浙江省杭州市2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题

2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域 的作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卡 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置。 1.已知集合A=11,2,3引，B={xly=V1-x1,则AnB=( A.11} B.{0,1 C.{-1,1 D.{-1,0,1} (x-1,x≥0， 2.函数f代x)= 是( -x-1,x<0 A.奇函数 B.偶函数 C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 3.已知直线y=2:是双曲线C号-层=1(6>0)的一条渐近线，则C的离心率等于(） x2 B③ 2 c.5 D.V5 4.将函数y=ix的图象向左平移p(0<p<2r)个单位，得到函数y=g(x)的图象，则 “y=g)是偶函数是“p=受”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知向量a=(1,-1),b=(2,1),若(a+b)1(-2a+b),则t=() A1或号 B.-2或号 C.-1或2 D.-2或1 6.设f(x)=e+lnx,满足八a)fb)fc)<0(0<a<b<c.若函数f(x)存在零点o,则( ) A.%<a B.%>a C.%o<c D.%o>c 高三数试·第1页（共4页） 7.已知.1 A三4，则入=() cos10° A.1 B.V2 C.V3 D.2 8.对Vxe[1,+∞)，不等式(nax)2-1)(e-b)≥0恒成立，则( A若ae0,),则6≤e B若ae0,),则6>e c若ae[日，e,则d=e D若ae[片，e),则r=e 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，在正方体中，0为底面的中心，P为所在楼棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足 MN⊥OP的是() A B 10.已知函数f代x)=x-x2-ax(x≥0)，则() A.若f(x)m=f1),则a=1 B.若fx)m=f1),则a=- 3 C.若a=1,则f(x)在(0,1)上单调递减 D.若a=-号，则x)在(1,3)上单调递增 11.已知函数f(x)的定义域为R,若f(x)+yz)=x+f(y)f(z),则() A.f1)=0 B.f几f(x)]=x C.f)=fx)fy） Dfx+y）=fxfy）) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f代x)=lnx在点(e,1)处的切线的斜率等于 高三数试·第2页（共4页） 13.已知复数x1,z2的实部和虚部都不为0，满足① =2:②4斤2，则2s 2= ·(写出满足条件的一组z,和z2) 14.已知双曲线C,C2都经过点(1,1)，离心率分别记为e、2,设双曲线C1,C,的渐近线分别 为y=±名x和y=±x若=1，则兰= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知在△ABC中，sin2A-sin2B=sin2C-V3 sinBsinC,2cosB=sinC. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若点D在AB边上，且BD=2AD.若CD=2,求△ACD的面积 16.(15分) 在直角坐标系x0y中，抛物线C:=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上，若 △0FM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为器 (1)求C的方程： (2)若点(-1,1)关于直线y=x对称的点在C上，求k的值. 17.(15分) 设随机变量X所有可能的取值为x1,x2,…,x,P(X=x)=P:>0(i=1,2,…,n),且P1+P2 +…+p。=1.定义事件X=名，的信息量为H=-lp,称X的平均信息量H(X)= -(p1lnp1+p2lnp2+…+pnpn)为信息熵. (1)若n=3,P4+1=2p4(k=1,2),求此时的信息熵； (2)最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大 就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合 理)的决定.证明：H(X)≤lnn,并解释等号成立时的实际意义 (参考不等式：若)=lh,则p)≤f(∑P) 高三数试·第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=axlnx-x3-1. (1)若a=1,求f(x)的单调区间； (2)若0≤a≤3，求证：fx)<0; (3)若()=)++，3≠使得()=h(1=64 a 求证：be+1<|x1-x21<5+1. 19.(17分) 已知正项有穷数列A:a1,a4,,ax(N≥3)，设T={x1x=2,1≤i<jsW,记T的元素个 数为P(T). (1)若数列A:1,2,4,16,求集合T,并写出P(T)的值； (2)若A是递增数列或递减数列，求证：“P(T)=N-1”的充要条件是“A为等比数列”； (3)若N=2n+1,数列A由2,4,8，·，2,4“这n+1个数组成，且这n+1个数在数列A中 每个至少出现一次，求P(T)的取值个数 高三数试·第4页（共4页）2025届杭州-模数学答案.pd .. 2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。 9. BD 10. ACD 11. BC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 13.1+31),(答案不唯一) 14.1 四、解答题:本大题共5小题,共77分。 15.(13分) (1)因为sin?A-sin?B=sin?C-③sinBsinC. 由正弦定理得a2-?-c2-③bc 所以 cosA_-+c2-a2_ 2b 又因为2cosB-sinC,即2cosB-sin(+B), 所以tanB-3. 所以B-"所以C-" 所以△ABC是直角三角形 ................. (2)设BC=a,则AB=2a,AC=3a,AD-2a. 在△ADC中,CD2=AC2+AD?-2AC:ADcosA 即4=3a2+2-2?,解得a2-3. ...................分 第1页(共5页) 16.(15分) (1)因为△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切 所以△OFM外接圆的半径-3, 所以抛物线C的方程为y一x. ......................分 (2)因为点(-1,1)在圆x2+=2上, 所以点(一1,1)关于直线y一&对称的点也在圆上, 又已知(一1,1)关于直线v=对称的点在抛物线v^②}一x上 设点(一1,1)的对称点为(xo,y). (x2+y-2, 所以, (2xo ,解得Pi(1,1)和P2(1,-1), 当对称点为P(1,1)时,斜率k不存在,舍去 当对称点为P2(1,-1),得k-1. ..................分 17.(15分) (1)由题意,知p2=2py,p3=2p2=4py,所以p-,P2-},p3=. 所以H(x)=-(ln+ìn}+1n)=ln7-.-1n2......-7分 (2)根据参考不等式,H(x)=-p lnpp ìn<ln((p )=lhnn. 高” D 等号成立的实际意义 从数学角度理解,当p1p2=.l=pa--时,H(X取到最大值: 从现实生活理解,在没有任何已知信息时,对于未知信息,不加主观臆断,对 每一种可能性都有所估计,且等概率地分配是最保险的做法 .................分. 第2页(共5页) 18.(17分) (1)由题意,知/'(x)=a(lnx十1)-3x②,x>0 若a=1,则f’(x)=lnx+1-3x2, 令g()=lnx+1-3r2,则g(x)-1-6×} )单词递增, 所以/(x)在(0. 所以/{#)nx)()_1n+<0, 所以f’(x)在(0,+o)上单调递减 ......................分 (2)因为0<a<3,所以 当xE(0,1]时,f(x)<0成立; 当xE(1,+o)时,令g(x)=a(lnx十1)-3x 所以g(x)-a-62<0, 所以f'(x)在(1,+o)上单调递减,所以f'(x)<f'(1)=a-3<0 所以f(x)在(1,+o)单调递减,所以f(x)<f(1)<0. 综上,当0<a<3时,/(x)<0. ..................分 (3)因为h(x)=xlnx,所以h(x)=lnx+1, 令(x)<o,则0<x<,所以h(x)在(0, )上单调递减,在({,+~)上单调递 增。 因为h#--.所以bE(-}. 0). 不妨设x<x2,则xi=(0,),x2=1). 先证:x2-xi<b+1, 易知(x)在x=1处的切线方程为一x一1,该切线与直线v=b的交点的横坐 标x=b+1.易知x3>x2-x. 所以x2-x1<x<b十1. 第3页(共5页) 再证x2-x>be+1.设A(-,B(1,0) 易知直线O4方程为y=一x,直线AB方程为y-(r-1), 则直线OA,AB与直线v=b交点的横坐标分别为x4=-b,x5=(e-1)b+1 所以x5-x-be+1 因为x=-b=-xlnx>x: 同理可证x4<x2 所以x.<x.<x2.类似的可以证明x<x5<x2. 所以xs-x&<x2-x,即be+1<x2-x1, 所以be+1<x,-x2l<b+1. ................分. 19.(17分) (1)根据题意,x的取值为2,4,8,16 所以T=(2,4,8,16,所以P(T-4 ............... (2)证明充分性 若A是递增等比数列,所以公比q>1. 所以T-:q?,..,1,所以P(D=N-1. 证明必要性 若A是递增数列,则<.“所以{, aeT,且互不相 等, 所以7 一). ##<._- xa2 d2 d 所以,., av axeT,且互不相等. d2' _ 所以一2, △_3, ...., an_an-, 2 at at 第4页(共5页) 所以2--...-0,所以A为等比数列. a2 a-1 若A是递减数列,同理可证 ................ (3)由题意知,数列4由2,4,8,...,2”,4”这n十1个数组成, 因此任意两个数作商(可相等),结果只可能为 1,2,2,2,..,2“,”,..,21,2,22,.,2”.,2-2, 共2(2n-1)+1=4n-1个不同的值; 因为2,4,8,..,2”,4"这n+1个数在数列A中共出现N=2n+1次 所以数列A中存在a三a(i去i),所以1ET 所以P(T<4n-1,且P(D>2n. 设数列Ao:2,22,.,2”,22”,2”,..,2 此时T=(1,21,22,23,, 2n-1,2”,,22n-1,2-1,2-2,. 2-n,.,21-2n),所以P(T)-4n-1. 现对数列Ao分别作如下变换 把前面的2”移动到22“和后面的2”之间,得到数列:21,22,.,2n-1, 22,2”,2”,.,21. 此时T=(1,21,22, 23,, 2n-1, 2n+1, ..,22n-1,2-1, 2-2,... 2-”,.,21-2),P(7-4n-2. 再把前面的2n-1移动到后面的2”-1和2"之间,得到数列:21,22,.. 2n-2,22n,2n,2n,2n-1,2n-1,.,21, 此时T=(1,21,22,23,.,2n-1,2n+2,..,22n-1, 2-1,2-2,.., 2-n,.,21-2n),P(T)=4n-3. 依此类推,最后把前面的2移到最后一项:得到数列An:22”,2”,2”, 2n-1,2n-1,.,21,21, 此时T=(1,2-1,2-2,.,2-n,.,21-2n),P(7=2n. 综上,P(D可以取到从2n到4n一1的所有2n个整数值,所以P(7的取值个 数为2n. ................分. 第5页(共5页)