15.1分式 分式的概念及性质讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

分式的概念及性质 一、.分式的概念 【知识笔记】 一般地,如果 表示两个整式,并且 中含有字母,那么式子 叫做分式. 分式 中, 叫做分子, 叫做分母。 考点 1. 分式的概念-识别 经典例题 1. 在 中,分式的个数有_____个. 巩固练习 1. 在 中,分式的个数有_____个 巩固练习 2.下列代数式中, 是分式的是( ) A. B. C. D. 二、分式有意义的条件 分 经典例题 2.要使得分式 无意义,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 巩固练习 2. 关于分式 有意义的正确说法是( ) A. 不都为 0 B. 都不为 0 C. 都为 0 D. 经典例题 3.若 无意义,且分式 的值等于零,那么 _____. 巩固练习 3-1. 使分式 有意义的 的取值范围为( ). A. B. C. D. 巩固练习 3-2. 若分式 在实数范围内无意义,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 三.、分式值为特殊值 【知识笔记】 分式有意义: 分母不为 0 , 分式无意义: 分母为 0 , 分式值为 0 : 分子为 0 , 且分母不为 0。 经典例题 1.若分式 有意义,则 的取值范围是_____. 巩固练习 1 . (1) 若分式 有意义,则 的取值范围是_____; (2) 若分式 有意义,则 的取值范围是_____. 经典例题 2.若分式 的值为 0,则 的值是 巩固练习 2. 若分式 的值为 0,则 的值是 经典例题 3. 当 时,分式 无意义; 当 时,分式的值为 0,则 _____. 巩固练习 3.当 时,分式 无意义; 当 时,分式的值为 0,则 _____. 四、式值为整数-分离常数法 考点 1. 真分式 经典例题 1. 当分式 的值为正整数时,整数 的取值可能有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 巩固练习 1-1.当 为整数,代数式 的值也是整数时, 的值为_____. 巩固练习 1-2.分式 的值是整数,负整数 的值为_____. 考点 2. 假分式-分离常数 经典例题 2. 已知 ,当 取何整数值时, 值为整数. 巩固练习 2-1. 若 取整数,则使分式 的值为整数的 值有( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 巩固练习 2-2 若分式 的值为正整数,则整数 的值有( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 经典例题 3.若正整数 使得代数式 的值为整数,则正整数 _____. 巩固练习 3-1 若分式 的值是正整数,则整数 _____. 巩固练习 3-2 先将分式 化简,再讨论 取什么整数时,分式的值是正整数. 经典例题 4. 阅读材料: 小学时, 我们学习过假分数和带分数的互化. 我们可以将一个假分数化为带分数, 如: ; 我们也可以将一个带分数化为假分数,如: 初二 (1) 班学生小杨同学根据学习分数的方法,在学习分式这一章时,对分式进行了探究: 根据探究过程, 小杨同学说, 我可以根据这一探究过程可以分析分式整数解的问题, 同学们,你们能吗? 请你帮小杨同学解答下列问题: (1) 当 为整数时,若 也为整数,求满足条件的所有 的值; (2) 当 为整数时,若 也为整数,求满足条件的所有 的绝对值之和. 巩固练习 4.我们知道, 假分数可以化为整数与真分数的和的形式, 例如: 在分式中,对于只含有一个字母的分式, 当分子的次数大于或等于分母的次数时, 我们称之为 “假分式”; 当分子的次数小于分母的次数时, 我们称之为 “真分式” 例如: 像 这样的分式是假分式; 像 这样的分式是真分式 . 类似的, 假分式也可以化为整式与真分式的和 (差) 的形式. 例如: 将分式 拆分成一个整式与一个真分式的和 (差) 的形式. 方法一:解: 由分母为 ,可设 则由 对于任意 ,上述等式均成立, ,解得 这样,分式 就被拆分成一个整式与一个真分式的和 (差) 的形式. 方法二: 解: 这样,分式 就拆分成一个整式与一个真分式的和 (差) 的形式. (1) 请仿照上面的方法,选择其中一种方法将分式 拆分成一个整式与一个真分式的和(差 ) 的形式; (3) 已知整数 使分式 的值为整数,求出满足条件的所有整数 的值. 五、分式的性质 【知识笔记】 1、分式: 形如 ( 为整式, 中含有字母且 ) 的式子叫作分式; 考点 1. 分式性质-符号变化 经典例题 1. 将分式 中的 的值同时扩大为原来的 2015 倍,则变化后分式的值( ) A. 扩大为原来的 2015 倍 B. 缩小为原来的 C. 保持不变 D. 以上都不正确 巩固练习 1. 若把分式 中的 和 都扩大 3 倍,那么分式的值( ) A. 扩大 3 倍 B. 不变 C. 缩小 3 倍 D. 缩小 6 倍 经典例题 2.下列各式中,与分式 的值相等的是( ) A. B. C. D. 巩固练习 2. _____. 考点 2. 分式性质-变形 经典例题 3.下列变形中, 正确的是 ( ) A. B. C. D. 巩固练习 3-1.下列式子中, 错误的是 ( ) A. B. C. D. 巩固练习 3-2.下列变形中, 正确的是( ) A. B. C. D. 考点 3. 分式性质-系数化整 经典例题 4. 不改变分式的值,将分式 的分子、分母的各项系数都化为整数,且分子与分母首项都不含 “-” 号:_____ 巩固练习 4.不改变分式的值,把 的分子、分母中的各项系数都化为整数:_____. 考点 4. 分式性质-约分 经典例题 5. 将下列分式约分: (1) (2) (3) (4) 巩固练习 5 . (1) 约分: ; (2) 约分: 考点 6. 最简分式的识别 经典例题 6.下列分式中, 最简分式是( ) A. ; B. ; C. ; D. 巩固练习 6.下列分式为最简分式的是( ) A. B. C. D. 六、.分式的乘方与乘除运算 【知识笔记】 1、分式的乘除法法则 (1)乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母 . (2)除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘 . 2 、分式的乘方法则 乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方. 注意: 其中 是正整数. 经典例题 1. 计算 的结果为( ) A. B. C. D. 巩固练习 1.计算: 经典例题 2.计算: (1) ; (2) ; 巩固练习 2. 化简与计算: 经典例题 3.计算:(1) (2) 巩固练习 3.计算: . 经典例题 4. 化简: . 巩固练习 4-1 计算: 巩固练习 4-2 计算: . 经典例题 5.计算: (1) (2) 巩固练习 5.计算: (1) (2) (2) (4) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$