11.1.1 三角形的边——三角形的三边关系专题讲义 2024—2025学年人教版数学八年级上册

三角形的三边关系专题 一、例题讲解 1.已知a、b、c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2，a-b=2c-6，求c的取值范围。 分析：本题考查知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。本题易错点：在于三角形两边之差小于第三边，只考虑题目中出现的一种情况。我们不知道a与b哪个大哪个小，如果a>b，那么a-b>0，a-b=2c-6<c；如果a<b，那么a-b<0，b-a>0，b-a=6-2c<c。所以，要构建三个不等式。 解：由三角形的三边关系可得： 解不等式组得2<c<6. 所以c的取值范围为2<c<6. 2.三边均不相等的三角形三边a、b、c，如果满足a-b>b-c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”。例如一个三角形三边分别为9、7、6，因为9-7>7-6，所以这个三角形为"不均衡三角形"。 (1).以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 . ①4cm、2cm、1cm. ②13cm、18cm、9cm. ③19cm、20cm、19cm. ④9cm、8cm、6cm. 分析：①不能构成三角形.②18cm-13cm>13cm-9cm.满足a-b>b-c.③为等腰三角形与“三边均不相等”不符.④9cm-8cm<8cm-6cm.不能满足a-b>b-c.因此选② (2).已知“不均衡三角形”三边为2x+2、16、2x-6(x为整数).求x的值.解：①当2x+2>16>2x-6时 解得9<x<11. 又因x为整数. 所以x=10 ②当16>2x+2>2x-6 不等成组无解 ③当2x+2>2x-6>16时 解得11<x<15. 又因x为整数. 所以x可取12.13,14. 综上：x的值为10或12或13或14. 3. 已知a、b、c是三角形的三边长，化简:|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|。 解：∵三角形任意两边之差小于第三边 ∴a-b<c，b-c<a，c-a<b ∴a-b-c<0，b-c-a<0，c-a-b<o ∴|a-b-c|=-(a-b-c)，|b-c-a|=-(b-c-a)，|c-a-b|=-(c-a-b) ∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=[-(a-b-c)]+[-(b-c-a)]+[-(c-a-b)]=a+b+c. 4.已知△ABC的三条边长分别为a、b、c，化简:|a-b-c|-|c-a+2b|。 解：∵三角形任意两边之差小于第三边. ∴a-b<c ∴a-b-c<o ∴|a-b-c|=-(a-b-c) 又∵三角形任意两边之和大于第三边 ∴b+c>a ∴b+c-a>0 ∴ 2b+c-a>0 即c-a+2b>0 ∴|c-a+2b|=c-a+2b ∴|a-b-c|-|c-a+2b|=[-(a-b-c))-(c-a+2b)=-b 二、针对训练 1.已知△ABC中，点D是△ABC内任意一点。求证：AB+AC>BD+DC 2. 已知△ABC中，D、E是△ABC内两点。求证：AB+AC>BD+DE+EC 3.已知点0是△ABC内一点，求证：0A+0B+0C>(AB+BC+CA) 8.已知点P是△ABC内一点，求证：AB+AC+BC>PA+PB+PC 学科网（北京）股份有限公司 $$