对数及对数运算讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

对数及对数运算 知识梳理 指数式与对数式的互化 1.对数的概念： 一般地，如果，且，那么我们把叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 关系式 指数式 底数 指数 幂（值） 对数式 底数 对数 真数 2.常用对数与自然对数 对数（且），当底数 ⑴ 时，叫做常用对数，记做； ⑵ 时，叫做自然对数，记做（为无理数，）． 注意事项： ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； 对数恒等式、对数运算性质、对数的换底公式及其推论 1对数恒等式: （且） 2．对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 4．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 题型训练 题型1指数式与对数式的互化 【例1】（2018秋•广南县校级期中）把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 题型2对数的运算 【例1】（2023·全国·高一假期作业）若，则x的值为 ． 【例2】（2023·高一课时练习）计算： ； . 【例3】（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【例4】已知，，用，表示下列各式的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 【例5】．（2014秋•泗县校级期中）计算： （1）； （2）； （3）． 题型3换底公式的应用 【例1】（2015秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 【例2】（2022秋•丽水期末）若，则　　． 【例3】（2021秋•太原期中）已知，则　　． 【例4】（2021秋•合作市校级期末）已知，，则的值为　　 A．3 B．8 C．4 D． 【例5】（2021秋•宝应县期中）若，，则　　 A． B． C． D． 【例6】．（2021秋•徐汇区校级期中）设，，则　　 A． B． C． D． 课后强化训练 一．对数的运算性质（共13小题） 1．（2024秋•和平区校级月考）　　 A． B．2 C． D． 2．（2023秋•滨海新区校级期末）　　 A． B． C． D． 3．（2024春•和平区期末）若，则的值为　　 A．3 B．4 C． D． 4．（2024春•河东区期末）若，则的值是　　 A．3 B． C． D． 5．（2023秋•宁河区期末）计算的值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2023秋•天津期末）已知，，，，则　　 A．2 B．5 C．10 D．20 7．（2023秋•和平区校级期末）计算的值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2022秋•滨海新区校级月考）化简的值为　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•南开区校级月考）　　． 10．（2023秋•和平区校级期末）已知，，则　　． 11．（2023秋•南开区校级月考）计算　　． 12．（2023秋•天津期末）已知，，则用，表示　　． 13．（2023秋•河东区期末）（1）若，求的值； （2）计算：． 二．对数运算求值（共4小题） 14．（2023秋•滨海新区校级月考），，试用，表示　　 A． B． C． D． 15．（2024秋•和平区校级月考）已知，则的值为 　　． 16．（2023秋•河西区校级月考）若，则 　　． 17．（2024秋•南开区校级月考）计算的值为 　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对数及对数运算 知识梳理 指数式与对数式的互化 1.对数的概念： 一般地，如果，且，那么我们把叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 关系式 指数式 底数 指数 幂（值） 对数式 底数 对数 真数 2.常用对数与自然对数 对数（且），当底数 ⑴ 时，叫做常用对数，记做； ⑵ 时，叫做自然对数，记做（为无理数，）． 注意事项： ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； 对数恒等式、对数运算性质、对数的换底公式及其推论 1对数恒等式: （且） 2．对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 4．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 题型训练 题型1指数式与对数式的互化 【例1】（2018秋•广南县校级期中）把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 题型2对数的运算 【例1】（2023·全国·高一假期作业）若，则x的值为 ． 【答案】4 【详解】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 【例2】（2023·高一课时练习）计算： ； . 【答案】 8 【详解】 , 故答案为： 【例3】（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值. 【解答过程】原式 ， 故选：B. 【例4】已知，，用，表示下列各式的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：，， （1）； （2）； （3）； （4）． 【例5】．（2014秋•泗县校级期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【解答】（满分12分） （1） ． （2） ． （3） ． 题型3换底公式的应用 【例1】（2015秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）； （2）； （3） ． 【例2】．（2022秋•丽水期末）若，则　　． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【例3】．（2021秋•太原期中）已知，则　1　． 【解答】解：，，， ， 故答案为：1． 【例4】．（2021秋•合作市校级期末）已知，，则的值为　　 A．3 B．8 C．4 D． 【解答】解：，． ． 故选：． 【例5】（2021秋•宝应县期中）若，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， 由换底公式得：， 故选：． 【例6】．（2021秋•徐汇区校级期中）设，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，， ， 故选：． 课后强化训练答案 一．对数的运算性质（共13小题） 1．（2024秋•和平区校级月考）　　 A． B．2 C． D． 【解答】解：原式 ． 故选：． 2．（2023秋•滨海新区校级期末）　　 A． B． C． D． 【解答】解：原式． 故选：． 3．（2024春•和平区期末）若，则的值为　　 A．3 B．4 C． D． 【解答】解：，，则， ， 故选：． 4．（2024春•河东区期末）若，则的值是　　 A．3 B． C． D． 【解答】解：，， ． 故选：． 5．（2023秋•宁河区期末）计算的值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解： ． 故选：． 6．（2023秋•天津期末）已知，，，，则　　 A．2 B．5 C．10 D．20 【解答】解：，， 即， 由基本不等式可知，又因为， 所以， 即满足基本不等式取等条件， 即， 所以． 故选：． 7．（2023秋•和平区校级期末）计算的值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：原式． 故选：． 8．（2022秋•滨海新区校级月考）化简的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解： ． 故选：． 9．（2024秋•南开区校级月考）　　． 【解答】解： ． 故答案为：． 10．（2023秋•和平区校级期末）已知，，则　2　． 【解答】解：因为，， 所以， 则． 故答案为：2． 11．（2023秋•南开区校级月考）计算　　． 【解答】解：原式， 故答案为：． 12．（2023秋•天津期末）已知，，则用，表示　　． 【解答】解：，， 则． 故答案为：． 13．（2023秋•河东区期末）（1）若，求的值； （2）计算：． 【解答】解：（1）， 则，即，即，解得； （2）原式． 二．对数运算求值（共4小题） 14．（2023秋•滨海新区校级月考），，试用，表示　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， 则． 故选：． 15．（2024秋•和平区校级月考）已知，则的值为 　　． 【解答】解：， ，， ， ． 故答案为：． 16．（2023秋•河西区校级月考）若，则 　2　． 【解答】解：，，， 代入得：． 故答案为：2． 17．（2024秋•南开区校级月考）计算的值为 　8　． 【解答】解： ． 故答案为：8． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$