1.1.2.2直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆 1.2.2直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 高中数学 @demon 励志专注 请同学们站立挺拔，右手紧握拳头，声音洪亮，目视前方，一起喊出我们的口号： 顽强拼搏，超越自我；不鸣则已，一鸣惊人！ 南阳市宛城区豫阳外国语学校 1.理解并记忆直线斜率与倾斜角的关系. 2.理解并记忆直线斜率与方向向量的关系. @demon 和盘托出 知识点1：倾斜角、斜率的范围 问题1：直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是多少？ k∈(－∞,＋∞)，α∈[0,π). 问题2：如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？ 而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1， 过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有 即k＝tan α. α @demon 三学理解 如图，根据正切函数的图象变化可知， 当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大； 当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大. 当α= 时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. @demon 三学理解 归纳总结 1.直线的斜率k与倾斜角α 满足k＝tan α(其中 ). 2.斜率k与倾斜角α有如下关系： 当α∈ 时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈ 时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大. 当α＝ 时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. @demon 三学理解 知识点2：直线斜率与方向向量的关系 思考1：什么是直线的方向向量？如何求？ 直线上的向量及与之平行的非零向量称为直线的方向向量， 如果P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两个不同的点， 则 ＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量. 当x1＝x2时， ＝(0，y2－y1)是垂直于x轴的直线的方向向量. 思考2：直线的斜率与方向向量有何关系？ @demon 三学理解 1.在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量 是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量 之间的关系是 2.若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝ 归纳总结 @demon 三学理解 1、记忆背诵倾斜角与直线斜率的关系式 2、牢记直线斜率随倾斜角变化的关系 3、学会用直线的方向向量求直线斜率 @demon 强化记忆 例1:已知直线l的倾斜角为α，斜率为k. （1）若0≤α≤ ，求斜率k的取值范围； （2）若 ≤α≤ ，求斜率k的取值范围； 解:（1）由 及正切函数的性质，可得 ∴斜率k的取值范围是 （2）由正切函数的性质，可得当 时， 当 时， 当 时，斜率k不存在. 综上，斜率k的取值范围是{k|k≤-1或k≥1}. @demon 应用练习 例2:根据下列条件，求直线l的倾斜角： (1)斜率为 ; (2)经过A(－2，0)，B(－5,3)两点； (3)一个方向向量为 解:设直线l的倾斜角为α． (1)∵直线l的斜率为 ，∴tanα= 又∵0≤α<π,∴ (2)由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜率k= 又∵0≤α<π,∴ (3)由直线l的一个方向向量为 可得斜率k= 又∵0≤α<π,∴ @demon 应用练习 练习1:已知直线l的倾斜角为α，斜率为k. （1）若 ≤k≤ ，求倾斜角α的取值范围； （2）若-1≤k≤ ，求倾斜角α的取值范围. 解:（1）由 ，可得 又0≤α<π，∴由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是 （2）由 ，可得 又0<α<π，∴由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是{α|0≤α≤ 或 ≤α<π}. @demon 检测总结 练习2:直线已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的一个方向向量坐标为(2，4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________. 2 @demon 检测总结 0号作业：记忆背诵直线斜率与倾斜角的关系、直线方向向量与斜率的关系 1号作业：课本P8 1、3 2号作业：课本P8 2、4 3号作业：课本P25 A组2 作业布置 $$