精品解析：广东省佛山市顺德区第一中学西南学校2024-2025学年九年级上学期第四次轮测数学试卷

九上第四次数学轮测 一、单选题 1. 已知是成比例线段，其中，则（ ） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 2cm或8cm 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 3. 如图，直线，直线m分别与a、b、c交于点A、C、E，直线n分别与a、b、c交于点B、D、F，若，则（　　） A. 3 B. 4 C. D. 4. 做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（　　） A. 0.22 B. 0.42 C. 0.50 D. 0.58 5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段相交于点，连接，则下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点分别在边上，是的中点，连接并延长交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题 11. 已知，且，则________． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则___________． 13. 在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n=_____． 14. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有个人患了新冠，经过两轮传染后共有个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染人，则的值为______． 15. 如图，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为______． 三、解答题 16. 解下列方程. （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 18. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点F． （1）求与周长之比； （2）如果的面积为20，的面积为8，求四边形的面积． 19. 在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中将绕点C顺时针旋转，画出旋转得到的； （2）在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） （3）在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 20. 如图，在中，，为的中线，，且，连接． （1）求证四边形为菱形． （2）连接，若求的长． 21. 某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？ 22. 如图1，骰子有六个面，点数分别为1，2，3，4，5，6，如图2，正六边形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则：游戏者掷一次骰子，骰子向上的一面上的点数是几，就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈F； 设游戏者从圈A起跳． （1）小明随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率． （2）小亮随机掷两次骰子，用列表或画树状图的方法求最后落回到圈A的概率，小亮与小明落回到圈A的可能性一样吗？ 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 24. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上第四次数学轮测 一、单选题 1. 已知是成比例线段，其中，则（ ） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 2cm或8cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的定义：若四条线段，，，有，那么就说这四条线段成比例．根据比例线段的定义得到，然后把，，，代入进行计算即可． 【详解】解：∵线段，，，成比例线段， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 3. 如图，直线，直线m分别与a、b、c交于点A、C、E，直线n分别与a、b、c交于点B、D、F，若，则（　　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 4. 做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（　　） A. 0.22 B. 0.42 C. 0.50 D. 0.58 【答案】B 【解析】 【分析】在试验次数不多的情况下，“凸面向上”出现的频率约等于概率． 【详解】∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次， ∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为＝0.42， 故选B． 【点睛】本题考查概率的相关知识．在试验次数不多的情况下，“凸面向上”出现的频率约等于概率． 5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 6. 如图，线段相交于点，连接，则下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握其判定定理是解决此题的关键．根据两个三角形相似的判定定理来判断：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．即可分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴当 或时， ∴， 故 A、B 选项可判断两三角形相似； 当 时，结合， ∴，故 D 能判断两三角形相似； 当 时，没有夹角相等，不可证明，故C不 能判断两三角形相似； 故选：C． 7. 如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质得到，再由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， 故选：B． 8. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 9. 如图，在中，点分别在边上，是的中点，连接并延长交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，注意熟练运用三角形相似的判定与性质．过F作的平行线交与G，可得出，根据得出，即可得出的值． 【详解】解：过F作的平行线交与G， ∵，F是的中点， ∴，， ， 又∵， ∴， ， ∴ ， ， 故选：B． 10. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴∠EAG=∠BAD=90° 又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD ∴①正确 ②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴AD=DC，AG=FG ∴AC=AD，AF=AG ∴， 即 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC ∴∠DAG=∠CAF ∴ ∴②正确 ③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线 ∴∠AFH=∠ACF=45° 又∵∠FAH=∠CAF ∴△HAF∽△FAC ∴ 即 又∵AF=AE ∴ ∴③正确 ④由②知 又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线 ∴∠ADG=∠ACF=45° ∴DG在正方形另外一条对角线上 ∴DG⊥AC ∴④正确 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明． 二、填空题 11. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等比性质的应用，若，且，则，熟练掌握等比性质是解题关键. 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于已知方程有两个相等的实数根，所以利用一元二次方程的根的判别式，建立关于m的方程，解方程即可求出m的取值．本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n=_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，故球的总个数为6+4+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可． 【详解】解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n， ∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为， ∴ ， 解得，n=5． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 14. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有个人患了新冠，经过两轮传染后共有个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染人，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 15. 如图，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法．根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：当， ∴， 设， ， ， 解得；经检验符合题意； ∴， 当， ∴， 设， ， ， 解得；经检验符合题意， 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 三、解答题 16. 解下列方程. （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的值，再代入公式求出即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 ， 解：a＝1，b＝﹣4，c＝2， ∴，. ∴x＝＝， ∴，； 【小问2详解】 x（x﹣1）＝2（1﹣x）， 解：x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x+2）＝0， ∴x﹣1＝0或x+2＝0， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， ， 则方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入计算即可求出的值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：，， ， ，即， 整理得：， 解得：或． 18. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点F． （1）求与周长之比； （2）如果的面积为20，的面积为8，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，，则，由相似三角形的性质即可求得答案； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出，进一步即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 则与周长之比为． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形BEFC的面积． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中将绕点C顺时针旋转，画出旋转得到的； （2）在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） （3）在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【答案】（1） 如图1中，即为所求； （2） 如图2中，即为所求； （3） 如图3中，点M即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识， （1）根据要求画出旋转得到的即可，旋转后得到的的边和原三角形对应的边应成角； （2）根据直角边的比为2，构造相似三角形即可； （3）根据相似三角形的性质画出图形，作出点M即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：略． 20. 如图，在中，，为的中线，，且，连接． （1）求证四边形为菱形． （2）连接，若求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可得出结论； （2）连接，根据菱形的性质得出，，，利用含角的直角三角形及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）35元． 【解析】 【分析】（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个，列一元二次方程，求解即可； （2）设每个降价元，根据商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设2、3这两个月销售量的月平均增长率为， 则：， （舍），， 答：2、3这两个月销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每个降价元， 则：， 整理得：， 解得：（舍），， 所以售价元 答：售价定为35元在4月份可获利4200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键． 22. 如图1，骰子有六个面，点数分别为1，2，3，4，5，6，如图2，正六边形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则：游戏者掷一次骰子，骰子向上的一面上的点数是几，就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈F； 设游戏者从圈A起跳． （1）小明随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率． （2）小亮随机掷两次骰子，用列表或画树状图的方法求最后落回到圈A的概率，小亮与小明落回到圈A的可能性一样吗？ 【答案】（1） （2）小亮与小明落回到圈A的可能性一样 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到36种等可能的结果，再找出两数的和为6的倍数的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 （1）掷一次骰子，有6种等可能结果，只有掷到6时，才会回到A圈， ∴落回到圈A的概率； 【小问2详解】 列表如下， 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 所有等可能的结果共有36种，当两次掷得的数字和为6的倍数， 即6，12时，才可落回A圈，共6种， ∴． ∴小亮与小明落回到圈A的可能性一样． 【点睛】本题主要考查了用列表法 （或画树形图法）求概率，正确列表（或画树形图法）是解题的关键． 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）5； （3）10 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 24. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：∵， （2）18； （3）． 【解析】 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是平行四边形， 设，则 （舍）， 设 ， 则 ， （舍去）， 【小问3详解】 解：如图， 延长 ，交于点 ， 设则 ∵四边形 是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴ (舍去)， ∴， 即菱形 的边长为 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $