平面向量题型专项练-2025届高考数学一轮复习备考

平面向量典型题型 一、单选题 1．在中，点满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 3．已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则O是的外心 B．若，则I是的内心 C．若，则P是的垂心 D．若，则N是的重心 4．在矩形中，，，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 8．如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 10．在中，下列说法正确的是（    ） A．若点H满足，则点H是的外心 B．若，则AP所在直线经过的内心 C．若，，，则的范围为 D．若，，，，则 11．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 12．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 三、填空题 13．已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是 . 14．如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则 15．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是 . 16．在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为 . 四、解答题 17．在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，. (1)求； (2)求证：； (3)求的取值范围. 18．如图，在中，，，AD与BC相交于点M，设，. (1)试用，表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求的最小值. 19．设向量，，其中. (1)若，求实数x的值； (2)已知且，若，求的值域. 参考答案： 1．A 根据题意如下图所示： 根据向量加法法则可知，又，所以 即， 可得. 2．A 在向量上的投影向量为. . 3．B 对于选项A：若，即到的距离相等， 根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确； 对于选项B：若，则， 即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误； 对于选项C：若， 则，即， 同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确； 对于选项D：若，则（D为AB的中点）， 即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确； 4．C ∵， ∴ ，又， ∴   ， ∵  ， ∴， 又四边形为矩形，，，， ∴ ，， ∴ ， ∴   . 5．A 如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 6．B 解：由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为． 7．D 设，因为A在线段BC上（不含BC端点）， 所以由向量共线定理设， 所以， 由题意有，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 8．A 在中，，，， 由余弦定理得， 所以， 又由正方形的边长为，可得， 则 ， 正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得， 所以，即的取值范围是. 9．AB 对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以， 又因为， 所以.正确； 对于B：记点到的距离分别为，， 因为， 则， 即， 又因为，所以，所以点是的内心，正确； 对于C：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于D：因为是的外心，，所以,， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知同时为负， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，错误. 10．BCD 对于A，由，得，即， 所以；同理可得，， 所以点H是的垂心，故A错误； 对于B，，因为，分别是与，方向相同的单位向量， 则所在直线为的平分线，所以点P在的平分线上，故B正确； 对于C，因为，所以O为的外心， 且P为外接圆上一动点，又，， ∴外接圆的半径， 如图，作，垂足为D，    则， ∴当PD与圆相切时取最值，即P在处取最大值6，在处取小值－2， 故C正确； 对于D，设D为BC中点，如图所示，   ，∴O为的重心， ∴，． ∵，，，由余弦定理可知，， ∴，所以，D正确. 11．ABD A. 为重心，所以, 所以, 所以, 所以，所以该选项正确. B.， 由于G是重心，所以，所以， 同理,所以， 所以该选项正确. C.,所以该选项错误. D., 所以,所以该选项正确.    12．ABD 向量，， 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，与的夹角为，，， 因此，C错误； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 13．/ 法一　由，得. 如图所示，分别作,作， 由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以,    作，则, 所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上. 由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值, 故||的最大值是, 故答案为： 法二　由，得， 建立如图所示的平面直角坐标系，则，    设 ，由， 得 ， 所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上. 所以 故答案为： 14． 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，建立直角坐标系，则，， 设，可得， 因为，则，可得， 即，解得，即的坐标为， 设，则，， 由可得，解得， 则，，可得 所以． 故答案为：. 15．/ 平面向量基本定理，借助三点共线可知： ， 得 解得 ，所以 故答案为：. 16． 在中，由得：，因为P是BN上的一点，则有， 即，， 又，且不共线，于是得，解得， 所以实数m的值为. 故答案为： 17．(1) (2)证明见详解 (3) （1）设分别是的中点， 由于是的重心，则为的交点， 则，，， 所以. （2），，， 则， ， 由于三点共线，所以， 整理得. （3） ， 因为，所以， 所以.    18．(1) (2) （1）设， ， 由于三点共线，所以. 所以. （2）依题意，， 由于过点，而，，所以， 由（1）得， 所以, 由于三点共线，所以， ， 当且仅当，时等号成立. 19．(1)； (2). （1）因向量，，则， 又，则有，即，于是得， 而，解得， 所以实数x的值是. （2）因为且，则，即，有， ，因，则，，即， 所以的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $$