精品解析：浙江省宁波市 四校（鄞州实验、东钱湖、曙光、海三外）2024-2025学年上学期联考八年级数学期中测试卷

2024学年第一学期八年级数学学科期中测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 3. 一个不等式的解集为x≤1，那么在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上数的大小关系解答． 【详解】解：解集为x≤1，那么在数轴上表示正确的是C， 故选：C． 【点睛】此题考查利用数轴表示不等式的解集，正确掌握数轴上数的大小关系及表示解集的方法是解题的关键． 4. 如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：， ， ， 添加， ， 故选项不符合题意； 添加， ， 故选项不符合题意； 添加， ， 故选项不符合题意； 添加，不能判定， 故选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 6. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， ∴能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 7. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 【详解】 由折叠得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 故选A. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 8. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 9. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 10. 将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A. B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键． 利用等腰三角形的性质可以得到，设为，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题． 【详解】解：如图，设为为为，图2中的余角为， ∵为等腰三角形，， ， ， ， 结合两图，可得， 设为， 根据勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “x的2倍与3的差是负数．”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，理解题意，能根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 13. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 14. 如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P， 在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15. 对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． 根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 16. 如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则_______（用含k的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，设，，求出，，之间的关系式，从而求得面积比． 【详解】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成， ∴设，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共52分） 17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将解集表示在数轴上如图： ． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 18. 如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】 证明：， ，即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】略 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的高线． （2）在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积． （3）在图③中画，使，其中点F不与点A重合． 【答案】（1） 如图①所示，线段即为所求； （2） 如图②所示，线段即为所求； （3） 如图③所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了利用网格作图，三角形的高线、中线及性质，三角形的面积，全等三角形的判定． （1）根据三角形高的定义作出图形； （2）找到的中点，连接即为的中线； （3）取格点F，再连接、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，已知，相交于点，且，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜边直角边分别对应相等证明即可； （2）利用全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 又， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握“利用证明两个直角三角形全等”是解本题的关键． 21. 已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出方程组的解，再根据“为负数，为非正数”列不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质得到，进而求出的取值范围，再求整数解即可． 【小问1详解】 解：解方程组得 ∵为负数，为非正数， 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵的解集为 当为或时，不等式的解集为． 22. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． （2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点， ，，， 是边上的中线，， 又∵， 由勾股定理得：， ， 是“梦想三角形”； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了“梦想三角形”的定义，等腰三角形三线合一，三角形中线的性质，勾股定理， （1）过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度，可知，即可证明； （2）分两种情况：①当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案；②当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，若是“梦想三角形”， ∵直角三角形斜边中线等于斜边一半， ∴只能是直角边的中线等于对应的直角边， 有以下两种情况： ①当边上的中线时，， 此时，， ②当边上的中线时，， 此时，，即， 解得：（负数值舍去）， 综上所述，或． 23. 背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！目前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务.近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件商品，8件商品，共需要2400元；若买8件商品，5件商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元? 任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中商品购买件；①若使用无人机配送商品，共需要_____元； ②若不使用无人机配送商品，共需要______元．（结果均用含的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 【答案】任务1：该商店在无促销活动时，商品的销售单价是160元，商品的销售单价是200元 任务2：①，② 任务3：当时，使用无人机配送商品更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、代数式的应用及一元一次不等式的解法，涉及知识点包括方程组的建立与求解、代数式的化简与应用、不等式的性质及其应用；解题的关键在于准确建立数学模型，通过方程组求解商品单价，利用代数式表达不同促销方案下的总费用，并通过不等式确定最优选择，整个过程需注重逻辑推理与数学运算的准确性． 任务1：通过设未知数，利用无促销活动时两种购买组合的总价建立二元一次方程组，求解得到A、B商品的销售单价； 任务2：先确定购买B商品的数量为件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1求得的单价，分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a的代数式表示； 任务3：根据“使用无人机配送更合算”这一条件，建立一元一次不等式，求解不等式并结合的范围，确定购买A商品数量的范围． 【详解】解：任务１ 设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，依题意得 ，解得, 答：A，B商品的销售单价分别是160元，200元； 任务2 A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元， 总费用为服务卡费用加上A、B商品的打折后总价， ， A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元， 总费用为A、B商品的打折后总价，即： ． 故答案为：①，②； 任务3 依题意，， 解得， ， ， 当时，使用无人机配送商品更合算． 24. 已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或或； 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【小问1详解】 解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级数学学科期中测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 3. 一个不等式的解集为x≤1，那么在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A. B. C. 10 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “x的2倍与3的差是负数．”用不等式表示为______． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 13. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 14. 如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则___________． 15. 对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 16. 如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则_______（用含k的代数式表示）． 三、解答题（共52分） 17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在和中，，，． 求证：． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的高线． （2）在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积． （3）在图③中画，使，其中点F不与点A重合． 20. 如图，已知，相交于点，且，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. 已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 22. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． （2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 23. 背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！目前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务.近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件商品，8件商品，共需要2400元；若买8件商品，5件商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元? 任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中商品购买件；①若使用无人机配送商品，共需要_____元； ②若不使用无人机配送商品，共需要______元．（结果均用含的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 24. 已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $