江苏省期中真题必刷易错、压轴60题（16个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

期中真题必刷易错、压轴60题（16个考点专练） 一．全等三角形的性质（共1小题） 1．（2023秋•海州区校级期中）如图①，在△中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ． （1）如图①，当　　时，△的面积等于△面积的一半； （2）如图②，在△中，，，，．在△的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△△，求点的运动速度． 二．全等三角形的判定与性质（共11小题） 2．（2023秋•海州区校级期中）如图，在△和△中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为16，，则的长是　　 A．4 B． C．3 D． 3．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•锡山区期中）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是　　 A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤ 5．（2023秋•海门市期中）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 6．（2023春•宜兴市期中）数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点．探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当是对角线的中点时，他发现与之间的数量关系是 　　．若点在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系． （1）请你按照小明的思路，完成解题过程； （2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程． 7．（2023秋•东台市期中）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 8．（2023秋•海安市期中）如图，在中，，，是上一点，于，于． （1）求证：； （2）若，求证：． 9．（2023秋•江都区期中）在中，，点是的中点，点在上． （1）求证：． （2）如图，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其它条件不变，求证：． 10．（2023秋•靖江市期中）如图，在四边形中，，，，点为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 11．（2023秋•玄武区校级期中）如图，中，于，于，与相交于点，． （1）求证：； （2）若则　　．（直接写出结果） 12．（2023秋•靖江市校级期中）如图，点，，，在直线上，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由． 三．线段垂直平分线的性质（共1小题） 13．（2023秋•睢宁县校级期中）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）延长，与交于点，若， ①求证：是的中点； ②连接，若，则与的数量关系是 　　． 四．等腰三角形的性质（共9小题） 14．（2023秋•镇江期中）已知在△中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•丹阳市期中）如果等腰三角形的一个内角等于，则它的两个底角都是 　　． 16．（2023秋•南京期中）如图，在网格中，、是两个格点，若也是格点，且△是等腰三角形，则满足条件的有 　　个． 17．（2023秋•建湖县期中）如图，在两边上有点、、，连接和，，若，则的度数为 　　． 18．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，点、分别在边、上，若，，，则的度数为 　　． 19．（2023秋•江阴市期中）如图，在中，，点、分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 　　． 20．（2023秋•铜山区期中）如图，中，，两条角平分线、相交于点． （1）与相等吗？请说明你的理由； （2）若连接，并延长交边于点．你有哪些发现请写出两条，并就其中的一条发现写出你的发现过程． 21．（2023秋•玄武区校级期中）（1）如图（1），在中，，，点、分别在线段、的延长线上，且，，则　　； （2）如图（2），在中，，，点、分别在边上，且，，求的度数； （3）在中，，，点、分别在直线上，且，，则求的度数（直接写出答案）； （4）如图（3），在中，，，，点、在直线上，且，．请根据题意把图形补画完整，并在图形的下方直接写出的面积．（如果有多种情况，图形不够用请自己画出，各种情况用一个图形单独表示）． 22．（2023秋•锡山区期中）探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 五．等腰三角形的判定（共2小题） 23．（2023秋•南京期中）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有　　 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 24．（2023秋•工业园区校级期中）如图，在的正方形网格中有两个格点（小正方形的顶点），，连接，在网格 中再找一个格点，使得是等腰三角形，满足条件的格点的个数是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 六．等腰三角形的判定与性质（共3小题） 25．（2023秋•如皋市期中）如图，在△中，是△的角平分线，过点作交于点，平分交于点，若，则 　　． 26．（2023秋•南通期中）如图，在中，，，分别是和的平分线，且，，则的周长是 　　． 27．（2023秋•鼓楼区期中）如图，平分，平分，经过点，且，若，，则的周长是 　　． 七．等边三角形的性质（共4小题） 28．（2023秋•新吴区校级期中）如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使．若，，，则以，，为边长的三角形的形状为　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随，，的值而定 29．（2023秋•丰县期中）已知为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，若，则　　． 30．（2023秋•泗洪县期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 　　． 31．（2023秋•盱眙县期中）如图1，在等边中，线段为边上的中线，动点在直线（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连接． （1）判断与是否相等，请说明理由； （2）如图2，若，点、两点在直线上且，试求的长； （3）在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时．判断的长是否为定值，若是请直接写出的长；若不是请简单说明理由． 八．等边三角形的判定（共1小题） 32．（2023秋•扬州期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有　　 A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 九．含30度角的直角三角形（共2小题） 33．（2023秋•兴化市期中）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则　　． 34．（2023秋•鼓楼区期中）如图，是边长为16的等边三角形，是上一点，，交于点，则线段　　． 一十．直角三角形斜边上的中线（共4小题） 35．（2023春•通州区期中）如图，在中，是斜边上的中线．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 36．（2023秋•盐都区期中）如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为 　　． 37．（2023秋•赣榆区期中）如图，在中，于，于，点、分别是、的中点．求证：．（提示：连接、 38．（2023秋•鼓楼区期中）如图，在中，、分别是边、上的高，点是的中点，连接、、． （1）求证：为等腰三角形； （2）直接写出与之间的数量关系：　　． 一十一．勾股定理（共5小题） 39．（2023秋•苏州期中）在中，，垂直平分交延长线于点，已知，，则　　． 40．（2023秋•建湖县期中）如图，中，，垂足为，，，． （1）求证：； （2）点为上一点，连接，若为等腰三角形，求的长． 41．（2023秋•仪征市期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”． （1）如图，在中，，，，求中边的“中偏度值”； （2）在中，，，边上的高，求中边的“中偏度值”． 42．（2023秋•盐都区期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． （1）如图2，若中，，，，，则　　； （2）若中，，，，则　　； （3）若中，，，边上的高为15，求的值． 43．（2023秋•新吴区校级期中）如图，以为斜边的的每条边为边作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且边恰好经过点．若，则　　．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如表示的面积） 一十二．勾股定理的逆定理（共7小题） 44．（2023秋•宝应县期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．，2， C． D．2，3，4 45．（2023秋•邳州市期中）在△中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判断△是直角三角形的是　　 A．，， B．， C． D．，， 46．（2023秋•吴中区期中）下列由三条线段、、构成的三角形：①；②，，；③；④，，为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是　　 A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 47．（2023秋•海州区校级期中）三角形的三边长分别是7，24，25，可以判断这是 　　三角形． 48．（2023秋•京口区期中）在中，，，，则边上的高为 　　． 49．（2023秋•海州区校级期中）如图，点在中，，，，，，求图中阴影部分的面积． 50．（2023秋•兴化市期中）如图，已知中，于，，，． （1）分别求、的长； （2）是直角三角形吗？证明你的结论． 一十三．勾股定理的应用（共4小题） 51．（2023秋•兴化市期中）一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的、两地． （1）求、两地的距离； （2）若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离． 52．（2023秋•泰州期中）2023年10月15日，泰州半程马拉松在泰州体育公园鸣枪开跑，比赛赛道穿越泰州主城区，串联了天德湖公园、人民广场、老街、梅园、凤城河、光孝寺等城市地标及人文景观．小明家住在补给点处，他发现补给点、、组成一个三角形，青年路的一段恰好与边垂直，垂足为．如图，若千米，千米，小明用速度为每分钟1千米的无人机紧贴地面从处出发沿着线段匀速飞行，用了10分钟到达终点处． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若是的中点，连接、，在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出时间；若不存在，请说明理由． 53．（2023秋•铜山区期中）如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 54．（2023秋•东台市期中）如图，铁路上，两点相距，，为两庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． 问：（1）在离站多少处？ （2）判定三角形的形状． 一十四．轴对称的性质（共2小题） 55．（2023秋•丰县期中）如图，在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点是直线上的点，下列判断一定正确的是　　 A． B． C． D． 56．（2023秋•新北区期中）如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 一十五．轴对称图形（共2小题） 57．（2023秋•鼓楼区校级期中）下列图形是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 58．（2023秋•梁溪区校级期中）下列说法中错误的是　　 A．轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 B．形状相同的两个三角形全等 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 D．三角形具有稳定性 一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 59．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在中，，，是的中点，点在边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时，则　　． 60．（2023秋•淮阴区期中）如图，在中，，，点是的中点．将沿翻折得到△，连接． （1）求证：； （2）若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错、压轴60题（16个考点专练） 一．全等三角形的性质（共1小题） 1．（2023秋•海州区校级期中）如图①，在△中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ． （1）如图①，当　或　时，△的面积等于△面积的一半； （2）如图②，在△中，，，，．在△的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△△，求点的运动速度． 【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点在上时，②当点在上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点移动的距离，从而求出时间即可； （2）由△△，可得对应顶点为与，与，与；于是分两种情况进行解答，①当点在上，，，②当点在上，，，分别求出移动的距离和时间，进而求出的移动速度． 【解答】解：（1）①当点在上时，如图①， 若△的面积等于△面积的一半；则， 此时，点移动的距离为， 移动的时间为：秒， ②当点在上时，如图① 若△的面积等于△面积的一半；则，即点为中点， 此时，点移动的距离为， 移动的时间为：秒， 故答案为：或； （2）△△，即，对应顶点为与，与，与； ①当点在上，如图②所示： 此时，，， 点移动的速度为， ②当点在上，如图②所示： 此时，，， 即点移动的距离为，点移动的距离为， 点移动的速度为， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△△， 点的运动速度为或． 【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键． 二．全等三角形的判定与性质（共11小题） 2．（2023秋•海州区校级期中）如图，在△和△中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为16，，则的长是　　 A．4 B． C．3 D． 【分析】作于，证△△，得，再证△△，同理△△，得，进而得到的长． 【解答】解：如图， 过点作于， 在△和△中， ， △△， ，， 又， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， 同理：△△， ， △△， ， ， ， 解得：； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定条件． 3．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解． 【解答】解：．， ，即， 在和中， ， ， ，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意； ．， ， ， ， 平分， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， 故选项不符合题意； ．根据已知条件无法证明，故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键． 4．（2023秋•锡山区期中）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是　　 A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤ 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明与全等，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明与全等，从而可以证明①②⑤正确，与不一定相等，所以③④不正确． 【解答】解：， ， 、分别是与的平分线， ，， ， ， 故①小题正确； 如图，延长交延长线于， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ，故②小题正确； ， ，即点为的中点， 与不一定相等 与不一定相等，故③小题错误； 若，则是斜边上的中线，则， 与不一定相等， 与不一定相等，故④小题错误； ，， 的取值范围为，故⑤小题正确． 综上所述，正确的有①②⑤． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高． 5．（2023秋•海门市期中）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 【分析】（1）如图1，延长到，使，连接，即可证明△△，可得，再证明△△，可得，即可解题； （2）如图2，同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建△，同理证明△△和△△．可得新的结论：． 【解答】解：（1）如图1，延长到，使，连接． 在△与△中， ， △△． ，， ． ． 又， 易证△△． ． ． 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在△与△中， ， △△． ，， ． ． 又， △△． ． ． （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在△与△中， ， △△． ，． ． ． ， 易证△△． ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证△△， 证△△， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 6．（2023春•宜兴市期中）数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点．探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当是对角线的中点时，他发现与之间的数量关系是 　　．若点在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系． （1）请你按照小明的思路，完成解题过程； （2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程． 【分析】（1）延长，作，交的延长线于点，连接，证明四边形为平行四边形，从而证明得到是等腰直角三角形，得到，故可求解； （2）作，并截取，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明 ，，再得到四边形为平行四边形，则，故可求解（1）． 【解答】解：，理由如下： 四边形是正方形，是对角线的中点， ，． ， ， 点与点重合， ， ； （1）如图③，延长，作，交的延长线于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ． ，， ，， ， ， ， ． ． ． ，． ， 是等腰直角三角， ， ， ， 故答案为：． （2）如图④，作，并截取，连接、， 四边形是正方形， ，， ， 同理，， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， △， ，， ， ， ， ， ． ， ， ， 四边形为平行四边形， ． ． 【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答． 7．（2023秋•东台市期中）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【分析】（1）由证明即可； （2）理由全等三角形的性质即可解决问题； 【解答】（1）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， （2）解：， ， ，， ， ． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型． 8．（2023秋•海安市期中）如图，在中，，，是上一点，于，于． （1）求证：； （2）若，求证：． 【分析】（1）欲证明，只要证明即可； （2）只要证明，利用等腰三角形的三线合一即可解决问题； 【解答】证明：（1），，， ， ， 又，， ， ． （2）由（1）得，， 又， ， 又于， ， 平分， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识就解决问题，属于中考常考题型． 9．（2023秋•江都区期中）在中，，点是的中点，点在上． （1）求证：． （2）如图，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其它条件不变，求证：． 【分析】（1）由等腰三角形的性质知，由、利用“”证即可得证． （2）根据垂直定义求出，求出，根据等腰三角形的判定推出，根据推出两三角形全等即可． 【解答】证明：（1），是的中点， ， 在和中， ， ； （2），点是的中点， ，即， ， ，， ，，， ； 在和中， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．解答此题也可以利用等腰三角形“三线合一”的性质来证明相关三角形的全等． 10．（2023秋•靖江市期中）如图，在四边形中，，，，点为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，求出，根据推出，根据全等得出，即可得出答案； （2）根据全等得出，设，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】（1）证明： 连接， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 设， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得：， 即． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能推出是解此题的关键． 11．（2023秋•玄武区校级期中）如图，中，于，于，与相交于点，． （1）求证：； （2）若则　25　．（直接写出结果） 【分析】（1）根据即可证明； （2）利用全等三角形的性质即可解决问题； 【解答】（1）证明：， ， 又， ， 在和中 ， （2）， ， ，， ， 故答案为25． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12．（2023秋•靖江市校级期中）如图，点，，，在直线上，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【分析】（1）先证明，再根据即可证明． （2）结论，，根据全等三角形的性质即可证明． 【解答】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ． （2）结论：，． 理由：， ，， ，． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型． 三．线段垂直平分线的性质（共1小题） 13．（2023秋•睢宁县校级期中）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）延长，与交于点，若， ①求证：是的中点； ②连接，若，则与的数量关系是 　　． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； （2）①证明，得，根据等腰三角形三线合一性质即可解决问题； ②证明是等腰直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 【解答】（1）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）①证明：延长，与交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的中点； ②解：，理由如下： 如图，连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是的中点， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握垂直平分线的性质． 四．等腰三角形的性质（共9小题） 14．（2023秋•镇江期中）已知在△中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，则，在△中，，则，由，即可求解． 【解答】解：过点作于点，设交于点，过点作于点， ，，， ，，， 则， 设，则， 则， 在△中，， 则， 则， 故的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，用函数思想确定的表达式是解题的关键． 15．（2023秋•丹阳市期中）如果等腰三角形的一个内角等于，则它的两个底角都是 　35　． 【分析】利用三角形内角和定理可得这个等腰三角形的顶角为，然后利用等腰三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：等腰三角形的一个内角等于， 这个等腰三角形的顶角为， 等腰三角形的两个底角， 故答案为：35． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 16．（2023秋•南京期中）如图，在网格中，、是两个格点，若也是格点，且△是等腰三角形，则满足条件的有 　8　个． 【分析】分三种情况：当时；当时；当时；即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，，，； 综上所述：若也是格点，且△是等腰三角形，则满足条件的有8个， 故答案为：8． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键． 17．（2023秋•建湖县期中）如图，在两边上有点、、，连接和，，若，则的度数为 　　． 【分析】先利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，即可解答． 【解答】解：， ， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 18．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，点、分别在边、上，若，，，则的度数为 　72　． 【分析】设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用等腰三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后根据三角形内角和定理可得，从而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：设， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：72． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 19．（2023秋•江阴市期中）如图，在中，，点、分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 　　． 【分析】过点作，交的延长线于点，利用已知条件证明，得到，然后分别在，，中利用勾股定理求出，列方程求出，最后求出． 【解答】解：过点作，交的延长线于点，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， 在中， 由勾股定理，得，， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 在中， 由勾股定理，得， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，通过作辅助线构造直角三角形，将已知条件集中起来是解题的关键． 20．（2023秋•铜山区期中）如图，中，，两条角平分线、相交于点． （1）与相等吗？请说明你的理由； （2）若连接，并延长交边于点．你有哪些发现请写出两条，并就其中的一条发现写出你的发现过程． 【分析】（1）由，、分别是角平分线可得，根据等角对等边即可得到． （2）连接，并延长交边于点，通过证，可发现是的角平分线，且，（等腰三角形三线合一）． 【解答】解：（1） 证明：，两条角平分线、相交于点 （2）是的角平分线， 证明：，， 即是的角平分线 是等腰三角形，且是的角平分线 ． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解及运用．作出辅助线是正确解答本题的关键． 21．（2023秋•玄武区校级期中）（1）如图（1），在中，，，点、分别在线段、的延长线上，且，，则　　； （2）如图（2），在中，，，点、分别在边上，且，，求的度数； （3）在中，，，点、分别在直线上，且，，则求的度数（直接写出答案）； （4）如图（3），在中，，，，点、在直线上，且，．请根据题意把图形补画完整，并在图形的下方直接写出的面积．（如果有多种情况，图形不够用请自己画出，各种情况用一个图形单独表示）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，由三角形的内角和得到，根据三角形的外角的性质得到，即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和外角的性质即可得到结论； （3）点、分别在直线上，除去（1）（2）两种情况，还有两种情况，如图3，由（1）知，，由（2）知，列方程即可求得结果． （4）在中，，，，过作与，根据勾股定理求得边上的高，然后根据三角形的面积公式即可强大的结论． 【解答】解：（1），， ，， ， ， ， ， 故答案为：． （2）， ， ， ，， ，， ， ； （3）点、分别在直线上，除去（1）（2）两种情况，还有两种情况，如图3， 由（1）知，，由（2）知， ， ， ， 如图4，同理； （4）在中，，，， 过作与， 则，即， 解得：， ， ①如图1，， ②如图2，， ； ③如图3，作于， 设， ， ， ，，，， ； ④如图4，， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 22．（2023秋•锡山区期中）探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由于，于是得到，根据三角形的内角和即可得到； （2）设，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论； （3）设，，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ， ； （2）设， ， ， ， ， ； （3）设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 五．等腰三角形的判定（共2小题） 23．（2023秋•南京期中）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有　　 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【分析】（1）取一个和全等，其中，，，，①将与拼接在一起即可；②将于拼接在一起即可； （2）取一个，使，，，，将于拼接在一起即可； （3）取一个，使，，，，将与拼接在一起即可； （4）取一个，使，，，，将与拼接在一起即可； （5）取一个，使，，，，将与拼接在一起即可； （6）取一个，是，，，，将与拼接在一起即可；综上所述即可得出答案． 【解答】解：在中，，，则， （1）取一个和全等，其中，，，， 此时有两种拼图方法： ①将与拼接在一起，如图1所示： ，， 点，，在一条直线上， 为等腰三角形，且，； ②将于拼接在一起，如图2所示： ，， 点，，在一条直线上， 为等腰三角形； （2）取一个，使，，，， 将于拼接在一起，如图3所示： ， 点，，在一条直线上， 此时， ， 为等腰三角形； （3）取一个，使，，，， 将与拼接在一起，如图4所示： ， 点，，在一条直线上， 此时， ， 为等腰三角形； （4）取一个，使，，，， 将与拼接在一起，如图5所示： ， 点，，在一条直线上， 此时， ， 为等腰三角形； （5）取一个，使，，，， 将与拼接在一起，如图6所示： ，， ， 点，，在一条直线上， 此时， ， 为等腰三角形； （6）取一个，是，，，， 将将与拼接在一起，如图7所示： ，， ， 点，（E），在一条直线上， 此时， 为等腰三角形； 综上所述：拼成的等腰三角形有7种． 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，在拼接的过程中根据平角定义进行构图是解决问题的关键，此题种类繁多，漏解是易错点． 24．（2023秋•工业园区校级期中）如图，在的正方形网格中有两个格点（小正方形的顶点），，连接，在网格 中再找一个格点，使得是等腰三角形，满足条件的格点的个数是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，然后进行分析即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，即为所求； 当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，，，即为所求； 当时，作的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上， 综上所述：满足条件的格点的个数是8， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，能够分三种情况讨论是解题的关键． 六．等腰三角形的判定与性质（共3小题） 25．（2023秋•如皋市期中）如图，在△中，是△的角平分线，过点作交于点，平分交于点，若，则 　4　． 【分析】先根据已知易得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证△和△是等腰三角形，从而可得，，最后进行计算即可解答． 【解答】解：， ， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 26．（2023秋•南通期中）如图，在中，，，分别是和的平分线，且，，则的周长是 　9　． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答． 【解答】解：，分别是和的平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长 ， 故答案为：9． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键． 27．（2023秋•鼓楼区期中）如图，平分，平分，经过点，且，若，，则的周长是 　27　． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：27． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 七．等边三角形的性质（共4小题） 28．（2023秋•新吴区校级期中）如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使．若，，，则以，，为边长的三角形的形状为　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随，，的值而定 【分析】将绕点顺时针旋转得到．连接．想办法证明，即可解决问题； 【解答】解：将绕点顺时针旋转得到．连接． 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，，为边长的三角形是钝角三角形， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 29．（2023秋•丰县期中）已知为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，若，则　5　． 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，最后根据等角对等边可得，即可解答． 【解答】解：为等边三角形， ，， 是的一个外角， ， ， ， ，为边的中线， ， ， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 30．（2023秋•泗洪县期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 　2.5　． 【分析】先求出，再取的中点，连接，，则为的中位线，进而得，再根据等边三角形的性质得，，据此可证点，，在同一条直线上，然后根据“垂线段最短”可得：当时，为最小，最后在中根据直角三角形的性质求出的长即可． 【解答】解：在中，，， 由勾股定理得：， 取的中点，连接，，如图所示： 点为的中点， 为的中位线， ， ， ，即， 为等边三角形，且点为的中点， ，， ，， ， 点，，在同一条直线上， 依题意可知：点在直线上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最小， 在中，，， ． 的最小值为2.5． 故答案为2.5． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，证明点，，在同一条直线上，熟练掌握三角形的中位线定理，理解垂线段最短，直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 31．（2023秋•盱眙县期中）如图1，在等边中，线段为边上的中线，动点在直线（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连接． （1）判断与是否相等，请说明理由； （2）如图2，若，点、两点在直线上且，试求的长； （3）在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时．判断的长是否为定值，若是请直接写出的长；若不是请简单说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据全等三角形对应边上的高线相等可得，然后利用勾股定理列式求出的长度，从而得解； （3）根据（2）的结论，点到的距离等于的长度，是定值，所以，的长是定值不变． 【解答】解：（1）．理由如下： ，都是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，过点作于点， ， ， 是等边三角形，是中线， ，， （全等三角形对应边上的高相等）， ， ， ； （3）的长为定值6． 点在线段的延长线（或反向延长线）上时，和全等， 对应边、上的高线对应相等， 是定值， 的长是定值． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据全等三角形对应边上的高线相等求出点到的距离等于是解题的关键． 八．等边三角形的判定（共1小题） 32．（2023秋•扬州期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有　　 A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【分析】根据等边三角形的判定判断，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形； ②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形； ④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等． 所以都正确． 故选：． 【点评】此题主要考查等边三角形的判定，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 九．含30度角的直角三角形（共2小题） 33．（2023秋•兴化市期中）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则　9　． 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再根据垂直定义可得，从而可得，，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：9． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 34．（2023秋•鼓楼区期中）如图，是边长为16的等边三角形，是上一点，，交于点，则线段　4　． 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及等边三角形的性质是解题的关键． 一十．直角三角形斜边上的中线（共4小题） 35．（2023春•通州区期中）如图，在中，是斜边上的中线．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 36．（2023秋•盐都区期中）如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为 　3　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【解答】解：在中，，，点为斜边上的中点， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 37．（2023秋•赣榆区期中）如图，在中，于，于，点、分别是、的中点．求证：．（提示：连接、 【分析】连接，，根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答． 【解答】证明：连接，， ，， ， 点是的中点， ，， ， 点是的中点， ． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 38．（2023秋•鼓楼区期中）如图，在中，、分别是边、上的高，点是的中点，连接、、． （1）求证：为等腰三角形； （2）直接写出与之间的数量关系：　　． 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论和等腰三角形的性质可得，，从而利用三角形内角和定理可得，，然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得可得，再根据垂直定义可得，从而可得，最后进行计算可得，即可解答． 【解答】（1）证明：，， ， 点是的中点， ，， ， 为等腰三角形； （2）解：， 理由：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即：， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线是解题的关键． 一十一．勾股定理（共5小题） 39．（2023秋•苏州期中）在中，，垂直平分交延长线于点，已知，，则　12　． 【分析】连接，在中，利用勾股定理可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，再设，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：连接， ，，， ， 是的垂直平分线， ，， ， 设， ， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：12． 【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 40．（2023秋•建湖县期中）如图，中，，垂足为，，，． （1）求证：； （2）点为上一点，连接，若为等腰三角形，求的长． 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后分别在和中，利用勾股定理求出和的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）分三种情况：当时；当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：， ， 在中，，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：分三种情况： 当时，如图： 的长为； 当时，如图： ，， ， 的长为2； 当时，如图： ， ， ，， ， ， ， 的长为2.5； 综上所述：的长为，2或2.5． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，分三种情况讨论是解题的关键． 41．（2023秋•仪征市期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”． （1）如图，在中，，，，求中边的“中偏度值”； （2）在中，，，边上的高，求中边的“中偏度值”． 【分析】（1）根据勾股定理得到，过作于，设是斜边上的中线，求得，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，于是得到中边的“中偏度值” ； （2）如图，当为锐角三角形时，设是中边的中线，根据勾股定理得到，，得到，如图，当为钝角三角形时，设是中边的中线，得到，于是得到结论． 【解答】解：（1）在中，，，， ， 过作于， 设是斜边上的中线， ， ， ， ， ， 中边的“中偏度值” ； （2）如图，当为锐角三角形时， 设是中边的中线， ， ， ，，， ，， ， ， ， 中边的“中偏度值”为， 如图，当为钝角三角形时， 设是中边的中线， ， ， ，，， ，， ， ， ， 中边的“中偏度值”为． 综上所述，中边的“中偏度值”为6或． 【点评】本题考查了勾股定理，理解新定义和掌握勾股定理是解题的关键． 42．（2023秋•盐都区期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． （1）如图2，若中，，，，，则　1　； （2）若中，，，，则　　； （3）若中，，，边上的高为15，求的值． 【分析】（1）求出的长即可解决问题； （2）如图4中，求出高即可解决问题； （3）如图3中，分两种情况讨论：当是锐角三角形时：当是钝角三角形时：利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1），， ， ， ， 故答案为：1； （2）如图4中，作于， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3中，分两种情况讨论： 当是锐角三角形时： ，，，， ，， ，， ， ； 当是钝角三角形时： 同理可得，， ， ， 综上所述：的值为13或． 【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 43．（2023秋•新吴区校级期中）如图，以为斜边的的每条边为边作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且边恰好经过点．若，则　6　．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如表示的面积） 【分析】如图，连接，作于，设交于，交于．证明，推出，由，推出，，共线，由四边形是矩形，推出，证明，推出，由，，可证，推出， 【解答】解：如图，连接，作于，设交于，交于． ， ， ，， ， ， ， ，，共线， 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ，可证， ， 解法二：， ， 故答案为6． 【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 一十二．勾股定理的逆定理（共7小题） 44．（2023秋•宝应县期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．，2， C． D．2，3，4 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，， ， 可以构成直角三角形， 故符合题意； 、，， ， 不可以构成直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 不可以构成直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 不可以构成直角三角形， 故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 45．（2023秋•邳州市期中）在△中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判断△是直角三角形的是　　 A．，， B．， C． D．，， 【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，， ， △是直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， △不是直角三角形， 故符合题意； 、，， ， △是直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， △是直角三角形， 故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 46．（2023秋•吴中区期中）下列由三条线段、、构成的三角形：①；②，，；③；④，，为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是　　 A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：①，， ， ， 能构成直角三角形； ②，， ， 能构成直角三角形； ③，， ， 不能构成直角三角形； ④，， ， 能构成直角三角形； 所以，能构成直角三角形的是①②④， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 47．（2023秋•海州区校级期中）三角形的三边长分别是7，24，25，可以判断这是 　直角　三角形． 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， 此三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 48．（2023秋•京口区期中）在中，，，，则边上的高为 　　． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后设边上的高为，从而利用面积法进行计算，即可解答． 【解答】解：在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， 设边上的高为， 的面积， ， ， ， 边上的高为， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握面积法是解题的关键． 49．（2023秋•海州区校级期中）如图，点在中，，，，，，求图中阴影部分的面积． 【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据图中阴影部分的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 图中阴影部分的面积的面积的面积 ， 图中阴影部分的面积为24． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 50．（2023秋•兴化市期中）如图，已知中，于，，，． （1）分别求、的长； （2）是直角三角形吗？证明你的结论． 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算可得，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， 在中，，， ， 在中，， ， 的长为12，的长为16； （2）是直角三角形， 理由：，， ， ，， ， 是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 一十三．勾股定理的应用（共4小题） 51．（2023秋•兴化市期中）一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的、两地． （1）求、两地的距离； （2）若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离． 【分析】（1）依据题意，先求出，，再由进行计算可以得解； （2）依据题意，由垂线段最短可得当时，最短即为所求，可以利用面积计算得解． 【解答】解：（1）由题意得，，． ， 由勾股定理得，． 答：、两地的距离为． （2）由题意，依据垂线段最短可得当时，最短即为所求． ， ． 答：的距离为． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 52．（2023秋•泰州期中）2023年10月15日，泰州半程马拉松在泰州体育公园鸣枪开跑，比赛赛道穿越泰州主城区，串联了天德湖公园、人民广场、老街、梅园、凤城河、光孝寺等城市地标及人文景观．小明家住在补给点处，他发现补给点、、组成一个三角形，青年路的一段恰好与边垂直，垂足为．如图，若千米，千米，小明用速度为每分钟1千米的无人机紧贴地面从处出发沿着线段匀速飞行，用了10分钟到达终点处． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若是的中点，连接、，在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出时间；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）依据题意，由无人机速度飞行时间得，再分别求出，，进而由勾股定理的逆定理即可判断得解； （2）依据题意，设时间为，由，则，从而求出，可得，产生矛盾，从而可以得解． 【解答】解：（1） 是直角三角形． 理由如下：由题意得，千米， 又千米， 千米． ， ，， 又， ． 是直角三角形． （2）不存在，假设时间为，则，，，． 若，则，即， ，故不存在． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 53．（2023秋•铜山区期中）如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 【分析】小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出，由勾股定理可求得的长． 【解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即，设为，则， 由勾股定理可知， 又，， 把它代入关系式， 解方程得出． 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是． 【点评】根据题意找出等量关系，再由勾股定理即可得到答案． 54．（2023秋•东台市期中）如图，铁路上，两点相距，，为两庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． 问：（1）在离站多少处？ （2）判定三角形的形状． 【分析】（1）根据使得，两村到站的距离相等，需要证明，再根据，得出； （2）三角形的形状是直角三角形，利用，得出，进而可以证明． 【解答】解：（1）使得，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； （2）是直角三角形，理由如下： ， ，， ， ， ， 即是直角三角形． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用和三角形全等的证明，证明线段相等利用全等得出是解决问题的关键． 一十四．轴对称的性质（共2小题） 55．（2023秋•丰县期中）如图，在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点是直线上的点，下列判断一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．利用轴对称线的性质进行判断即可． 【解答】解：．依据轴对称的性质，不一定成立，故本选项错误，不合题意； ．依据轴对称的性质，不一定成立，故本选项错误，不合题意； ．依据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，故一定成立，本选项正确，符合题意； ．依据轴对称的性质，不一定成立，故本选项错误，不合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 56．（2023秋•新北区期中）如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【解答】解：直线是四边形的对称轴， 点与点对应， ，，， 点是直线上的点， ， ，，正确，而错误， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 一十五．轴对称图形（共2小题） 57．（2023秋•鼓楼区校级期中）下列图形是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【解答】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 58．（2023秋•梁溪区校级期中）下列说法中错误的是　　 A．轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 B．形状相同的两个三角形全等 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 D．三角形具有稳定性 【分析】选项根据轴对称图形的性质判断即可；选项根据全等三角形的定义判断即可；选项根据等腰三角形的性质判断即可；选项根据三角形的性质判断即可． 【解答】解：．轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，说法正确，故本选项不符合题意； ．形状、大小相同的两个三角形全等，原说法错误，故本选项符合题意； ．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合，说法正确，故本选项不符合题意； ．三角形具有稳定性，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形，三角形的稳定性，全等三角形的定义与判定以及等腰三角形的性质，掌握相关定义是解答本题的关键． 一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 59．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在中，，，是的中点，点在边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时，则　或　． 【分析】当时，，根据翻折可得，再根据三角形内角和定理，分两种情况画图，即可解决问题． 【解答】解：如图，当时， ， ， ， 由翻折可知：， ． 或者：由翻折可知： ， ． 故答案为：或． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），解决本题的关键是掌握翻折的性质． 60．（2023秋•淮阴区期中）如图，在中，，，点是的中点．将沿翻折得到△，连接． （1）求证：； （2）若，求的值． 【分析】（1）依据直角三角形斜边上中线的性质可知，然后依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，由翻折的性质可知，从而可求得的度数，然后依据可求得，从而可证明； （2）连接，先证明为等边三角形，从而可得到，然后可求得，最后依据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1），点是的中点 ． ． ． △由沿翻折得到， △． ，． ，． ． ． ． ． （2）连接 ，， 是等边三角形． ，． ． ， ． 由勾股定理得：． 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$