专题06 相似三角形的经典模型专项训练（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题06 相似三角形经典模型专项训练（13大题型+15道拓展培优） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 一线三等角型相似 题型十一 手拉手型相似 题型十二 动态相似 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 1．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，点分别在边上，．若，则的长为（   ） A．4 B．10 C．12 D．16 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（23-24秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 2．（北京市昌平区回龙观东西学区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷）如图，在菱形中，点E在边上，与交于点F．若，，，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F是边上一点，连接交于点G，． ①试说明； ②若，，求的值．    【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（23-24·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 2．（2020·江苏苏州·二模）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（23-24秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ）      A．3 B． C． D． 2．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（23-24秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．    （1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为 ； （2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为 ． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是 ． 3．（23-24九年级上·四川内江·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【例6】（23-24秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ） A. B．2 C. D．2 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在矩形中，过点作，垂足为，设，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，在中，是斜边上的高，，，那么 ． 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例7】（23-24秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 1．（23-24九年级上·山东泰安·学业考试）如图，直角梯形中，，，，E为梯形内一点，且，将绕C 点旋转使与重合，得到，连交于M．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交AB于点P，若，则的长为 ． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在的内部，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)延长交直线于点． ①如图2，当点与点重合时，直接用等式表示线段，和的数量关系为 ； ②如图3，当点为线段中点，且时，猜想的度数并说明理由． 【经典例题八 k字型相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例8】（23-24秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（23-24秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． (1)尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明 (2)应用拓展：如图2，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．，，求的长； 【经典例题十 一线三等角型相似】 【例10】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 1、（23-24九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 2、（2024·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    3、（2024·河南周口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【经典例题十一 手拉手型相似】 【例11】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 1、（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（　　） A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰ 2、（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 3、（2024·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【经典例题十二 动态相似】 【例12】（23-24春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．    1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 2（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【经典例题十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等）】 倒数型 仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型分析： ∵AF∥DE∥BC， ∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC ∴，． ∴ 即 ∴（两边同时除以DE） 【例13】（2024春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 3．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形中，，垂足为点，分别交及的延长线于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中， 平分 ，按如下步骤作图：第一步，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径在 两侧作弧，交于 ， 两点；第二步，连接 ，分别交 ， 于点 ，；第三步，连接 ，．若 ，，，则 的长是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（   ） A．2 B．6 C．8 D．12 4．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，中，，，点是的中点，连接交于点．若，，则的长为（   ） A．16 B．24 C．20 D．12 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在矩形中，，E是的中点，连接，过点D作于点F． （1）线段的长为 ； （2）连接，若交于点M，则 ． 8．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）正方形中，，点F为射线上一动点，，垂足为E，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 10．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，于点E，于点F，，相交于点H，，的延长线相交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 13．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，是边上的高，． (1)当四边形为正方形时，求正方形的边长？ (2)当四边形为长方形，并且长是宽的2倍时，求长方形的长与宽． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动；点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒钟，与相似？ 15．（24-25九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形经典模型专项训练（13大题型+15道拓展培优） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 一线三等角型相似 题型十一 手拉手型相似 题型十二 动态相似 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 1．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，点分别在边上，．若，则的长为（   ） A．4 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，得，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m． 【答案】3 【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB， ∵△PAB∽△PCD， ∴，（相似三角形对应高之比是相似比） 即：， 解得PF＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（23-24秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△ABG∽△CFG， ∴＝ ∵△ABE∽△DFE， ∴＝， ∵AE＝2ED， ∴AB＝2DF， ∴＝， ∴＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题． 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质和中点定义得出，证明，根据相似三角形的面积等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（北京市昌平区回龙观东西学区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷）如图，在菱形中，点E在边上，与交于点F．若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，首先证明是等边三角形，得，求得，再证明，可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F是边上一点，连接交于点G，． ①试说明； ②若，，求的值．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】问题探究：根据矩形的性质可得，，根据点分别是的中点，可得，即可求证； 问题拓展：①取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； ②过点作，则四边形是矩形，连接，设，则，，可得，，又可得垂直平分，得到，，即可证明，得到，，进而由①，可得，设，则，，即可由得到，即可证明，得到，即可得． 【详解】解：问题探究：四边形是矩形， ∴，， ∵分别是的中点 ， ∴， 即， ∴； 问题拓展：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接，过点作，则四边形是矩形，，    ∵，， ∴设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由①，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（23-24·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据梯形中位线定理可得，，根据，设，则，根据相似三角形的判定和性质求出 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得，进而可得结论． 【详解】解：∵，是梯形的中位线， ，， ， 设，则， ， ， ∴， ∴， 且E为的中点， ∴， ∴， ， 同理可得：， ， ， ， ， 的面积为1， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ， 故选：C． 2．（2020·江苏苏州·二模）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ． 【答案】5 【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值 【详解】解：如图所示：过点C作，且，连接FG， 设，则, 当点A、F、G三点共线时，的最值小， ∵，且， ∴四边形CEFG是平行四边形； ∴，， 又∵点A、F、G三点共线， ∴， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵， ∴四边形AECF是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 又∵，，则， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得， ，所以 ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴，即最小值是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证矩形是正方形，得，，再证，得，结合中点及正方形的性质即可得证； （2）延长交的延长线于点，由，得，证明，得即，从而，同理，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点； （2）解：延长交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形，点是的中点， ，， ，， ， 即， ， ， 同理可证：， ， ， ． 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（23-24秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． （1） 解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2） ①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ）      A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】过D做于点H，由正方形ABCD的性质，通过证明和计算得到，再通过证明从而求得CE的长． 【详解】如下图，过D做于点H      ∴ ∵正方形ABCD ∴ 且 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴   又∵正方形ABCD ∴ ∴ ∵于点G ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 方法二： ∵∠BEC+∠FCD=90°， ∠DFC+∠FCD=90°， ∴∠BEC=∠DFC， 又∵∠CDF=∠BCE, BC=CD, ∴△BCE≌△CDF， ∴CE=DF=4-1=3; 【点睛】本题考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似三角形的性质，从而完成求解． 2．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（23-24秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．    （1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为 ； （2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为 ． 【答案】 【分析】（1）根据，判定，根据矩形的性质，相似三角形的相似比等于对应高之比计算即可． （2）设，根据，判定，用x表示，构造面积的二次函数，根据二次函数的最值判定计算即可． 【详解】解：（1）如图，过作于，交于，    ∵正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． （2）如图，过作于，交于， ∵矩形， ∴，， ，， ∴， ∴，    设，则， 同理：， ∴，则， 设矩形的面积为y， 则． ∴当时，面积最大，此时，， 故当矩形的面积最大时，这个矩形的边长． 故答案为：， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握相似三角形的判定和性质，构造二次函数求最值是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质得到，代数求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设的重心是，连接，延长交于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的重心，平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．根据平行可推导出，根据相似三角形的性质可得，代入数据可得结论． 【详解】解：， ， ，即， 解得， ， ∴矩形的周长为 ， 故答案为: ． 3．（23-24九年级上·四川内江·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据中位线的性质得到，再证明，可得三角形，利用面积之差，即可解答； （2）设，同（1）中原理表示出，再列方程，即可求得的值，即可解答． 【详解】（1）解：E 、F是中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 四边形为矩形， ， ， ， 是三角形的高， ，即 ， ， 可得方程， 解得， ， 矩形的面积为． 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【例6】（23-24秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ） A. B．2 C. D．2 【解析】∵AD∥BC， ∴∠ADF＋∠FCB＝180°. 根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3， ∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°， ∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°， ∠DFE＝∠EFC＝90°， ∴∠FDE＝∠FEC， ∴△DEF∽△ECF， ∴＝， ∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15， ∴EF＝.故选A. 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在矩形中，过点作，垂足为，设，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法．由矩形的性质得，则，所以，则，再证明，得，则，所以，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ， 整理得， 或（不符合题意舍去）， ， 故答案为：A． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，在中，是斜边上的高，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由中，是斜边上的高，得，证明，最后相似三角形的性质即可求解，熟练掌握运算相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】∵在中，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 解得：（负根舍去）． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例7】（23-24秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】由“HL”可证Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI=∠DAI，由余角的性质可得∠IAH=∠AID，可证IH=AH，通过证明△ADI∽△CDA，可得，可求DI=1，即可求解． 【详解】解：如图，连接AI，AC， ∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG， ∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°， 在Rt△AGI和Rt△ADI中， ， ∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL）， ∴∠GAI＝∠DAI， ∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI， ∴∠IAH＝∠AID， ∴IH＝AH， 又∵IH＝HC， ∴IH＝HC＝AH， ∴∠IAC＝90°， ∴∠DAI+∠DAC＝90°， 又∵∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠DAI＝∠DCA， 又∵∠ADI＝∠ADC＝90°， ∴△ADI∽△CDA， ∴， ∴， ∴DI＝1， ∴CI＝ID+CD＝5， ∴IH＝IC＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 1．（23-24九年级上·山东泰安·学业考试）如图，直角梯形中，，，，E为梯形内一点，且，将绕C 点旋转使与重合，得到，连交于M．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；由旋转的性质得 ，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理求出，即可求解；掌握相关是判定方法及性质，证出是解题的关键． 【详解】解：将绕C 点旋转使与重合， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交AB于点P，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点．由勾股定理得，由旋转的性质可证是等腰直角三角形，再证明是等腰直角三角形得．然后证明，利用相似三角形的性质得，然后根据求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ． 将绕点顺时针方向旋转得到， ， 是等腰直角三角形， ； 又， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， ，即， ∴． 又， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在的内部，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)延长交直线于点． ①如图2，当点与点重合时，直接用等式表示线段，和的数量关系为 ； ②如图3，当点为线段中点，且时，猜想的度数并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②，见解析 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质可得，，再根据旋转性质可得，，即可得出，然后根据“边角边”证明，最后根据“全等三角形的对应边相等”可得答案； 对于（2）①，先由（1）得：，，，再根据等边三角形的性质得，再根据得出答案； ②连接，作，根据等边三角形的性质可得，及，可证明，即可得，，进而得出，接下来证明，可得，然后由（1）得：，可得，即可得出答案. 【详解】（1），理由如下： 是等边三角形， ，， 是由绕点逆时针旋转得到的， ，， ， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①由（1）得：，，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②如图， ，理由如下： 连接，作于， ， 是的中点，是等边三角形，是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，旋转的性质等，构造全等（相似）三角形是解题的关键． 【经典例题八 k字型相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例8】（23-24秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设，则，可得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（23-24秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于点，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据折叠的性质及矩形的性质推出，，，，则，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于点，    ， ， ， ， ， 设，则， 由折叠可知，，，，，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键． 1．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，由折叠性质得，，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．求得，并且证明是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，， ，， ， ，， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． (1)尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明 (2)应用拓展：如图2，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．，，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，，从而证明，得，再利用等腰三角形的判定证，即可得证； （2）由折叠的性质得，，结合（1）可知，，从而由比例的性质得，利用勾股定理得，从而得即可得解． 【详解】（1）证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，， 由（1）可知，， 又∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 【经典例题十 一线三等角型相似】 【例10】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，    ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 1、（23-24九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 2、（2024·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）发生变化，． 证明：由（1）得，，， ∴， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键． 3、（2024·河南周口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ． 由有，∽， ， ， ， 如图4图5图6，连接EF． 在中，，， ， 如图4，当E在线段AC上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在AC延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在CA延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 【经典例题十一 手拉手型相似】 【例11】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果； （3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长． 【详解】（1）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题． 1、（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（　　） A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰ 【答案】A 【详解】因为∠ACB=90°，AC︰BC=3︰4，则 因为∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE， 得△ABC △ADE， 得 ， ， 则， . 故选A. 2、（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证即可求证； （2）利用全等三角形的性质可得的度数；在上取点F，使，根据（1）中证明过程可证，即可求解； （3）过点Q作于G，设，根据重心的性质可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 3、（2024·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为． 【分析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论； （2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论； （3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论． 【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P， ∴∠PQB=90°． ∵∠MQN=90°， ∴∠NQP=∠MQB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO， ∴∠DPQ=45°，DQ=PQ， ∴∠DPQ=∠DBC=45°， ∴△QPN∽△QBM， ∴， ∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD， ∴DO=2DQ，DP=DC， ∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC， ∴BQ=3PQ， ∴， ∴NP=BM， ∴DN+BM=BC； （2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H， ∴∠BQH=∠DQH=90°， ∴∠BHQ=45°， ∵∠COB=90°， ∴QH∥OC， ∵Q是OB的中点， ∴BH=CH=BC， ∵∠NQM=90°， ∴∠NQD=∠MQH， ∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°， ∴∠QND=∠QMH， ∴△QHM∽△QDN， ∴， ∴HM=ND， ∵BM-HM=HB， ∴BM−DN=BC． 故答案为：BM−DN=BC； （3）∵MB：MC=3：1，设CM=x， ∴MB=3x， ∴CB=CD=4x， ∴HB=2x， ∴HM=x． ∵HM=ND， ∴ND=3x， ∴CN=7x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ED∥BC， ∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF， ∴， ∴， ∴DE=x， ∴， ∵NQ=9， ∴QM=3， 在Rt△MNQ中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 设EF=a，则FM=7a， ∴， ∴． ∴EF的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键． 【经典例题十二 动态相似】 【例12】（23-24春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．    【答案】 【分析】如图，设交于点Q，设，.利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性质求出（用k表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点Q，设，    ， ∴可以假设，， 点是的中点， ， ∵四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ，， 由翻折的性质可知， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 2（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 【答案】5或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，能与相似． ∵， ，点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒， ∴，，， 当时，则即， 解得； 经检验，是方程的根； 当时，则即， 解得，； 经检验，，都是方程的根； 但是舍去， 故， 故答案为：5或． 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)时，的面积为16cm2 (2)或时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】（1）由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案； （2）由，可得当或时，以，，为顶点的三角形与相似，再代入值计算即可． 【详解】（1）解：运动结束的时间为：， ， 由题意知，，， ， 的面积为，即， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，的面积为； （2）， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似， 或， 解得：或， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，矩形的性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 【经典例题十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等）】 倒数型 仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型分析： ∵AF∥DE∥BC， ∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC ∴，． ∴ 即 ∴（两边同时除以DE） 【例13】（2024春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 【答案】证明： 分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G 则（模型结论）． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点F作交延长线于点，则，证明，则，故，则，在中，由勾股定理得，继而； （2）在上取点，使得，连接，同上可知，则可证明，则，设，则，设，故，在中，由勾股定理得，解得，那么，故； （3）在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则，可证明，则，，设菱形的边长为，则，在中，，则，，可求出，由，得到，求出，，在中，设，则，，那么，则，故，则． 【详解】解：过点F作交延长线于点，则， 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （2）解：在上取点，使得，连接， 同上可知， ∴ ∴， ∴设， 则， ∵， 设， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 化简得：， ∴ ∴； （3）解：在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 同上可得：， ∵， ∴， ∴， 设菱形的边长为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设 ∵，则， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，难度较大，解题的关键是在于构造全等三角形和相似三角形． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，“度比坐标”为 (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，再由，，即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴于，连接，根据点到关于点的“度比坐标”为，求出点的坐标为；再由若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同，推出，即可推出，证明，求出，得到点的坐标为，由此求解即可； （3）分两种情况，①如图所示，过点作轴于，过点作轴于，根据点到关于点的“度比坐标”为，得到，；证明，得到，设点的坐标为则，，求出点的坐标为，则，②当在第三象限，在第四象限时，如图过点作轴于点，过作轴于点，同第一种情况，设点的坐标为，则，，同理算出点的坐标为，再代入直线的解析式，得到的值，进而得到点坐标，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线：分别与轴，轴相交于，两点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到关于点的“度比坐标”为； （2）如图所示，过点作轴于，连接， ∵点到关于点的“度比坐标”为． ∴， ∴， ∴点的坐标为； ∵若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同． ∴，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）有两种情况， ①当在第二象限，在第一象限时，如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵点到关于点的“度比坐标”为， ∴，； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为则，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． ②当在第三象限，在第四象限时，如图，过点作轴于点，过作轴于点， 同第一种情况，可设点的坐标为，则，， 同理可得到点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴综上点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，解题的关键在于能够准确理解题意并分类讨论求解． 3．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据相似三角形的判定与性质即可求解； （）根据相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：同理可证：，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ∴． 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形中，，垂足为点，分别交及的延长线于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，连接BD，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中， 平分 ，按如下步骤作图：第一步，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径在 两侧作弧，交于 ， 两点；第二步，连接 ，分别交 ， 于点 ，；第三步，连接 ，．若 ，，，则 的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质．首先根据尺规作图可得知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到相等的角和边，根据角平分线的性质可证，利用ASA可证，根据全等三角形的性质可证四边形是菱形，从而可证，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度，再根据求出结果． 【详解】解：如下图所示，设交于点O； 由作图可知是的垂直平分线， ，，， 又平分， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是菱形， ∴， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（   ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 设正方形边长为，则，证明四边形是矩形，得出，证明，得出，即，解出的值即可． 【详解】解：设正方形边长为，则， ∵正方形内接于上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ， ， ， ，即， 解得：， ∴正方形的周长为8， 故选：C． 4．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，中，，，点是的中点，连接交于点．若，，则的长为（   ） A．16 B．24 C．20 D．12 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，延长与交于点，根据可得，，，即可由求出的长． 【详解】延长与交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．设交于点，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，接着证明，，得到 ，，则，即，再证明，得到，即，再求解即可． 【详解】解：设交于点，如图， ，，， ， ， ， 将绕着边上的点旋转得到， ，，，， ， ，， ，， ，， ， 即， ， ， ， ，即， 解得． 故选：C 二、填空题 6．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．易知，的长等于正方形的边长，正方形的边长即的长，已知和的长，可用表示出来，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，． 四边形是正方形， ． ． 又， ∴， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，，， ， 解得． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在矩形中，，E是的中点，连接，过点D作于点F． （1）线段的长为 ； （2）连接，若交于点M，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理． （1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可； （2）延长交的延长线于K，利用相似三角形的性质求出，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，画出图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴； 故答案为：； （2）若交于点M，延长交延长线于点K，如图所示： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，由全等三角形的性质得，，而，则，所以，则，可判断①正确；由，且，得，可判断②正确；证明，得，则，所以，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ，，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ，且， ， 故②正确； ，， ， ， ，， ∴， ， ， ， 故③正确， 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）正方形中，，点F为射线上一动点，，垂足为E，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）先证明得到； （2）由可证明，得到，得到，当最小时，最小，当且仅当OEC三点共线时，取得最小值， 此时，，则的最小值为，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）∵正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点O，则，连接， ∵， ∴当且仅当O、E、C三点共线时，取得最小值， 此时，， ∴的最小值为， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线求线段最值是解题的关键． 10．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，于点E，于点F，，相交于点H，，的延长线相交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】①由等腰三角形的性质得，由勾股定理即可求证；②由同角的余角相等得，由平行四边形的性质得，即可求证；③由判定，由全等三角形的性质得，由平行四边形的性质得，即可求证；④由勾股定理，即可求证；⑤由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求证． 【详解】解：①，， ， ， ， 故①正确； ②， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故②正确； ③， ， 在和中， ， ()， ， 四边形是平行四边形， ， ； 故③正确； ④， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定成立； 故④错误； ⑤， ， ， ， ， ， ； 故⑤正确． 故答案：①②③⑤． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质和已知条件得到，据此证明，根据相似三角形的性质即可证明； （2）求出，再证明，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：；探究2：见解析；探究3： 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 13．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，是边上的高，． (1)当四边形为正方形时，求正方形的边长？ (2)当四边形为长方形，并且长是宽的2倍时，求长方形的长与宽． 【答案】(1) (2)长方形的长与宽分别为和或和 【分析】（1）根据四边形为正方形，是边上的高，可得四边形是矩形，得到，设，则，进而得到，证明，由相似三角形的性质可得出，代入解方程即可； （2）同理（1）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形，是边上的高， ，， 四边形是矩形， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴正方形的边长为； （2）解：同理（1）得四边形是矩形， ， 四边形为长方形，且长是宽的2倍， 当时，则， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：，则， ∴长方形的长和宽分别为和； 当时，则， 设，则， 同理得：， ， 解得：，则， ∴长方形的长和宽分别为和； 综上，当四边形为长方形，并且长是宽的2倍时，长方形的长与宽分别为和或 和． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动；点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒钟，与相似？ 【答案】经过秒或秒钟，与相似 【分析】本题考查相似三角形的性质，设经过秒钟时，与相似，得到，，，讨论对应边的不同，分别利用相似三角形对应边成比例，建立方程求解即可． 【详解】解：设经过秒钟，与相似． 由题意得，， ，， ， 与相似， 当与对应时，有，即，解得， 当与对应时，有，即，解得， 综上所述，经过秒或秒钟，与相似． 15．（24-25九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，等边三角形的判定和性质： （1）证明，即可求解； （2）过点E作于点G，延长至点H，使，连接，先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，再证明是等边三角形，可得，然后证明，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为： （2）如图，过点E作于点G，延长至点H，使，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴部件四边形的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$