2025届浙江省杭州市高三一模数学试题

2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分,考试时间120分钟. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域(黑色边框)内作答,超出答题区域的作答无效! 3.考试结束,只需上交答题卡. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置。 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 2.函数是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 3.已知直线是双曲线的一条渐近线,则的离心率等于( ) A.B.C. D.或 4.将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则"是偶函数"是""的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知向量,若,则( ) A.1或B.-2或C.-1或2D.-2或1 6.设,满足.若函数存在零点,则( ) A.B.C.D. 7.已知,则( ) A.1B.C.D.2 8.对,不等式恒成立,则( ) A.若,则B.若,则 C.若,则D.若,则 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分。每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分。 9.如图,在正方体中,为底面的中心,为所在棱的中点,为正方体的顶点.则满足的是() A. B. C. D. 10.已知函数,则() A.若,则 B.若,则 C.若,则在(0,1)上单调递减 D.若,则在(1,3)上单调递增 11.已知函数的定义域为,若,则() A.B. C.D. 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。 12.函数在点(e,1)处的切线的斜率等于_____. 13.已知复数的实部和虚部都不为0,满足①②.则_____,_____.(写出满足条件的一组和) 14.已知双曲线都经过点(1,1),离心率分别记为,设双曲线的渐近线分别为和.若,则_____. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知在中,. (1)判断的形状,并说明理由; (2)若点在边上,且.若,求的面积. 16.(15分) 在直角坐标系中,抛物线的焦点为,点在抛物线上,若的外接圆与抛物线的准线相切,且该圆的面积为. (1)求的方程; (2)若点(-1,1)关于直线对称的点在上,求的值. 17.(15分)一设随机变量所有可能的取值为,且.定义事件的信息量为,称的平均信息量为信息熵. (1)若,求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时,要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多,复杂程度最大,概率分布最均匀,这才是风险最小(最合理)的决定.证明:,并解释等号成立时的实际意义. (参考不等式:若,则) 18.(17分) 已知函数. (1)若,求的单调区间; (2)若,求证:; (3)若使得, 求证:. 19.(17分) 已知正项有穷数列,设,记的元素个数为. (1)若数列,求集合,并写出的值; (2)若是递增数列或递减数列,求证:”的充要条件是“为等比数列”; (3)若,数列由这个数组成,且这个数在数列中每个至少出现一次,求的取值个数. 学科网（北京）股份有限公司 $$