精品解析：黑龙江省哈尔滨市萧红中学校2024—2025学年上学期八年级数学期中学情测试试题

萧红中学2024—2025学年度上学期 八学年上·数学学科·阶梯作业 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性． 下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形”进行解答即可． 【详解】解：“爱、我、华”这三个字都不能沿一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，故它们都不是轴对称图形； “中”能沿一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形；   故选：C ． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，原式计算正确，符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算错误，不符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，和各增加， ∵， ∴当增加时，减小， 故选：D ． 4. 如图，，点在线段上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题关键．由三角形全等可知，，，，进而得到，再由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出，即可得到的大小． 【详解】解：， ，，， ，，， ， ， ， ， 故选：D ． 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 6. 已知与的乘积中不含项，则的值是（ ） A. 0 B. 5 C. D. ±5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，利用整式不含项得出关于的方程是解题关键．根据多项式的乘法，可得整式，根据整式不含项，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由， 得的系数为． 若不含项，得， 解得， 故选：B． 7. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．根据和都是一个完全平方式解答即可． 【详解】解：和它们都是完全平方式， 或， 解得：或， 故选：D． 8. 某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，单项式乘多项式，先根据题意算出这个多项式，再与相加即乘即可，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意知， 这个多项式为：， ∴正确的计算结果为： ， 故选：A． 9. 已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．根据等腰三角形的定义，分、两种情况，结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意，当即时，的三边长分别为5，5，6，满足，能构成等腰三角形； 当即时，的三边长分别为5，6，6，满足，能构成等腰三角形， 综上，当为等腰三角形时，a的值为4或5， 故选：C． 10. 如图所示，点、、、均在正方形网格格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格特点可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共27分） 11. 在中，，，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 12. 若点与点关于y轴成轴对称，则______________． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据点与点关于y轴成轴对称求出m、n的值，再计算即可． 【详解】∵点与点关于y轴成轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为0． 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 13. 如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是_______三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行的性质、翻折变换的性质来分析、解答．证明；运用平行的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图， 由题翻折得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即重合部分（阴影部分）是等腰三角形， 故答案为：等腰． 14. 已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为________． 【答案】7或4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 分腰长为，底边长为两种情况，计算求解，然后根据三角形三边关系判断作答即可． 【详解】解：当腰长为时，底边长为， 4、4、7满足三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为， 、、满足三角形三边关系； 综上所述，它的底边长为7或4， 故答案为：7或4． 15. 若，，则代数式的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，根据，利用整体思想进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴； 故答案为：． 16. 定义新运算：，运用新运算计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据，可以将所求式子变形，然后化简即可． 【详解】解：， ∴ ， 故答案为：． 17. 如图所示，边长分别为和的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握计算公式是解题的关键；图中阴影部分的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可得答案． 【详解】解：去掉，补上，则剩余部分为一个直角梯形， 图中阴影部分的面积为： 故答案为： 18. 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 平分，， 点是的中点，垂直平分， 点是的中点， ，平分， ， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ， 垂直平分， ， ， 即， 故答案为：． 19. 如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ，此时， ∴， 此时只有， ∴， ，此时， ∴， 此时只有， ∴； ，此时，， ∴， 此时只有， ∴； 综上所述，度数可以为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 20. （1）计算： （2）计算： （3）简便方法计算： 【答案】（1）；（2）7；（3）9801 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方计算，再合并同类项； （2）逆用积的乘方法则计算即可； （3）利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）． 21. 先化简，再求值：a（a2+2a+4）﹣2（a+1）2，其中a=﹣． 【答案】﹣2． 【解析】 【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】原式=a3+2a2+4a﹣2a2﹣4a﹣2=a3﹣2， 当a=﹣时，原式=﹣2． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）点A关于______轴对称的点在第四象限；（填“”或“”） （2）画出与关于y轴对称的； （3）在x轴上作一点P，使其到点B，C的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） （2） 即为所求： （3） 点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、坐标与图形变换——轴对称： （1）根据轴对称图形的性质即可求解； （2）根据轴对称的图形的性质即可求解； （3）作点关于的对称点，连接，于交于点，则，，则此时点P到点B，C的距离之和最小，进而可求解； 熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知， 点A关于轴对称的点在第四象限， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作点关于的对称点，连接，于交于点， 则， ， 则此时点P到点B，C的距离之和最小， 23. 已知：在中，D、E分别在、上，且，与交于点F，连接交BC于G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，直接写出所有等于的角． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴； （2），，， 【解析】 【分析】（1）证明，得出，由等边对等角可得，进而得出点F在的垂直平分线上，同理得出点A在的垂直平分线上，然后利用线段垂直平分线的判定即可得证； （2）利用等腰三角形三线合一的性质可得，当时，然后利用余角的性质可证，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即等于的角有，，，． 【点睛】本题考查了 等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： （1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； （2）【应用】利用“平方差公式”计算：； （3）【拓展】计算：． 【答案】（1）①②③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 25. 已知，和均为等腰直角三角形，连接，交于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点C，D，E在同一条直线上时，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，F为上一点，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵,,， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）证明得，然后根据三角形内角和可证，从而； （2）由等腰直角三角形的性质得，进而可求出的度数； （3）连接，延长交于点G，证明得，，进而可证，设，则，再求出，，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点C，D，E在同一条直线上， ∴； 【小问3详解】 解：连接，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵，， ∴，． ∵，， ∴四边形是梯形． ∵， ∴， 解得， ∴． 26. 八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（的正方形A，的正方形B，的长方形C）， （1）在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______ （2）在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(的正方形A，的正方形B，的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整； 框1 （3）小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立； （4）小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知，求的最大值，请认真思考，并完成解答． 【答案】（1） （2） （3） （4）10 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的关系，完全平方公式的应用，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）根据图形用两种方法表示面积即可； （2）根据（1）种方法画图，并表示面积即可； （3）根据图形的拼接得到等式即可； （4）先化简得到，然后设，则有，代入配方得到，根据完全平方式的非负性得到，解题即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 如图， 式子为：； 故答案为：，； 【小问3详解】 如图，根据面积可得， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：∵， ∴ ∴，即， 设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萧红中学2024—2025学年度上学期 八学年上·数学学科·阶梯作业 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性． 下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 4. 如图，，点在线段上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 已知与的乘积中不含项，则的值是（ ） A. 0 B. 5 C. D. ±5 7. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. B. C. D. 或 8. 某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（ ） A. B. C. D. 9. 已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 10. 如图所示，点、、、均在正方形网格格点上，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共27分） 11. 在中，，，，则______． 12. 若点与点关于y轴成轴对称，则______________． 13. 如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是_______三角形． 14. 已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为________． 15. 若，，则代数式的值是__________． 16. 定义新运算：，运用新运算计算：______． 17. 如图所示，边长分别为和的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 ____________________． 18. 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 19. 如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是___________． 三、解答题 20. （1）计算： （2）计算： （3）简便方法计算： 21. 先化简，再求值：a（a2+2a+4）﹣2（a+1）2，其中a=﹣． 22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）点A关于______轴对称的点在第四象限；（填“”或“”） （2）画出与关于y轴对称的； （3）在x轴上作一点P，使其到点B，C的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 23. 已知：在中，D、E分别在、上，且，与交于点F，连接交BC于G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，直接写出所有等于的角． 24. 综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： （1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； （2）【应用】利用“平方差公式”计算：； （3）【拓展】计算：． 25. 已知，和均为等腰直角三角形，连接，交于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点C，D，E在同一条直线上时，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，F为上一点，连接，若，求的长． 26. 八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（的正方形A，的正方形B，的长方形C）， （1）在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______ （2）在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(的正方形A，的正方形B，的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整； 框1 （3）小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立； （4）小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知，求的最大值，请认真思考，并完成解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $