吉林省松原市长岭县第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

第 1 页 共 2 页 长岭县第二中学高三数学试题 装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题 ★ ★ ★ ★ ★ 装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题 学 校 长 岭 县 第 二 中 学 高 三 年 级 班 姓 名 考 号 长岭二中 2024～2025学年度上学期第二次月考 高 三 数 学 试 题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：王建元 审核人：张婷婷 注意事项：请将第Ⅰ卷选择题答案用 2B 铅笔填涂在答题纸的相应位置上； 第Ⅱ卷试题答案用黑色签字笔填写在答题纸的相应位置，本卷不交，只交答题纸． 第Ⅰ卷（58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．设集合 { 4}A x x=  N∣ ， {0,1,2}B = ，则图中阴影部分 表示的集合为 A． 1,2 B． 0,1,2,3 C． 0,3 D． 3 2．设 xR ，向量 ( ),1a x= ， ( )4,b x= ．下列说法正确的是 A．a b⊥ 是 0x = 的充分不必要条件 B． a b⊥ 是 0x = 的必要不充分条件 C． //a b 是 2x = 的充分不必要条件 D． //a b 是 2x = 的必要不充分条件 3．已知向量 ,a b满足 ( )1,2a = ， 3b = ， ( ) 1a a b− = − ，则 2a b− = A．17 B．5 C． 2 5 D． 17 4．已知 3 ( , ) 2    ，且3cos2 sin 1 − = ，则 A． 2 cos( ) 3  − = − B． 2 sin( ) 3  − = C． 5 cos( ) 2 3  + = − D． 5 sin( ) 2 3  + = − 5．函数 ( ) 2 3 cos 2 2 x x f x x x + = − 的部分图象大致为 A B C D 6．已知函数 2 4 ( ) ( R) 1 f x x x =  + ，若等比数列{ }na 满足 1 2020 1a a = ，则 2020 1 ( )i i f a = = A．1010 B．2020 C．4040 D．8080 7．设 a，b，c均为正数，且 2 1 2 log loga a   =     ， 1 1 2 2 log logb b   =     ， ( )1 2 2 log logc c= ，则 a，b，c的大小关系为 A．c a b  B．c b a  C．b c a  D．b a c  8．瑞士数学家欧拉于 1748 年提出了著名的欧拉公式： ie cos isinx x x= + ，其中 e 是自然对数的 底数，i 是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是 A． πie 1= B． π i 3e 的虚部为 3 i 2 C．复数 π i 4e 在复平面内对应的点位于第二象限 D． π i i2| e e ( R)| −  的最大值为 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多个选项 符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知函数 ( ) sinf x x= ， ( ) cosg x x= ，则下列结论正确的有 A．函数 ( ) ( ) f x y g x = 是定义域为 R的奇函数 B．函数 ( ) ( )y f x g x= 的最小正周期为2π C．函数 ( ) ( )y f x g x= − 的所有零点构成的集合为 π π , 4 x x k k   = +     Z D．函数 ( ) ( )y f x g x= + 在 4 π 4 π ,   −    上是增函数 10．已知点 P 在 ABC 所在的平面内，R ，则下列命题正确的是 A．若PA PB PB PC PC PA= = ，且 2AB AC = ，则 2AP AC = B．若 ( ) ( ) 0PA PB AB PB PC BC+  = +  = ，则 PA PB PC= = C．若 sin sin AB AC AP AB B AC C     = +     ，则动点P 的轨迹经过 ABC 的内心 D．若 1 1 2 2cos cos AP AB AC AB B AC C          = + + +         ，则动点 P 的轨迹经过 ABC 的外心 A B 严肃考风考纪，严格要求自己，以真实的成绩面对自我！祝同学们取得优异的成绩！ 白首壮心驯大海，青春浩气走千山． 长岭县第二中学监制 长岭县第二中学高三数学试题 第 2 页 共 2 页 装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题 ★ ★ ★ ★ ★ 装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题 11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零 点．如图，在横坐标为 1x 的点处作 ( )f x 的切线，切线 与 x 轴交点的横坐标为 2x ；用 2x 代替 1x 重复上面的过 程得到 3x ；一直下去，得到数列 nx ，这个数列叫做 牛顿数列．若函数 ( ) 2 6f x x x= − − ， 2 ln 3 n n n x a x + = − 且 1 1a = ， 3nx  ，数列 na 的前 n 项和为 nS ，则下列说法正确的是 A． 2 1 6 2 1 n n n x x x + + = − B． ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 4 3 f x f x f x x x f x f x f x = − − −    C．数列 na 是递减数列 D． 2025 2025 2 1S = − 第Ⅱ卷（92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知复数 z 满足 1 i 5z = − ，则 z =__________． 13．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且满足 22 3nnS += − ，则该数列的通项公式为__________． 14．已知向量 ,a b的夹角为 2π 3 ，且 6a = ， 4b = ，则a 在b 方向上的投影向量为__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 已知等差数列 na 的公差 1d = ，等比数列 nb 的公比为 2q ，若 1 是 1 1,a b 的等比中项，设 向量 1 2( , )a a a= ， 1 2( , )b b b= ，且 5a b = ． （1）求数列 na ， nb 的通项公式； （2）设 22 log na n nc b= ，求数列 nc 的前n 项和 nT ． 16．（15 分） 在锐角 ABC 中， , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，且 cos 3 sin 0c B c B a b+ − − = ． （1）求角C 的大小； （2）求cos cos cosA B C+ + 的取值范围． 17．（15 分） 已知M ， N 分别为函数 ( ) ( )( )* *cos N , N ,0 πf x A x A   = +     图象上相邻的最高点 和最低点， 2π 4 4 MN = + ，将函数 ( )f x 的图象向左平移 π 6 个单位长度后得到函数 ( )g x 的 图象， ( )g x 为奇函数． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2） 在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，若2 1 4 f C   + = −    ， 2 3c = ，sin 2sinA B= ， 求 ABC 的面积． 18．（17 分） 已知函数 ( ) 1 ex x f x + = . （1）求函数 ( )f x 的极值； （2）求证：当 ( )0,x  + 时， ( ) 2 1 1 2 f x x − + ； （3）若函数 ( ) ( ) 2025g x f x ax= − + 不具有单调性，求实数a 的取值范围． 19．（17 分） 在一个由n 个数1,2, , ( , 2)n n n N 构成的排列 1 2 nj j j 中，如果一对数的前后位置与 大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的 总数就称为这个排列的逆序数．排列 1 2 nj j j 的逆序数记为 ( )1 2 nT j j j ．例如 2431 中，21，43，41，31 是逆序，因此 ( ) 42431T = . （1）计算 (45321)T ； （2）设数列 na 满足 ( ) ( )1 45321 3412n na a T T+ =  − ， 1 3 2 a = ，求 na 的通项公式； （3）设排列 1 2 ( , 3)nj j j n n N 满足 1 ( 2,3, , 1)ij n i i n= + − = − ， 1 1j = ， nj n= ， ( )1 2n nb T j j j= ， 1 2 ( 3) 2 0.01 n n c n b + =  + ，证明： 3 4 2nc c c+ + +  ． 答案速查： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D D B C B D CD ABD ABD 12． 5+i 13． 14． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数满足，则=__________． 【答案】5+i 【分析】根据复数的除法及加减运算即可得出复数. 原题填． 【详解】因为,所以,可得.故． 13．已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】当时，有，当时，不满足上式，故可得该数列的通项公式．本题无修改． 【详解】当时，，当时，有， 当时，不满足上式，所以.故答案为： 14．已知向量的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为__________． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义计算可求得投影向量.原题答案为．利用软件还可能搜出-3，这是在求投影． 【详解】因为与的夹角为，所以， 故在方向上的投影向量为. 答案速查： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D D B C B D CD ABD ABD 12． 5+i 13． 14． 15．（13分）已知等差数列的公差，等比数列的公比为，若1是的等比中项，设向量，，且． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【分析】本题无修改． 【详解】（1）由已知可得，， （1分） 即，解得， （3分） 的公差为，的公比， 所以 ， ， （5分，7分） （2）， （9分） ， ， 两式相减得， ， （13分） .   （15分） 答案速查： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D D B C B D CD ABD ABD 12． 5+i 13． 14． 16．（15分）在锐角中，的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【分析】原题的条件为，求．本题将B，C对调．因此凡是由上述原题条件求得的均为抄袭． 【详解】（1）因为，由正弦定理得，， （1分） 由得 ， 即， 又，所以， （3分） 所以即， （5分） 又，所以即. （7分） （2）由（1）知，故， 所以 ， （10分） 因为在锐角中，所以，即， （12分） 所以， 所以， 所以， （14分） 即的取值范围为. （15分） 答案速查： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D D B C B D CD ABD ABD 12． 5+i 13． 14． 17．（15分）已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)在中，角的对边分别为，若，，，求的面积． 【分析】原(2)问为“当时，关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围”，出现答案“”为抄袭． 【详解】（1）由题意得，， 即，又， 则，， （2分） 所以， 则， （4分） 因为为奇函数，所以，所以， 因为， 所以， （6分） 所以． （8分） （2）由得, 因为，所以，得, 得， （10分） 因为，由正弦定理得， 因为，代入余弦定理公式得 ， （12分，14分） 得． （15分） 答案速查： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D D B C B D CD ABD ABD 12． 5+i 13． 14． 18．（17分）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若函数不具有单调性，求实数的取值范围． 【分析】原(3)问为：“过原点是否存在曲线的切线，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由”，出现答案“不存在”为抄袭． 【详解】（1）， （2分） 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， （4分） 故有极大值，无极小值； （5分，6分） （2）令，， （7分） 则， 由，则， 故在上恒成立，故在上单调递增， （9分） 则， 即当时，； （11分） （3）函数的图象是连续的，且不具有单调性， 在定义域内有正有负（有异号零点）， （13分） 记，则在为负，为正， 在单调递减，单调递增， 故存在，使得， 只需， （16分） 即. （17分） 答案速查： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D D B C B D CD ABD ABD 12． 5+i 13． 14． 19．（17分）在一个由个数构成的排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数．排列的逆序数记为．例如2431中，21，43，41，31是逆序，因此. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列满足，，，，，证明：. 【分析】本题原题第（1）问求T（645231）=13或T（51243）=5，第（2）问或，第（3）问．出现以上答案或过程均为抄袭． 【详解】（1）由题设定义，知； （3分） （2），又，所以， （5分） 设，得， 所以，解得，则， （7分） 因为，所以数列是首项为1，公比为9的等比数列， 所以，则. （9分） （3）由题意得， 所以， （11分） 所以 ，即， （13分） 所以， （15分） 所以， 即得证． （17分） 参考答案及评分标准 第10页，共11页 参考答案及评分标准 第2页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长岭二中2024～2025学年度上学期第二次月考 高三数学试题参考答案及评分标准 考试时间：120分钟 满分：150分 2024.10.10 命题人：王建元 审核人：张婷婷 分值安排：集合与常用逻辑用语10分；函数和导数33分；三角函数和解三角形41分；平面向量16分；复数10分；数列40分． 答案速查： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D D B C B D CD ABD ABD 12． 5+i 13． 14． 参考答案： 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合，再利用集合的运算求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以=． 2．设，向量，．下列说法正确的是 A．是的充分不必要条件 B． 是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D． 是的必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据向量平行的坐标表示，结合充分必要条件定义即可判断．原题选B． 【详解】若，则，，则，所以； 若，则，得. 所以是的必要不充分条件. 3．已知向量满足，，，则 A．17 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由，求得，再由即可求解.原题，选C． 【详解】因为， 所以，所以， 所以，所以. 4．已知，且，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式可以求得，结合诱导公式对选项逐一判断即可．原题选C． 【详解】因为，则， 即，解得或， 因为，则，， A选项，，故A选项错误； B选项，，故B选项错误； C选项，，故C选项错误； D选项，，故D选项正确． 5．函数的部分图象大致为 A． B．C．D． 【答案】B 【分析】原题选C． 【详解】函数的定义域为， 因为，所以为奇函数．因为， 所以当时，，当时，，排除A，C，D． 6．已知函数，若等比数列满足，则 A． B．2020 C．4040 D．8080 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件，利用倒序相加法，求和即可．原题选2020． 【详解】等比数列满足，则， 函数，， 所以， 所以． 7．设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c大小关系为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】处理得，，． 在同一坐标系中分别画出，， 的图象， 与 的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为， 从图象可以看出． 8．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是 A． B．的虚部为 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．的最大值为2 【答案】D 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可．原题选B． 【详解】对于A，，A错误； 对于B， 由，其虚部为，B错误； 对于C，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误； 对于D， ，当时取等号，D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，，则下列结论正确的有 A．函数是定义域为R的奇函数 B．函数的最小正周期为 C．函数的所有零点构成的集合为 D．函数在上是增函数 【答案】CD 【分析】原题选BC． 【详解】对A：定义域不是R，故A错误； 对B：，所以．故B错误； 对C：由，故C正确； 对D：， 由，故D正确． 10．已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是 A．若，且，则 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【详解】A选项，由条件得点是的垂心，故，故A正确； B选项，由条件得点P是的外心，故B正确； C选项，由条件得点P是的中线上，重心在其上，故C错误； D选项，由条件得点P是的中垂线上，故D正确； 11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，这个数列叫做牛顿数列．若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是 A． B． C．数列是递减数列 D． 【答案】ABD 【分析】求导得切点处的切线方程，即可令0判断A,根据对数的运算，结合等差等比数列的定义即可判断BC，根据等比求和公式即可求解．原题选ACD． 【详解】 ，所以在点处的切线方程为：， 令0，得，故A正确． 由于，所以，，， ∴，故B正确． ，故，即， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C错误． 所以，D正确． 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数满足，则=__________． 【答案】5+i 【分析】根据复数的除法及加减运算即可得出复数. 原题填． 【详解】因为,所以,可得.故． 13．已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】当时，有，当时，不满足上式，故可得该数列的通项公式．本题无修改． 【详解】当时，，当时，有， 当时，不满足上式，所以.故答案为： 14．已知向量的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为__________． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义计算可求得投影向量.原题答案为．利用软件还可能搜出-3，这是在求投影． 【详解】因为与的夹角为，所以， 故在方向上的投影向量为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列的公差，等比数列的公比为，若1是的等比中项，设向量，，且． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【分析】本题无修改． 【详解】（1）由已知可得，， （1分） 即，解得， （3分） 的公差为，的公比， 所以 ， ， （5分，7分） （2）， （9分） ， ， 两式相减得， ， （13分） .   （15分） 16．（15分）在锐角中，的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【分析】原题的条件为，求．本题将B，C对调．因此凡是由上述原题条件求得的均为抄袭． 【详解】（1）因为，由正弦定理得，， （1分） 由得 ， 即， 又，所以， （3分） 所以即， （5分） 又，所以即. （7分） （2）由（1）知，故， 所以 ， （10分） 因为在锐角中，所以，即， （12分） 所以， 所以， 所以， （14分） 即的取值范围为. （15分） 17．（15分）已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)在中，角的对边分别为，若，，，求的面积． 【分析】原(2)问为“当时，关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围”，出现答案“”为抄袭． 【详解】（1）由题意得，， 即，又， 则，， （2分） 所以， 则， （4分） 因为为奇函数，所以，所以， 因为， 所以， （6分） 所以． （8分） （2）由 得, 因为，所以，得, 得， （10分） 因为，由正弦定理得， 因为，代入余弦定理公式得 ， （12分，14分） 得． （15分） 18．（17分）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若函数不具有单调性，求实数的取值范围． 【分析】原(3)问为：“过原点是否存在曲线的切线，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由”，出现答案“不存在”为抄袭． 【详解】（1）， （2分） 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， （4分） 故有极大值，无极小值； （5分，6分） （2）令，， （7分） 则， 由，则， 故在上恒成立，故在上单调递增， （9分） 则， 即当时，； （11分） （3）函数的图象是连续的，且不具有单调性， 在定义域内有正有负（有异号零点）， （13分） 记，则在为负，为正， 在单调递减，单调递增， 故存在，使得， 只需， （16分） 即. （17分） 19．（17分）在一个由个数构成的排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数．排列的逆序数记为．例如2431中，21，43，41，31是逆序，因此. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列满足，，，，，证明：. 【分析】本题原题第（1）问求T（645231）=13或T（51243）=5，第（2）问或，第（3）问．出现以上答案或过程均为抄袭． 【详解】（1）由题设定义，知； （3分） （2），又，所以， （5分） 设，得， 所以，解得，则， （7分） 因为，所以数列是首项为1，公比为9的等比数列， 所以，则. （9分） （3）由题意得， 所以， （11分） 所以 ，即， （13分） 所以， （15分） 所以， 即得证． （17分） 参考答案及评分标准 第10页，共11页 参考答案及评分标准 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$学校 长岭县第二中学 高三 年级 班　姓名　　　　考号 装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题　 ★ ★ ★ ★ ★ 装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题 严肃考风考纪，严格要求自己，以真实的成绩面对自我！祝同学们取得优异的成绩！ 白首壮心驯大海，青春浩气走千山． 长岭县第二中学监制装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题　 ★ ★ ★ ★ ★ 装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题 长岭县第二中学监制 白首壮心驯大海，青春浩气走千山． 严肃考风考纪，严格要求自己，以真实的成绩面对自我！祝同学们取得优异的成绩！ 装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题　 ★ ★ ★ ★ ★ 装 ※ 订 ※ 线 ※ 内 ※ 不 ※ 要 ※ 答 ※ 题 学校 长岭县第二中学 高三 年级 班　姓名　　　　考号 长岭二中2024～2025学年度上学期第二次月考 高 三 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：王建元 审核人：张婷婷 注意事项：请将第Ⅰ卷选择题答案用2B铅笔填涂在答题纸的相应位置上； 第Ⅱ卷试题答案用黑色签字笔填写在答题纸的相应位置，本卷不交，只交答题纸． 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为B A． B．A C． D． 2．设，向量，．下列说法正确的是 A．是的充分不必要条件 B． 是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D． 是的必要不充分条件 3．已知向量满足，，，则 A．17 B．5 C． D． 4．已知，且，则 A． B． C． D． 5．函数的部分图象大致为 A B C D 6．已知函数，若等比数列满足，则 A． B．2020 C．4040 D．8080 7．设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 8．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是 A． B．的虚部为 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．的最大值为2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，，则下列结论正确的有 A．函数是定义域为R的奇函数 B．函数的最小正周期为 C．函数的所有零点构成的集合为 D．函数在上是增函数 10．已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是 A．若，且，则 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，这个数列叫做牛顿数列．若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是 A． B． C．数列是递减数列 D． 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数满足，则=__________． 13．已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为__________． 14．已知向量的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知等差数列的公差，等比数列的公比为，若1是的等比中项，设向量，，且． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．（15分） 在锐角中，的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 17．（15分） 已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数． （1）求函数的解析式； （2） 在中，角的对边分别为，若，，，求的面积． 18．（17分） 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求证：当时，； （3）若函数不具有单调性，求实数的取值范围． 19．（17分） 在一个由个数构成的排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数．排列的逆序数记为．例如2431中，21，43，41，31是逆序，因此. （1）计算； （2）设数列满足，，求的通项公式； （3）设排列满足，，，，，证明：． 第 3 页 共 3 页 长岭县第二中学高三数学试题 长岭县第二中学高三数学试题 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共 1 页 长岭县第二中学高三数学试题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$