第七章 锐角三角函数 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第七章 锐角三角函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2023·江苏无锡·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）如果中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角的三角比的值（    ） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半 C．没有变化 D．不能确定 4．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 5．（2024·广东深圳·二模）如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（    ）          A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，则的长是（     ）    A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（20-21九年级·江苏苏州·自主招生）如图，中，D为上一点，，， ，则的长是（　　）    A． B． C． D． 10．（2024九年级·江苏南通·专题练习）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为 ． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长是 ． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，则边的长为 ． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知α为锐角， 且，则α等于 ． 15．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 16．（23-24九年级下·江苏常州·期末）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，矩形的顶点，，点在轴正半轴上，是上一点，连接，作点关于的对称点，连接，，当时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为 18．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 20．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值：，其中． 21．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 22．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，两条网格线的交点叫格点，的顶点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺，在网格中完成画图． (1)在边上画出点D，使； (2)在（1）条件下，△ACD面积是____． 23．（2024·黑龙江绥化·三模）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过．在一条笔直公路的上方A处有一探测仪，如图所示的平面几何图，，，第一次探测到一辆轿车从点B匀速向点D行驶，测得，2秒后到达C点，测得（，，结果精确到）． (1)求点B，C之间的距离； (2)通过计算，判断此轿车是否超速． 24．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 25．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）海钓时将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端离岸，即．海面与地面平行且相距，即．    (1)如图1，无鱼上钩时，海面上方鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点到岸边的距离（精确到）： (2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点恰好位于海面．求点到岸边的距离．（参考数据：） 26．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“佳点”． (1)如图2，已知，在四边形中，平分于点E，，求证：点E是中边上的“佳点”； (2)关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有______（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． (3)如图③，中，，点D是边上的“佳点”，求线段的长． 27．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明． 你选择的条件是_____，结论是_____（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形)． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 28．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，过点C作，垂足为点D，连接． (1)当时，求的长； (2)的大小是否为定值，如果是，求；如果不是，请说明理由； (3)坐标平面内有一点，且满足，求E点的坐标（用m的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 锐角三角函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2023·江苏无锡·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数，即可求解， 本题考查了特殊角的三角函数，解题的关键是：熟练掌握特殊角的三角函数． 【详解】解：， 故选：． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据已知条件，利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 故选：D． 3．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）如果中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角的三角比的值（    ） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半 C．没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：各边的长度都扩大两倍， 扩大后的三角形与相似， ∴扩大后的三角形三个角与原来三角形三个角分别相等， 锐角A的各三角函数值都不变． 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：如图， ． 故选B． 5．（2024·广东深圳·二模）如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（    ）          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ∴， ∵， ∴桌沿（点A）处到地面的高度． 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题．作于点，分别在和中，利用三角函数即可表示出与的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ，， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 同理：． 米， 故选：D． 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形的性质，先根据，，，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到的长． 【详解】在中，，， ， ∴的长为， 故选：A． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 9．（20-21九年级·江苏苏州·自主招生）如图，中，D为上一点，，， ，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题由已知的值，可以想到构造直角三角形；由是等腰三角形，可以尝试构造三线合一，所以作两条辅助线：过点D作于点E，过点B作于点F． 根据利用相似三角形及比例线段等建立方程组求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F，    ∵中，， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴． 设，，则， 由作图可知，， ∴ ， 即： ①， 在中 ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即： ， ∴ ， 在中，根据勾股定理得， ， 即：， ①②两式联立： ， 解得： （负值舍去），     ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10．（2024九年级·江苏南通·专题练习）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点作交于点，求出，再证明，即可知④正确． 【详解】解：旋转得到， ， 四边形为正方形，，，在同一直线上， ， ，故①正确； 旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； 设正方形边长为， ，， ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，即，解得：， ， ，故③正确； 过点作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， ， ，故④正确； 综上所述：正确结论有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．根据坡度等于坡角的正切即可求解． 【详解】解：设坡角为， 由题意得，， ． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：6． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，则边的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，解得，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：2． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知α为锐角， 且，则α等于 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由，α为锐角，得到，即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，α为锐角， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，求正切，连接，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵的垂直平分线分别交边于点E、F． ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 故答案为：． 16．（23-24九年级下·江苏常州·期末）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质．作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形，在中，可得，，从而得到，然后在中，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为： 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，矩形的顶点，，点在轴正半轴上，是上一点，连接，作点关于的对称点，连接，，当时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了对折和相似三角形，解题关键是正确得出比例式．先求得，进而得，，即可得，得，再解得：，，即可得答案． 【详解】解：如图， 由矩形，，， 得， 由点关于的对称点，的延长线恰好经过点， 得，， , ， 得， 即， 解得：，， 故， 故． 故答案为：． 18．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，是解题的关键． 连接，并延长交于一点Q，根据菱形性质证明为等边三角形，结合，得到，得到，得到，根据问题是一个定值，可化一般情况为特殊情况，点M，点N分别是边上的中点，得到点E为等边的重心，得到，Q为中点，得到，，，得到，得到，得到，得到，得到是等边三角形，推出，即得． 【详解】解：连接，并延长交于点Q， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据问题是一个定值，因此化一般情况为特殊情况， 则点M，点N分别是边上的中点， ∴点E为等边的重心， ∴，Q为中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数的实数的运算，正确化简计算每一项是解题的关键． （1）根据二次根式的性质和零指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行加减计算； （2）分别化简计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和化简绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值．先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可． 【详解】解： ； 把代入，原式． 21．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，过点作，解直角三角形，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，两条网格线的交点叫格点，的顶点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺，在网格中完成画图． (1)在边上画出点D，使； (2)在（1）条件下，△ACD面积是____． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 （1）取格点T，P，Q，连接，交于点O，连接交于点D，点D即为所求（由，推出，推出； （2）利用平行线等分线段定理解决问题即可． 【详解】（1）取格点T，P，Q，连接，交于点O，连接交于点D，点D即为所求，如图所示： ，，， ， ，， ，， ． ， ， ， ， （2）解：由图可知：， ， ， ． 23．（2024·黑龙江绥化·三模）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过．在一条笔直公路的上方A处有一探测仪，如图所示的平面几何图，，，第一次探测到一辆轿车从点B匀速向点D行驶，测得，2秒后到达C点，测得（，，结果精确到）． (1)求点B，C之间的距离； (2)通过计算，判断此轿车是否超速． 【答案】(1)点B，C之间的距离为 (2)此轿车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用以及有理数除法的实际应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． （1）在直角三角形与直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出与的长，由求出的长即可； （2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即． 在中，，， ∴，即． ∴． ∴点B，C之间的距离为． （2）根据题意，得． ∵， ∴此轿车没有超速． 24．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得， ∵， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 25．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）海钓时将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端离岸，即．海面与地面平行且相距，即．    (1)如图1，无鱼上钩时，海面上方鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点到岸边的距离（精确到）： (2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点恰好位于海面．求点到岸边的距离．（参考数据：） 【答案】(1)点O到岸边的距离为 (2)点O到岸边的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系． （1）过点B作，垂足为F，延长交于E，先根据三角函数的定义求出，继而得出，再根据三角函数的定义求出，继而得出，根据三角函数的定义得出，从而得出的长度； （2）过点B作，垂足为N，延长交于点M，垂足为M，先根据三角函数的定义求出，继而得出，再根据三角函数的定义求出，继而得出，利用勾股定理求出，从而得出的长． 【详解】（1）解：过点B作，垂足为F，延长交于E，则，    由， ∴， ∴，即 ∴， 由， ∴， ∴，即 ∴， 又， ∴，即 ∴， 即点O到岸边的距离为； （2）解：过点B作，垂足为N，延长交于点M，    由， ∴， ∴， 即， ∴， 由， ∴ ∴，即, ∴， ∴， ∴， 即点O到岸边的距离为 26．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“佳点”． (1)如图2，已知，在四边形中，平分于点E，，求证：点E是中边上的“佳点”； (2)关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有______（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． (3)如图③，中，，点D是边上的“佳点”，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3)或 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，本题要结合已知“佳点”的定义求解是关键． （1）证明，然后得到，再根据中点的定义即可得到结论； （2）根据“佳点”的定义利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半和直角三角形斜边上的高把该三角形分成了两个相似的直角三角形的性质即可判断直角三角形的“佳点”个数； （3）根据三角函数，转化为边的比例，求出 ，结合点的位置分类讨论，利用已知定义建立方程即可求解. 【详解】（1）证明：∵平分于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴点E是中边上的“佳点”； （2）若直角三角形为非等腰直角三角形， 则斜边上的中线与斜边的交点和斜边上的高与斜边的交点都是直角三角形有一个“佳点”，共两个， 若直角三角形为等腰直角三角形，则斜边上的高与中线重合，故只有一个“佳点”， ∴若直角三角形为等腰直角三角形有一个“佳点”，若直角三角形为非等腰直角三角形，则有两个“佳点”，故直角三角形有或者个“佳点”， 故答案为：③； （3）作 于, ， ， 设 则， ， ， 解得， ， 设， 如图①，当点在点左侧时， 由点是边上的“佳点”有 ， 解得：或(舍去)， ， 如图②，当点在点右侧时， ， ， 解得：或(舍)， ， 综上：的长为或 ． 27．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明． 你选择的条件是_____，结论是_____（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形)． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）若选择①②，证明③．连接，根据等边对等角得到，，从而得到，根据三角形的内角和可证明，由此即可证得与相切．若选择①③，证明②．连接，由等边对等角与三角形外角的性质得到，根据切线的性质得到，从而，将代入后即可求解．若选择②③，证明①．连接，由切线的性质得到，从而求得，由等边对等角与三角形外角的性质得到，，即可求得，从而，得证． （2）过点O作于，在中，可求出，在中，可求出，，根据三角形的面积公式求出，根据扇形面积公式求出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：选择①②可证明③，或选择①③可证明②，或选择②③可证明①， 若选择的条件是①②，结论是③，证明如下： 如图，连接， ， ， ∵， ∴ ， ， ∴， ∵是半径， ∴与相切． 若选择的条件是①③，结论是②，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 若选择的条件是②③，结论是①，证明如下： 如图，连接， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②，③，或①③，②，或②③，①． （2）解：如图所示，过点O作于， ∴在中， ∴， ∴在中，， ， ∵，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，切线的证明与性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质，不规则图形的面积，解直角三角形，熟练运用相关知识是解题的关键． 28．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，过点C作，垂足为点D，连接． (1)当时，求的长； (2)的大小是否为定值，如果是，求；如果不是，请说明理由； (3)坐标平面内有一点，且满足，求E点的坐标（用m的代数式表示）． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可； （2）根据，得到，得到的角度不变，求出的正弦值即可； （3）易得轴，过点作于点，利用等角转换，结合锐角三角函数，分别表示出的长，利用，列出方程求出，即可． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）的大小是定值，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵的大小为定值， ∴的大小是定值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， ∴轴， ∵，， ∴， ∴点在第二象限， 过点作于点，如图，则：， ∵轴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$