精品解析：吉林省长春市榆树市2024—-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

榆树市2024—2025学年度第一学期期中考试九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 使有意义的x的取值范围是( ) A. x＞－1 B. x≥－1 C. x≠－1 D. x≤－1 2. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 3. 如图，已知直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且．若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（　　） A. ±2 B. 2 C. - 2 D. 不能确定 7. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转90°得到，、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论正确的是（ ） ①： ②； ③点是线段的黄金分割点； ④ A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 任意写出一个最简二次根式________． 10. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 11. 如图，已知和的相似比是，且的面积是3，则四边形的面积是 __． 12. 已知点G是等腰直角三角形的重心，，则的长为______． 13. 如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，则图中的值为 ____． 14. 如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是_____． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形． （1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF； （2）在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1． 18. 如图，，点是线段上的一点，且．已知． （1）证明：． （2）求线段的长． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求m的值； （2）用配方法解这个方程． 20. 《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度，立两根高3米的标杆和，并且建筑、标杆和在同一竖直平面内，两杆之间的距离米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，从F点观测A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G点观测A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，计算该建筑物的高度的长． 21. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： （1）______；______； （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（无需证明）； （3）利用上面结论，求的值． 22. 石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 23. 已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么______秒后，的长度等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）几秒后与相似？ 24. 华东师大版九年级上册数学课本67页有这样一道练习题： 如图，在中，，垂足为，找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）动手实践：张老师在上课时，发现这道题是个很好的素材，可以帮助同学们回忆基本尺规作图：“过直线外一点作已知直线的垂线”，据此可以作边上的高，于是发动同学们在练习本上进行作图．现在请你利用尺规作图作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）． （2）独立思考：你发现图中存在________对相似三角形，请写出来________． （3）习题反思：爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，可以写出下列三个结论： ①，②，③． （Ⅰ）请你按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明； （Ⅱ）小亮研究“小明的发现”时，又惊喜地发现：竟然可以利用“它”来证明“勾股定理”，请你按照小亮的思路完成这个证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆树市2024—2025学年度第一学期期中考试九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 使有意义的x的取值范围是( ) A. x＞－1 B. x≥－1 C. x≠－1 D. x≤－1 【答案】B 【解析】 【分析】让被开方数为非负数列式求值即可． 【详解】解：由题意得：x+1≥0， 解得x≥-1． 故选：B． 2. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A.，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 3. 如图，已知直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，由，得，把，，代入求出，然后由线段和差即可求解，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用开根号的知识分别将各选项进行化简，然后即可得出答案． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故不合题意； B、与不是同类二次根式，故不合题意； C、，与不是同类二次根式，故不合题意； D、，与是同类二次根式，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同类二次根式的知识，属于基础题，比较简单，注意细心将各选项分别化简后再作答． 5. 一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】解：在方程4x2﹣2x+ =0中，∆=（﹣2）2﹣4×4×=0， ∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根． 故选B． 6. 若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（　　） A. ±2 B. 2 C. - 2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程两根互为相反数，得出，代入系数，即可求出答案． 【详解】∵方程的两实数根互为相反数， 设两个根为a，b， 则， ∴， 故选：B. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题关键． 7. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得： 168（1-x）2=108． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 8. 如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转90°得到，、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论正确的是（ ） ①： ②； ③点是线段的黄金分割点； ④ A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，得到△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAG＋∠DEF＝90°从而判断①；由∠DAG＋∠DEF＝90°，可得∠BGC＝90°，从而判断②；由Rt△FCB∽Rt△FDE和BC＝AD＝DF，DE＝DC，得出，可以判断③；在线段EF上作EG′＝CG，如图所示，连接DG′，通过证明△DCG≌△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④． 【详解】证明：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的， ∴△FDE≌△ADC， ∴AD＝DF，DC＝DE，∠DEF＝∠DCA， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＋∠DCA＝90°， 即∠DAG＋∠DEF＝90°， ∴∠AGE＝90°， 即AC⊥BE，故①正确； ∵AC⊥BE， ∴∠BGC＝90°， 即△BGC是直角三角形，而△AGD显然不是直角三角形， ∴②错误； 在Rt△FCB和Rt△FDE中， ∵∠BFC＝∠EFC， ∴Rt△FCB∽Rt△FDE， ∴， ∵BC＝AD＝DF，DE＝DC， ∴， ∴点F是线段CD的黄金分割点，∴③正确； 在线段EF上作EG′＝CG，如图所示，连接DG′， ∵DC＝DE，∠DEF＝∠DCA， ∴∠DEG′＝∠DCG， 在△DCG和△DEG′中， ， ∴△DCG≌△DEG′（SAS）， ∴DG＝DG′，∠CDG＝∠EDG′， ∵∠CDG＋∠GDA＝90°， ∴∠EDG′＋∠GDA＝90°， ∴∠GDG′＝90°， ∴△GDG′是等腰直角三角形， ∴GG′＝DG， ∵EG′＝CG， ∴EG＝EG′＋GG′＝CG＋DG，∴④正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是对知识的掌握和运用． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 任意写出一个最简二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键； 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可． 【详解】解：一个最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得 ， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程（a≠0）的两个根，则与系数的关系式：，． 11. 如图，已知和的相似比是，且的面积是3，则四边形的面积是 __． 【答案】9 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出与的面积比，计算得到答案． 【详解】解：与的相似比为， 与的面积比为． 与四边形的面积比为． 的面积是3， 四边形的面积是9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 12. 已知点G是等腰直角三角形的重心，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，重心性质的应用，化为最简二次根式，先求解，，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接并延长交于点， ∴是等腰直角三角形斜边的中线 ∴ ∵点是等腰直角三角形的重心， ∴，且 在中，根据勾股定理得： ； 故答案为： 13. 如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，则图中的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即图中的值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是_____． 【答案】（0，3）或（，0）或（4，0） 【解析】 【分析】首先确定A，B两点坐标，分两种情形：①当PQ∥OB时，②当PQ′⊥AB时，分别求解即可． 【详解】∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A， ∴A（0，6），B（8，0）， ∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝＝10， 如图有两种情形：①当PQ∥OB时，满足条件． ∵AP＝PB， ∴AQ＝OQ， ∴Q（0，3）． ②当PQ′⊥AB时，满足条件．连接AQ′． ∵PA＝PB，PQ′⊥AB， ∴Q′A＝Q′B，设Q′A＝Q′B＝m， 在Rt△AOQ′中，则有m2＝62+（8﹣m）2， 解得m＝， ∴OQ′＝8﹣＝， ∴Q′（，0）． ③当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（，0）或（4，0）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后化简二次根式后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 17. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形． （1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF； （2）在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1． 【答案】（1）如图②，△DFE为所作； （2） 如图③，△A1B1C1为所作． 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和相似的判定，画出即可； （2）利用网格特点，延长AO到A1使A1O=2AO，延长BO到B1使B1O=2BO，延长CO到C1使C1O=2CO，从而得到△A1B1C1． 【小问1详解】 解：如图②，△DFE为所作； 由题意可得： 而， ∴△ABC与△DEF相似． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-位似变换：相似三角形的判定，掌握画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 18. 如图，，点是线段上的一点，且．已知． （1）证明：． （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求m的值； （2）用配方法解这个方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程解的定义求得m的值， （2）根据配方法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据一元二次方程的定义可得， 解得； 【小问2详解】 解：当时，方程为， 两边同除以2得：， 配方，得： ， 即： ， 直接开平方，得：， ∴，． 20. 《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度，立两根高3米的标杆和，并且建筑、标杆和在同一竖直平面内，两杆之间的距离米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，从F点观测A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G点观测A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，计算该建筑物的高度的长． 【答案】该建筑物的高度为60米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，，推出，进行求解即可解题的关键是证明三角形相似． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∴． ， 同理，， ∴， 又∵米， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 答：该建筑物的高度为60米． 21. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： （1）______；______； （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（无需证明）； （3）利用上面结论，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键． （1）第一个式子分子分母同时乘以，然后根据平方差进行计算即可，第二个式子分子分母同时乘以，同理进行计算即可； （2）利用（1）中的计算结果，找出规律求解即可； （3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【小问1详解】 解：解：原式=； 原式=． 【小问2详解】 解：由题可知：． 【小问3详解】 解：利用第小问结论得， 原式； ； ； ； ． 22. 石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1） ， （2） 每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 （3） 不可能 【解析】 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【小问1详解】 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． 【小问2详解】 根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得   整理得  因式分解得  解得  因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． 【小问3详解】 假设平均每天赢利2000元， 列方程得   整理得  判别式得  因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 23. 已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么______秒后，的长度等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）几秒后与相似？ 【答案】（1）3 （2）1秒 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质应用，找到关键描述语“的面积等于”“的长度等于”，得出等量关系是解决问题的关键． （1）利用勾股定理列出方程求解即可； （2）经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设经过t秒后，的长度等于， 由题意得，则有， ∵， ∴， 即，， 解得：（舍去）或3． 则3秒后，的长度为； 【小问2详解】 解：设经过秒以后，面积为， 此时， 由，得，， 整理得：， 解得：或（舍）； 答：1秒后的面积等于； 【小问3详解】 解：设t秒时，与相似， 则有， 当时，， ， 解得，； 当时，， ， 解得，， 综上，或后与相似． 24. 华东师大版九年级上册数学课本67页有这样一道练习题： 如图，在中，，垂足为，找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）动手实践：张老师在上课时，发现这道题是个很好的素材，可以帮助同学们回忆基本尺规作图：“过直线外一点作已知直线的垂线”，据此可以作边上的高，于是发动同学们在练习本上进行作图．现在请你利用尺规作图作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）． （2）独立思考：你发现图中存在________对相似三角形，请写出来________． （3）习题反思：爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，可以写出下列三个结论： ①，②，③． （Ⅰ）请你按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明； （Ⅱ）小亮研究“小明的发现”时，又惊喜地发现：竟然可以利用“它”来证明“勾股定理”，请你按照小亮的思路完成这个证明． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求； （2）三， （3） （Ⅰ）若选①进行证明． 证明：∵ ∴， ∴． 若选②进行证明． ∵ ∴ ∴． 若选③进行证明． ∵ ∴ ∴． （Ⅱ）证明：∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，过点作的垂线即可；； （2）利用相似三角形的性质即可证明； （3）利用（1）中结论，可得，推出； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴，且， ∴， 在和中，，， ∴， 同理可得， ∴图中所有相似的三角形有：，，； 故答案为：三，（或、、） 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质及尺规作图，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $