，是旋转对称图形，符合题意； 选项B的图形不是旋转对称图形，不符合题意； 选项C的图形不是旋转对称图形，不符合题意； 选项D的图形不是旋转对称图形，不符合题意； 故选A． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果将其中的甲图变成乙图，那么经过的变换正确的是（    ）    A．旋转、平移 B．轴对称、平移 C．旋转、轴对称 D．旋转 【答案】C 【分析】根据平移变换、轴对称变换、旋转变换进行分析即可． 【详解】将图甲顺时针先旋转一个小的角度，使得图形甲完全竖直，再进行翻折（轴对称变换）即可得到图形乙， 故选：C． 【点睛】本题考查平移、轴对称、旋转的概念，熟练掌握平移是沿着某条直线方向移动、轴对称是沿着某条直线翻折、旋转是绕着某点转动，三大变换均不改变图形的形状和大小是关键． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）已知点和点关于原点对称，则 （    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及代数式求值，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出m与n的值，然后代入式子计算即可． 【详解】解：点和点关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，以及旋转的性质，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键．根据题意作出图象，然后读出点的坐标，即可解题． 【详解】解：记点为，连接，将绕原点逆时针旋转得到，即点绕原点逆时针旋转得到的点为， 由图知其坐标为， 故选：B． 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得，，再利用等腰三角形的性质得，然后计算即可． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处， ∴，， ∵， ∴， ∴＝＝． 故选：C． 7．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中．，将绕点A顺时针方向旋转，得到．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．先根据旋转的性质，求得，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：B． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在小正方形网格中，将绕某一点旋转变换得到，则旋转中心为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转图形的性质，旋转中心在旋转前后对应顶点连线的垂直平分线上，由此即可求解． 【详解】解：连接，，利用格点作线段，的垂直平分线，如图， 交点N即为旋转中心， 故选C． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求旋转角，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据点C、A、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵点C、A、在同一条直线上， ∴ ∵， ∴． ∴旋转角等于． 故选：C． 10．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，所对直角边是斜边的一半，由中心对称的性质得，然后根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图所示，在由边长相同的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点（小正方形的顶点）上．将绕点O按顺时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转角的概念，根据旋转角的概念找到是旋转角，从图形中可求出其度数． 【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且， ∴旋转角的度数是． 故答案为：． 12．（22-23九年级上·广东湛江·期中）若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 解得：，． ． 故答案为：3． 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）点O是矩形的对称中心，连接、，若，则的度数是 °． 【答案】70 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵点O是矩形的对称中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为70． 14．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点B的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称问题及有理数的乘方运算，数轴关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由点关于原点对称的点B的坐标是，可知：， ∴； 故答案为． 15．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线解析式为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，先将化为顶点式，得出原抛物线的顶点坐标为，进而得出旋转后抛物线的顶点坐标为，旋转180度后，抛物线开口方向改变，即可得出旋转后抛物线的解析式为． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后抛物线的解析式为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至在处，使点B落在的延长线上的D点处，则 ． 【答案】/76度 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可知，，，根据等腰三角形的性质可得，所以． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∴． 故答案为： 17．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）矩形中，，，为边中点，线段绕点旋转过程中，当点对应点落在矩形对角线上时，则长为 ． 【答案】或6 【分析】当点对应点落在矩形对角线上时，证明是等边三角形得，过点D作，则，求出，然后根据即可求解；当点对应点落在矩形对角线上时，证明是等边三角形得，然后根据即可求解． 【详解】解：如图①，当点对应点落在矩形对角线上时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∵，为边中点， ∴， 过点D作， 则， ∴ ∴， ∴； 如图②，当点对应点落在矩形对角线上时， 同理是等边三角形， ∴， ∴． 综上可知，长为或6． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，分类讨论是解答本题的关键． 18．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、含度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键． 分两种情况：当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，是等边三角形， ，， 是等边三角形，， ， 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，； 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题 19．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．在同一直角坐标内完成以下作图． (1)将绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为，画出旋转后的图形； (2)与关于原点对称，点A的对应点为，画出． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）将点、分别绕点顺时针旋转得到对应点，再与点顺次连接即可，即可作答； （2）因为与关于原点对称，所以根据中心对称性质，分别画出点，然后顺次连接即可．本题考查作图——旋转变换以及中心对称性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示： 20．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知是的中线． (1)尺规作图：作，使其与关于点中心对称； (2)若，，，判断四边形的形状？并求点到的距离？ 【答案】(1)见详解 (2)平行四边形为菱形；点到的距离是 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定和性质，勾股定理和勾股定理逆定理，熟记平行四边形是中心对称图形是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质作出平行四边形即可； （2）根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长，以点D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E，则即为所求； （2）证明：由作图可知，， 又∵是的中线， ∴， ∴四边形为平行四边形． 过点A作交于点H， ∵四边形为平行四边形， ∴， 则， 故是直角三角形， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴， ∴， 即点到的距离是． 21．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知方格纸中有A、B、C三个格点，求作一个以A、  B、C为顶点的格点四边形． (1)在图1中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形． (2)在图2中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用旋转性质设计图案，利用轴对称设计图案，熟练掌握特殊四边形的轴对称和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出平行四边形即可； （2）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出等腰梯形即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）解：如图，四边形即为所求． 22．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，写出点的坐标； (2)画出将绕原点按顺时针旋转所得的，并写出三个点的坐标． 【答案】(1)画图见解析，点的坐标是； (2)画图见解析，，，． 【分析】此题考查了作图旋转变换和作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据网格结构找出点A、、关于轴的对称点，，的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （2）根据网格结构找出点、、绕点按照顺时针旋转后的对应点，，的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出三个点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴点的坐标是； （2）解：如图所示，即为所求， ∴，，． 23．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，B，， (1)请画出将向左平移5个单位长度后得到的图形 (2)请画出关于原点O成中心对称的图形 (3)在x轴上求一点P，使的周长最小 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点的位置，然后顺次连接即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于， 则， 此时的周长为最短， 设直线的解析式为， 把分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴P点坐标为． 【点睛】本题考查了利用平移变换作图、作关于原点O成中心对称的图形、轴对称最短路线问题，一次函数的解析式及一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是掌握平移和中心对称的性质． 24．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． (1)直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角； (2)若正方形的边长是1，直接写出的长． 【答案】(1)旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的知识作答即可； （2）根据，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为； （2）解：∵正方形的边长是1， ∴，， ∴， ∴的长为． 25．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在三角形中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到．若，． (1)求证：点，，在同一条直线上； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质以及角度之间的转化求得即可得证； （2）先证明出为等边三角形，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：如下图所示： 为等边三角形， ，， 绕着点按顺时针方向旋转后得到， ， ， ， ， ， 点，，在同一条直线上； （2）解：点，，在一条直线上，而绕着点按顺时针方向旋转后得到， ，， 为等边三角形， 点，，在一条直线上， ， 绕着点按顺时针方向旋转后得到 ， ， ． 26．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转． (1)当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； (2)如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． (3)在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； 【答案】(1)，，理由见解析 (2)或 (3)30 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）如图1中，证明，可得结论； （2）分两种情形：如图中，当，，共线时，连接交于．如图中，当，，共线时，连接交于，利用勾股定理求出，可得结论； （3）连接，，，，，交于点，连接，过作交于，则，由可得当，最大，最后根据求解即可． 【详解】（1）结论：，，理由如下： 如图1中，设交于点，交于点， 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ； （2）解：如图中，当，，共线时，连接交于． 四边形是正方形， ， ， ， ， 如图中，当，，共线时，连接交于． 同法可得，可得， 综上所述，满足条件的的长为或； （3）解：如图1中，连接，，，，，交于点，连接，过作交于，则， 四边形，四边形都是正方形， ，，，， ，， ， ，当，，三点共线时最大， 此时由，即，此时与重合，最大， ∵ ∴当时最大，最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$