3.7二次函数与一元二次方程（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

3.7 二次函数与一元二次方程 第三章 二次函数 五四制鲁教版九年级上册 教学目标 1 2 3 1、了解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别，了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法. 2、通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法. 3、进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题能力. 当Δ 时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ 时，方程有两个相等的实数根； 当Δ 时，方程没有实数根 知识回顾 1、解下列一元二次方程 （1）x² - 2x = 0， （2） x² - 2x + 1 = 0， （3） x² - 2x - 3= 0 （4） x² - 2x + 2= 0 3、一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0） ，它们之间有什么关系？ 解： 解： 解： x（x- 2 ） = 0 x1＝ x2 ＝ 1 x1＝0, x2 ＝ 2 （x- 1）² = 0 （x+1）（x- 3 ） = 0 x1＝-1, x2 ＝ 3 解： b²-4ac =（-2）²-4×1×2 = - 4＜0 ∴原方程无实数根 Δ=b²-4ac 由根的判别式决定 ＞0 = 0 ＜0 y=kx+b（k≠0） 当y=0时 kx+b=0 y=kx+b（k≠0） 与x轴的交点坐标 （ - ，0） kx+b=0的根x=- 2、一元二次方程ax2+bx+c=0的根个数由什么决定? 二次函数图象都是由无数个点组成，那么最重要的是哪几种点呢？ 新知导入 与 x 轴、y 轴的交点. 抛物线顶点. x y x y O O x y O x y x y O O x y O 观察二次函数图象他们与x轴都有交点吗？ 二次函数图象与x轴的交点个数由什么决定？ 新知探究 我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h（m）与运动时间 t（s）的关系可以用公式 h = - 5t2 + v0t + h0 表示，其中 h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度。 一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度 h（m）与运动时间 t（s）的关系如图所示 2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流 t/s h/m O 4 5 2 1 3 -1 20 30 10 40 -1 50 60 70 80 6 7 8 试解决如下问题 （1）h 与 t 之间的关系式是什么？ 5 新知探究 t/s h/m O 4 5 2 1 3 -1 20 30 10 40 -1 50 60 70 80 6 7 8 （1）h 与 t 之间的关系式是什么？ h = - 5t2 + v0t + h0 V0=40 m/s ∴ 小球经过8秒后落地. 解： （1）由已知可知v0=40， ∴h=－5t2+40t+h0 由图象知函数过点（0，0） 代入关系式h=－5t2+40t+h0 得h0=0, ∴h=－5t2+40t 2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流 解法一：观察图象，小球经过8秒后落地. 解法二：由（1）得到h和t的关系式是： h=-5t2+40t， 令h=0，即-5t2+40t=0 解得t=0s（舍去）或t=8s 新知探究 二次函数与一元二次方程解的关系 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点 （x1，0） 方程ax2+bx+c=0的解为x1 ，x2 即交点横坐标 x y O x y O x1 x1 x2 x2 （x2，0） 方程ax2+bx+c=0的解x1 ，x2 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点 （x1，0） （x2，0） 新知练习 填一填 求当x= 二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3 可以看作解一元二次方程 （即 = 0） －x2＋4x = 3 x2－4x＋3 解方程得 ； x1=1 x2=3 反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0 可以看作已知二次函数 y = 的值函数值为 时，求 的值； 即求抛物线 与 轴交点 坐标， 0 x2－4x＋3 自变量 x y = x2－4x＋3 x 横 ∴当x= 二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3 或 3 1 已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程的解为 ． 新知练习 填一填 O x y 1 3 解析 由图象知二次函数与x轴的交点的一个交点是（3，0），与对称轴x =1的距离是2，根据对称性，另一个交点与x轴的距离也是2，故另一个交点为（-1，0）， ∴方程 的解： x1= 3, x2= -1. x1=3,x2=-1 -1 新知练习 想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m？你是如何知道的？ t/s h/m O 4 5 2 1 3 -1 20 30 10 40 -1 50 60 70 80 6 7 8 h = - 5t2 + 40t h=60 ∴ 小球在2秒或6秒试离地面高度为60m 解法一：观察图象， 解法二：h和t的关系式是： h=-5t2+40t， 令h=60，即-5t2+40t=60 解得：t1=2 t2=6 直线h=60与抛物线交于点（2，60）、（6,60） ∴小球在2秒或6秒试离地面高度为60m 新知探究 议一议 x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 -2 讨论 （1）每个图象与 x 轴各有几个交点？ y=x2+2x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2 两个交点 一个交点 没有交点 请同学们计算抛物线与x轴的交点坐标 （0，0） （-2，0） （1，0） 新知探究 议一议 抛物线 y = ax2 + bx + c (a＞0)与 x 轴是否存在公共点取决于什么？ x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 -2 讨论 y=x2+2x y=x2+2x+1 y=x2+2x+2 （2）用判别式验证一下一元二次方程 x² + 2x = 0，x² - 2x + 1 = 0 有几个根？，一元二次方程 x² - 2x + 2 = 0 有根吗 请同学们自己验证 Δ＞0 x² + 2x = 0 x² - 2x + 1 = 0 Δ＞0 Δ＞0 x² - 2x + 2 = 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系 新知总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 议一议 有两个交点 有一个交点 没有交点 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac ＜ 0 新知总结 议一议 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系 Δ = b2 - 4ac 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x1，x2 x2 x1 x y O x1= x2 x y O x y O 没有实数根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x a＜0 a＞0 新知练习 做一做 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； 新知练习 做一做 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 新知再探 例2.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？ 请同学们先画出二次函数草图 解： （1）用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象（如右图）； （2）观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知, 图象与x轴有两个交点, 其横坐标一个在-5与-4之间, 另一个在2与3之间 x y O 4 -3 2 1 3 -2 2 -1 -5 -6 -10 -8 （1）先求-5与-4之间的根，利用计算器进行计算： x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 所以，x=-4.3是方程的一个近似根 用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位。 x y O -4 -3 2 1 3 -2 2 -1 -5 -6 -10 -8 新知再探 利用计算器计算这个区间例的函数值，哪一个最接近于0 x y O -4 -3 2 1 3 -2 2 -1 -5 -6 -10 -8 新知再探 利用计算器计算这个区间例的函数值，哪一个最接近于0 （3）确定方程x2+2x-10=0的解; 由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为: x1≈-4.3,x2≈2.3. （2）求2与3之间的根，利用计算器进行计算： x 2.1 2.2 2.3 2.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 所以，x=2.3是方程的一个近似根 新知再探 试一试 用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果? 求根公式： 解：一元二次方程x2+2x-10=0运用求根公式： ≈2.3 ≈-4.3 用一元二次方程的求根公式跟用二次函数图象求出来的结果是一样的 x y O -4 -3 2 1 3 -2 2 -1 -5 -6 -10 -8 3 例1、利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根. 新知再探 做一做 （1）用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象 解： (3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值). (4).确定方程x2+2x-10=3的解; 由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为: x1≈-4.7,x2≈2.7. （2）作直线y=3； 方法一 x y O -4 -3 2 1 3 -2 1 -1 -5 -6 -10 -8 -13 例1、利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根. 新知再探 做一做 (1)原方程可变形为x2+2x-13=0； (3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间 先求在-5与-4之间的 (4)确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为: x1≈-4.7,x2≈2.7. x -4.5 -4.6 -4.7 -4.8 y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 求在2与3之间 x 2.5 2.6 2.7 2.8 y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 解： (2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象； 方法二 新知总结 一元二次方程的图象解法 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程的近似根主要步骤： (1) 用描点法作出二次函数y=ax2+bx+c的图象； (2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根). (3) 确定方程ax2+bx+c=0的解. 由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解. 课堂练习 判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的一个解 x 的范围是 ( ) A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值： 选一选 课堂练习 选一选 2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定 C 3．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个. C 4．已知二次函数y＝x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（　　） A．m≥．m＜ C．m≤ D．m＞ D 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)，当 y 取确定值时就成了一元二次方程； ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当右边换成 y 时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x 轴的交点个数 b2 - 4ac 的符号 一元二次方程根的情况 课堂小结 1. 利用二次函数 y = 2x² 与一次函数 y = x ＋ 2 的图象，求一元二次方程 2x² = x ＋2 的近似根 x y O 2 -2 2 1 4 3 5 -1 -4 4 -3 -2 1、画一次函数 y = x ＋ 2 的图象 解： （－2，0）（0，2） 2、画二次函数 y = 2x²图象 3、观察二次函数的图象y = 2x²与一次函数 y = x ＋ 2 的图象交点，估计交点横坐标； 4、确定方程2x² = x ＋2的近似跟. x1≈-0.8,x2≈1.3. 巩固拓展 一元二次方程的解也可以转化为二次函数图象与一次函数图象的交点问题来解决 巩固拓展 2、已知二次函数的图象如图所示，利用图象 回答问题： （1）方程的解是什么？ （2）x取什么值时， ？ （3）x取什么值时， ？ x y O 2 4 8 解：（1） （2） （3） 3．已知二次函数y＝﹣x2+4x+m． （1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点P是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+PA的值最小时，求P的坐标； （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 巩固拓展 解： （1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴△＝42+4m＞0． 解得：m＞﹣4． （2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PA最小． 把（6，0）代入y＝﹣x2+4x+m， 得﹣62+4×6+m＝0． 解得m＝12． 故该抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+12 x y O P A B 3．已知二次函数y＝﹣x2+4x+m． （1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点P是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+PA的值最小时，求P的坐标； （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． （3）∵A（6，0），B（0，12）， 使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜0或x＞6． 巩固拓展 解： x y O P A B 当x＝0时，y＝12，则B（0，12）． 设直线AB的解析式为y＝mx+n， ∵A（6，0），B（0，12）， ∴ 解得 ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12， ∵y＝﹣x2+4x+12＝﹣（x﹣2）2+16， ∴对称轴是直线x＝2． 把x＝2代入y＝﹣2x+12得，y＝﹣4+12＝8， ∴P（2，8）； 30 $$